高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_3_2 抛物线的几何性质课件 新人教b版选修1-1

第二章,圆锥曲线与方程,2.3.2 抛物线的几何性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y22px (p0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？ 答案 (1)范围：x0，yR； (2)对称性：抛物线y22px (p0)关于x轴对称； (3)顶点：抛物线y22px(p0)的顶点是坐标原点； (4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率.用e表示，由定义可知e1.,预习导引 1.抛物线的几何性质,x0,x0,y0,y0,x1x2p,3.直线与抛物线的位置关系 直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程 的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0时，直线与抛物线 公共点.当k0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.直线斜率不存在时，依据图象判断公共点个数.,k2x22(kbp)xb20,一,没有,两,平行或重合,一,要点一 抛物线的几何性质 例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.,抛物线的对称轴为x轴，,设抛物线的方程为y22px或y22px(p0).,抛物线的标准方程为y212x或y212x， 其准线方程分别为x3或x3.,规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.,且抛物线的焦点在x轴正半轴上，,要点二 抛物线的焦点弦问题 例2 已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在直线的方程及|P1P2|.,解 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).,两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2).,直线的方程为y13(x4)， 即3xy110.,y1y22，y1y222.,规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,跟踪演练2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值； 解 因为直线l的倾斜角为60，,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25，,|AB|538.,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知,x1x2px1x239， 所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，,要点三 直线与抛物线的位置关系 例3 已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？,解 由题意，设直线l的方程为y1k(x2).,可得ky24y4(2k1)0. ,(1)当k0时，由方程得y1.,(2)当k0时，方程的判别式为 16(2k2k1). 1由0，即2k2k10，,2由0，得2k2k10，,3由0，,综上，我们可得,规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.,跟踪演练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,证明 设kABk(k0)， 直线AB，AC的倾斜角互补， kACk(k0)， AB的方程是yk(x4)2.,消去y后，整理得 k2x2(8k24k1)x16k216k40. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.,直线BC的斜率为定值.,1,2,3,4,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y 解析 设抛物线y22px或y22px(p0)，p4.,C,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( ),1,2,3,4,1,2,3,4,解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，,答案 B,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.,设此直线与抛物线相切有0， 即1616m0，m1.,1,2,3,4,答案 C,1,2,3,4,4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10,1,2,3,4,解析 设直线l的方程为3x2yc0，,答案 A,课堂小结 1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类