2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用学案.docx

第2课时椭圆方程及性质的应用探究点1直线与椭圆的位置关系已知直线l：y2xm，椭圆C：1试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点【解】直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y，得9x28mx2m240方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点判断直线与椭圆的位置关系的方法注意注意方程组的解与交点个数之间的等价关系 直线l：yx2与椭圆2x23y26的位置关系为_(填相交、相切或相离)解析：由得2x236，即x22x60(2)2462460360这时直线的方程为y2(x4)，即yx4法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4，2)是AB的中点，所以x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即yx4变问法试求满足条件(2)的线段AB的长度解：由(2)知直线AB的方程为yx4，由得x28x140，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，x1x214，由弦长公式可得|AB|，所以线段AB的长度为(1)直线与椭圆相交弦长的求法直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为ykxb，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)则|AB|(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由12，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB1已知斜率为2的直线l经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|_解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1，0)，且斜率为2，则直线l的方程为y2(x1)，即2xy20由，得3x25x0解得，|AB| 答案：2已知椭圆1，求过点Q(8，2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程解：设椭圆中弦的两端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1x2)，弦AB的中点为R(x，y)，则2xx1x2，2yy1y2因为A、B两点均在椭圆上，故有x4y16，x4y16两式相减得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)因为x1x2，所以kAB由kABkRQ得，得所求轨迹方程为(x4)24(y1)220探究点3与椭圆有关的最值或范围问题已知椭圆4x2y21，直线yxm，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程【解】可求得O到AB的距离d，将yxm代入4x2y21，消y得5x22mxm210又|AB| ，2016m20，m，所以SAOB|AB|d 当且仅当“m2m2”时，上式取“”此时m所以AOB面积的最大值为，面积最大时直线方程为xy0与椭圆有关的最值问题的求解方法求解椭圆中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的解析式，然后根据函数关系式的特征可化为：(1)二次函数的最值问题求解；(2)基本不等式的最值问题求解；(3)三角函数的最值问题求解 如图所示，点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：(1)由已知可得点A(6，0)，F(4，0)，B(6，0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得则2x29x180, 解得x或x6由于y0，只能x，于是y所以点P的坐标是(2)直线AP的方程是xy60设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得m2，所以点M(2，0)设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6所以当x时，d取最小值1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相切 B相交C相离 D不确定解析：选B直线ykxk1恒过定点(1，1)又因为1，所以点(1，1)在椭圆1的内部，所以直线ykxk1与椭圆相交故选B2过椭圆1的右焦点且倾斜角为45的弦AB的长为()A5 B6C D7解析：选C椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为k1，所以直线AB的方程为yx4，由得9x225(x4)2225，由弦长公式易求|AB|3若过椭圆1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_解析：设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减并把x1x24，y1y22代入得，所以所求直线方程为y1(x2)，即x2y40答案：x2y404已知直线l：yx，椭圆C：x24y24(1)求证：直线l与椭圆C有两个交点；(2)求连接这两个公共点所成线段的长解：(1)证明：由消去y得5x24x30所以(4)245(3)760，所以直线l与椭圆C有两个交点(2)设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2所以|AB| 知识结构深化拓展1直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系的判断方法：联立得消y得一个一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解02设而不求思想解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解学生用书P109(单独成册)A基础达标1点A(a，1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBaC2a2D1a1解析：选A由题意知1，解得ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为()A1 B1C1 D1解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，有1，1，两式相减得，因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以因为右焦点为F(3，0)，c3，所以a218，b29，所以椭圆E的方程为16椭圆y21被直线xy10 所截得的弦长|AB|_解析：由得交点为(0，1)，则|AB| 答案：7过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，2)，B设右焦点为F，则SOAB|OF|y1y2|1答案：8已知椭圆的方程为1(m0)如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为_解析：焦点在x轴上，由题意知，M又因为点M在yx上，所以，解得m2，所以e答案：9已知椭圆1(ab0)截直线yx1所得弦的长度为，且离心率为，求这个椭圆的方程解：因为e，所以 ，所以a24b2代入椭圆方程，得4x2y24b20将yx1代入，得5x22x14b20(*)设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2为方程(*)的两个相异实根，所以420(14b2)0，即b2由弦长公式得，解得b2，所以a21，所以所求椭圆的方程为y2110已知椭圆4x2y21及直线yxm(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解：(1)由得5x22mxm210因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m (2)设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知5x22mxm210，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2(m21)所以弦长d ，所以当m0时，d最大，此时直线方程为yxB能力提升11(2018广东肇庆期末)已知动直线yk(x1)与椭圆C：x23y25相交于A、B两点，点M的坐标为，则的值是()A BC D解析：选D将yk(x1)代入x23y25中得(13k2)x26k2x3k250，所以36k44(3k21)(3k25)48k2200，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k2k2故选D12F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e_解析：易知圆F2的半径为c，又直线MF1恰与圆F2相切，所以F1MF2是直角，因为|F1F2|2c，|MF2|c，|F1M|2ac，所以在直角三角形F1MF2中，有(2ac)2c24c2，化简得c22ac2a20，即220，所以e1(负值舍去)答案：113设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b解：(1)根据c及题设知M，2b23ac将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|设N(x1，y1)，由题意知y1b0)的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若MOA30，则该椭圆的离心率为_解析：如图所示，因为MOA30，由直角三角形知识得BAO30所以tanBAO，所以ab，即a23b2，又a2b2c2，所以a2a2c2，所以a2c2，所以e答案：14(2018新乡高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为_解析：由题意知，可得a24b2椭圆C的方程可简化为x24y2a2将yx代入可得x，因此，可得a2因此b1所以椭圆C的方程为y21答案：y21三、解答题15求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26解：(1)由焦距是4可得c2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，2)，(0，2)由椭圆的定义，知2a8，所以a4，所以b2a2c216412所以椭圆的标准方程为1(2)由题意，知2a26，即a13，又e，所以c5，所以b2a2c213252144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为1或116设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8故|AF2|2a|AF1|835(2)设|F1B|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e17已知椭圆C：y21(1)求椭圆C的离心率；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，知a23，b21，则a，c，所以椭圆C的离心率为(2)假设存在实数k满足条件，由，得(13k2)x212kx90，所以(12k)236(13k2)0，即k1或k1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4要使以AB为直径的圆过点E(1，0)，只需AEBE，即0，即y1y2(x11)(x21)0，所以(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50将代入，解得k，满足题意综上，存在k，使得以AB为直径的圆过点E18如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请