2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版.docx

13.1函数的单调性与导数1.理解导数与函数的单调性的关系2.掌握利用导数判断函数单调性的方法3能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0，即切线的斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数单调递增(2)如果f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小f(x)0且越来越小f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f(x)0.()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大()答案：(1)(2)(3) 若在区间(a，b)内，f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内有()Af(x)0 Bf(x)0，所以f(x)在R上为增函数答案：(，)探究点1导数与函数图象的关系(1)已知f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()(2)函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_【解析】(1)由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)在(，0)上为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)在(2，)上为增函数观察选项易知D正确(2)函数yf(x)在区间和区间(2，3)上单调递减，所以在区间和区间(2，3)上，yf(x)0，所以f(x)0的解集解：根据题目中的图象，函数yf(x)在区间(，)和区间(1，2)上为增函数，所以在区间和区间(1，2)上，yf(x)0，所以f(x)0的解集为(1，2)2若本例(2)中的条件不变，试求不等式xf(x)0的解集解：由本例(2)及互动探究1以及已知条件可知，当x时，函数为减函数，则f(x)0.综上可知：xf(x)0的解集为(1，2)研究函数图象与导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致注意利用导函数单调性可以判断原函数图象的凹凸性：若f(x)0且单调递增，则原函数f(x)的图象上升且下凸；若f(x)0且单调递减，则原函数f(x)的图象上升且上凸；当f(x)0时判定方法类同 1.设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能为()解析：选D.由图象可知，yf(x)在(，0)上是增函数，因此在x0(即全部在x轴上方)，故排除A，C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f(x)0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f(x)0，故排除B.2已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：选B.法一：由函数yf(x)的导函数yf(x)的图象自左到右先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小法二：由于f(x)0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知：f(x)单调递增，即图象从左至右上升，四个图象都满足由于当x0时，f(x)0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸；当x0且越来越大，则函数值增加得越来越快，图象呈现下凸，可以判断B正确探究点2利用导数求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)x33x1；(2)f(x)x(b0)【解】(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)3x23，令f(x)0，则3x230.即3(x1)(x1)0，解得x1或x1.所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，令f(x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x0，则(x)(x)0，所以x或x.所以函数的单调递增区间为(，)和(，)令f(x)0，则(x)(x)0，所以x0，函数在解集所表示定义域内为增函数(4)解不等式f(x)0，即20，解得x；令f(x)0，即20，解得0x.所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.探究点3已知函数的单调性求参数已知函数f(x)x3ax1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围【解】f(x)3x2a.因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0即可又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，综上实数a的取值范围为(，01若函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，1)上为减函数，试求a的取值范围解：由f(x)3x2a0在(1，1)上恒成立，得a3x2在(1，1)上恒成立因为1x1，所以3x20，所以f(x)在(0，)上单调递增(7分) ，则由f(x)0得x，且当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)的单调递增区间为.(12分)(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准(2)此题对含参数的函数的单调性进行了讨论另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握1下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin xByxexCyx3x Dyln xx解析：选B.B中，y(xex)exxexex(x1)0在(0，)上恒成立，所以yxex在(0，)上为增函数对于A、C、D都存在x0，使y0，可得x；由f(x)0，可得0x0，所以f(x)在2，5上的单调递增区间为(1，2)和(4，5答案：(1，2)和(4，54已知函数f(x)x3ax2bx，且f(1)4，f(1)0.(1)求a和b；(2)试确定函数f(x)的单调区间解：(1)因为f(x)x3ax2bx，所以f(x)x22axb，由得解得a1，b3.(2)由(1)得f(x)x3x23x.f(x)x22x3(x1)(x3)由f(x)0得x1或x3；由f(x)0得3x0(f(x)0，即x2时，f(x)单调递增，故选D.2函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)在R上()A是增函数B是减函数C是常函数D既不是增函数也不是减函数解析：选A.f(x)3x22axb，方程3x22axb0的判别式(2a)243b4(a23b)因为a23b0，所以4(a23b)0，所以f(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数3(2018杭州七校联考)已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的()解析：选C.由函数yf(x)的图象的增减变化趋势可判断函数yf(x)取值的正、负情况如下表：x(1，b)(b，a)(a，1)f(x)f(x)由表，可知当x(1，b)时，函数yf(x)的图象在x轴下方；当x(b，a)时，函数yf(x)的图象在x轴上方；当x(a，1)时，函数yf(x)的图象在x轴下方故选C.4(2018石家庄二中月考)已知函数f(x)ln x，则下列选项正确的是()Af(e)f()f(2，7)Bf()f(e)f(2.7)Cf(e)f(2.7)f()Df(2.7)f(e)0，所以f(x)在(0，)上是增函数因为2.7e，所以f(2.7)f(e)f()，选D.5若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)解析：选D.因为f(x)kxln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，且f(x)在(0，)上单调递增，所以f(1)k10，所以k1.6函数f(x)(x2x1)ex(xR)的单调减区间为_解析：f(x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)，令f(x)0，解得2x0)令f(x)0，得x2，即f(x)的单调递减区间是.又函数f(x)在区间(m，m1)上为减函数，所以m0时，f(x)0得x，f(x)0得0x.所以，f(x)在(，0)，上是增函数，在上是减函数；当a0时，f(x)0得x0，f(x)0得x0时，f(x)在(，0)，上是增函数，在上是减函数；a0)，令f(x)0，可得x1.当0x0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x1时，f(x)0，若f(1)0，则关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)0，且f(x)在(，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，