2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案.docx

241抛物线及其标准方程1理解抛物线的定义、标准方程及其中p的几何意义2已知抛物线的标准方程，能够熟练地写出它的焦点坐标和准线方程3掌握抛物线方程的四种标准形式，会用待定系数法求抛物线的标准方程1抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点(3)准线：直线l叫做抛物线的准线定点F不能在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y(1)抛物线的焦点所在轴(x轴、y轴)由标准方程中的一次项来确定，开口方向(向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定，可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向”(2)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p0特别注意，当抛物线标准方程中的一次项系数为负时，不要出现p0)或x22py(p0)把点(3，2)的坐标分别代入y22px(p0)和x22py(p0)，得42p(3)或92p2，即2p或2p所以所求抛物线的标准方程为y2x或x2y(2)令x0，得y2；令y0，得x4故抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)当焦点为(4，0)时，4，即2p16，此时抛物线方程为y216x当焦点为(0，2)时，2，即2p8，此时抛物线方程为x28y故所求的抛物线方程为y216x或x28y用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数 分别根据下列条件求抛物线的标准方程(1)准线方程为y；(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5解：(1)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且，则p所以所求抛物线的标准方程为x2y(2)由焦点到准线的距离为5，知p5，又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y210x探究点2抛物线定义的应用(1)若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程(2)已知点P是抛物线y22x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值【解】(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r1因为两圆外切，所以|MC|R1又动圆M与已知直线x10相切，所以圆心M到直线x10的距离dR所以|MC|d1即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且2，p4，故其方程为y28x(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P点、(0，2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d 1变条件若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值解：将x3代入y22x，得y所以A在抛物线内部设P为其上一点，P到准线(设为l)x的距离为d，则|PA|PF|PA|d由图可知，当PAl时，|PA|d最小，最小值是即|PA|PF|的最小值是2变条件若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l1：3x4y0，求点P到直线3x4y0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|PQ|PA1|PF|A1F|minA1F的最小值为F到直线3x4y0的距离d1即所求最小值为1抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A BC2 D1解析：选D由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1探究点3抛物线的实际应用如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF若|CD|9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？【解】如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，则B(9，8)设抛物线方程为x22py(p0)因为B点在抛物线上，所以812p(8)，所以p，所以抛物线的方程为x2y当x时，y2，即|DE|826所以|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥求解抛物线实际应用题的五个步骤 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为518(m)所以管柱OA的长为18 m1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：选B由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4262抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点(5，m)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是()Ay22x By24xCy22x Dy24x或y236x解析：选B由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则56，得p2，所以抛物线的方程为y24x，选B3以椭圆y21的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为_解析：椭圆y21的右焦点为(，0)，故抛物线的标准方程为y24x答案：y24x4根据下列条件求抛物线的标准方程(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点P(m，1)到焦点F的距离为6解：(1)由焦点到准线的距离为6，知p6又焦点在x轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为y212x(2)点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故16，解得p10，所以抛物线的标准方程为x220y 知识结构深化拓展抛物线的四种标准方程记忆方法(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右学生用书P117(单独成册)A基础达标1经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28y By2x或y28xCy28x Dx28y解析：选A因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y2已知P(8，a)在抛物线y24px(p0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2 B4C8 D16解析：选B由题意可知准线方程为xp，所以8p10，所以p2所以焦点到准线的距离为2p43动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x20的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D抛物线解析：选D依题意可知动点P(x，y)在直线右侧，设P到直线x20的距离为d，则|PF|d1，所以动点P到F(3，0)的距离与到x30的距离相等，其轨迹为抛物线，故选D4已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A B1C D解析：选C过A，B分别作y轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|BF|)5在同一坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致是()解析：选Da2x2b2y21其标准方程为1，因为ab0，所以0)的准线相切，则p_解析：由题意知圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x，由题意知34，所以p2答案：28在抛物线y212x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_解析：由方程y212x，知焦点F(3，0)，准线l：x3设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|3x又|PF|9，所以3x9，x6，代入y212x，得y6所以所求点的坐标为(6，6)，(6，6)答案：(6，6)，(6，6)9根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5解：(1)由双曲线方程得1，其左顶点为(3，0)因此抛物线的焦点为(3，0)设其标准方程为y22px(p0)，则3所以p6因此抛物线的标准方程为y212x(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得解得p1，或p9当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得解得p1或p9综上所述，所求抛物线的标准方程为y22x或y218x10某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高5 m时，桥洞水面宽为8 m，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题一只宽4 m，高2 m的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为 m，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为几米？解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系设当水面涨到与抛物线拱顶相距h m时，船恰好能通过设抛物线方程为x22py(p0)，因为A(4，5)在抛物线上，所以422p(5)，得p，故x2y当船恰好能通过时，设船宽等于BB，则点B的横坐标为2，代入x2y，得点B的纵坐标 y，所以h|y|2，因此，水面距离拱顶至少2 m，船才能顺利通过此桥B能力提升11已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P(xP，yP)为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：选C由题意知抛物线的焦点为F(，0)，准线为x设点P在抛物线准线上的投影为点M由抛物线的定义知| PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得|yP|2，所以SPOF|OF|yP|212抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，所以B点坐标为又点B在双曲线上，故1，解得p6答案：613设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1，1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3，2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图(1)所示，连接AF，交抛物线于点P，则|PA|d的最小值为(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y2，因为22，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图(2)所示)由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314即|PB|PF|的最小