二面角和面面垂直.ppt

二面角和面面垂直,高一数学组,平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。,从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。,1、半平面：,2、二面角：,一、半平面及二面角的定义,棱,面,面,半平面,半平面,1、二面角的记法：面1棱面2,（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：,（2）以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：,A,B,二、二面角的 画法与记法,2、二面角的画法：直立式与平卧式,平卧式,直立式,注意,二面角的平面角必须满足：,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,10,A,B,四、二面角的 平面角的定义、范围及作法,思考:,=,等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。）,注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为 0o, 180o 。,的大小与点O在L上的位置有关吗?为什么?,指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,O,E,O,二面角A-BC-D,正方体AC中,（定义法）,（垂线法）,练习：,一“作”二“证”三“算”,步骤：,例1 在正方体AC1中，E为BC中点，,F,E,G,H,（1）,（2）,1、求二面角AB1CB的正弦值;,2、求二面角EB1D1C1的正切值。,一“作”二“证”三“算”,步骤：,典例剖析,一、二面角的定义：,二、二面角的表示方法：,三、二面角的平面角：,四、二面角的平面角的作法：,五、二面角的计算：,二 面 角 AB 二 面 角 CAB D 二 面 角 l ,1、根据定义作出来定义法 2、利用直线和平面垂直作出来 垂面法 3、借助三垂线定理或其逆定理作出来 三垂线法,从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫 做二面角的面。,1、二面角的平面角 必须满足三个条件 2、二面角的平面角 的大小与 其顶点 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 它的平面角的大 小来度量,二面角计算的一般步骤：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“算”,16,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？,应用于生活,如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,猜想：,如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。,已知：AB，AB 求证：.,证明：,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则ABE就是二面角-CD-的平面角，,设=CD,则BCD.,六、两个平面垂直的判定定理：,线线垂直,线面垂直,面面垂直,如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,证明面面垂直的本质和关键是什么？,关键：找垂直平面的线,例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：,C,证明：设O所在的平面为 ，由已知条件， PA，BC在内，所以PA BC,因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径,所以，BCA是直角，即BC AC,又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，,所以，BC 平面PAC。,又因为BC在平面PBC内，,所以，平面PAC 平面PBC。,已知AB平面BCD，BC CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？,平面ABC平面BCD,平面ABC 平面ACD,平面ABD 平面BCD,情境问题： 为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直当书面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？,探索研究 ： 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？,由物理学原理知，它会倒塌,三、两个平面垂直的性质定理:,如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.,三、两个平面垂直的性质定理:,为作辅助线提供了理论依据,如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内,为判定直线在平面内提供了理论依据,例1 如图，已知平面 平面 ， l，在 l 上取 线段 AB4，AC，BD 分别在平面 和平面 内，并且 垂直于它们的交线 AB，并且 AC3，BD12 求 CD 的长,解：联接 BC，CD因为 AC AB ， 所以 AC，ACBD 又 BDAB ， 所以 BD，BDBC 所以 BAC 和CBD 都是直角三角形 在 RtBAC 中，BC 5 ； 在 RtCBD 中，CD 13 ,1.过平面的一条垂线可作_个平面 与平面垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂 直.,练一练：,3.过平面的一条斜线，可作_个平 面与平面垂直.,4.过平面的一条平行线可作_个平 面与垂直.,一,无数,无数,一,小结,1、二面角及其它的平面角,二面角 l ,2、平面与平面垂直的判定定理,二面角的范围