《经济学微积分》PPT课件.ppt

8.4 多元复合函数的求导法则,一、多元复合函数求导的链式法则,二、全微分形式不变性,三、小结,在一元函数微分学中, 复合函数的求导法则起着重 要的作用.,现在我们把它推广到多元复合函数的情形.,下面按照多元复合函数不同的复合情形, 分三种情 况进行讨论.,一、多元复合函数求导的链式法则,定理 1 若函数 及 都在点 t 可导,1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,合函数 在点 t 可导,且有,函数 z = f (u, v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数,则复,证明,设 t 获得增量 t,则有,函数 z = f (u, v) 在点 (u, v) 具有连续偏导数,这里当u 0, v 0 时, 1 0,2 0.,将上式两边同除以 t, 得,当t 0 时,上述定理的结论可推广到复合函数的中间变量多 于两个的情况.,偏导数,例如, 设函数 , 及 都在点 t 可导,函数 z = f (u, v, w) 在对应点 (u, v, w) 具有连续,则复合函数 在点 t 可导,且有,以上公式中的导数 称为全导数.,则复合函数,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形,定理 2 若函数 及 都在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z = f (u, v) 在对,且有,应点 (u, v) 具有连续偏导数,在点 (x, y) 的两个偏导数都存在,链式法则如下图所示:,类似地, 设 , 及 都 在点 (x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z = f (u, v, w),在对应点 (u, v, w) 具有连续偏导数,则复合函数,且有,在点 (x, y) 的两个偏导数都存在,定理 3 若函数 在点 (x, y) 具有对 x 及 对 y 的偏导数,函数 在点 y 可导,函数 z =,f (u, v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数,则复合函数,且有,在点 (x, y) 的两个偏导数都存在,3、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元 函数的情形,说明 在情形 3 中, 还会遇到这样的情形: 复合函 数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量.,例如, 设函数 z = f (u, x, y) 具有连续偏导数,而函,数 u = (x, y) 具有偏导数,则复合函数,在点 (x, y) 的两个偏导数都存在,且有,两者的区别,区别类似,把复合函数 中 的 y 看做不变而对 x 的偏导数.,把 中的 u 及 y 看做不变而 对 x 的偏导数.,解,例 1 设 , 而 u = xy, v = x + y, 求 和 .,解,例 2 设 , 而 , 求 和 .,解,例 3 设 , 而 , , 求全导 数 .,例 4 若函数 f (x, y) 满足 (k 为 正整数), 则称 f (x, y) 是 k 次齐次函数. 证明: k 次齐次 函数 f (x, y) 满足,证明,在 z = f (tx, ty) 中, 令,则,其中 x, y 相对于 t 是常数.,由多元复合函数的求导法则, 得,因此对任何 t, 有,在上式中, 令 t = 1 即得,解,令,记,同理有,例 5 设 , f 具有二阶连续偏导,数, 求 和 .,则,由多元复合函数的求导法则, 得,例 6 设 z = f (u, v) 具有二阶连续偏导数, 利用变换 把 z 关于 u、v 的偏导数表示方程,解,由多元复合函数的求导法则, 得,所求方程为,例 7 设可微函数 z = f (x, y ) 满足方程 证明: f (x, y ) 在极坐标系中只是 的函数.,证明,令,则, z = f (x, y) 可视为,从而 f (x, y ) 在极坐标系中表达式不含 r, 即只是 的函数.,二、全微分形式不变性,设函数 z = f (u, v) 具有连续偏导数,则有全微分,若 u、v 又是中间变量, 即 u = (x, y)、u = (x, y), 且 这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数,的全微分为,由此可见: 无论 u, v 是自变量还是中间变量, 函数 z = f (u, v) 的全微分形式是一样的. 这个性质称为全微 分形式不变性.,掌握这一规律对于求初等函数的偏导数和全微分 会带来很大方便.,解,例 8 已知 , 求 和 .,从而,方程两边求全微分, 得,即,1、多元复合函数求导的链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课本中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,思考题,设 z = f (u, v, x), 而 u = (x)