2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第10讲定值、定点、探索性问题检测.docx

第10讲 定值、定点、探索性问题 基础题组练1已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，且BF1C60，则该双曲线的离心率为()A.B.C. D2解析：选C.不妨设点B在x轴的上方，则点B的坐标为，由于BF1C60，则tan 30，得e22e0，即(e1)(e)0，得e.故选C.2椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1.若ABF2的内切圆周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为()A. B.C. D.解析：选D.由题意知，c3，所以椭圆的焦点为F1(3，0)，F2(3，0)设ABF2的内切圆半径为r.因为ABF2的内切圆周长为，所以r.根据椭圆的定义，有|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a20，所以SABF2(|AB|AF2|BF2|)r4ar52c|y1y2|3|y1y2|，所以|y1y2|.故选D.3(2019安徽合肥模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_解析：由e21，得.设M(x，y)，A(m，n)，则B(m，n)，k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案：4已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)设P(x，y)，则(y1)1x28y.所以E的方程为x28y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入x28y中，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b.x1x2y1y2x1x28bb216b4，所以直线AB恒过定点(0，4)5(2019黑龙江齐齐哈尔八中模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|，直线l2：yk(xm)与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点Q，若是一个与k无关的常数，求实数m的值解：(1)联立方程，得解得y，故.又e，a2b2c2，所以a，b1，c1，故椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得消元得(12k2)x24mk2x2k2m220，所以16m2k44(12k2)(2k2m22)8(2k2m2k21)，x1x2，x1x2，y1y2x1x2(x1x2)k2(x1m)(x2m)(1k2)x1x2(x1x2)k2m2，又是一个与k无关的常数，所以3m25m24，即3m25m20，解得m11，m2，因为m，所以m1.当m1时，0，直线l2与椭圆C交于两点，满足题意综合题组练1(2019湖北省五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由解：(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x20，因为mn0，所以y1y20，所以k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，所以|x1|，|y1|，所以SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，所以x1x2，x1x2.因为y1y20，所以(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足0.所以SPOQ|PQ|b|2|b|1.所以POQ的面积S为定值2(综合型)(2019西安市八校联考)已知直线l：xmy1过椭圆C：1的右焦点F，抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时，证明：12为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)因为l：xmy1过椭圆C的右焦点F，所以右焦点F(1，0)，c1，即c21.因为x24y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，所以b，即b23，a2b2c24，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意知m0，由得(3m24)y26my90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.因为1，2，M，所以1(1x1，y1)，(x2，y2)2(1x2，y2)，所以11，21，所以1222.综上所述，当m变化时，12为定值.(3)是理由如下：当m0时，直线lx轴，则四边形ABED 为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想当m