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文档简介
第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用基本初等函数的图象与性质1指数与对数式的8个运算公式(1)amanamn;(2)(am)namn;(3)(ab)mambm,其中,a0,b0;(4)loga(MN)logaMlogaN;(5)loga logaMlogaN;(6)logaMnnlogaM;(7)alogaNN;(8)logaN,其中,a0,且a1,b0且b1,M0,N0.2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0,a1)与对数函数ylogax(a0,a1)的图象和性质,分0a1,a1两种情况:当a1时,两函数在定义域内都为增函数,当0a1时,两函数在定义域内都为减函数 (1)已知函数f(x)ln xln(2x),则() Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称【答案】C【解析】法一:由题意知,f(x)ln xln(2x)的定义域为(0,2),f(x)lnx(2x)ln(x1)21,由复合函数的单调性知,函数f(x)ln xln(2x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A,B;又f()lnln(2)ln ,f()lnln(2)ln,所以f()f()ln,所以排除D,故选C.法二:由题意知,f(x)ln xln(2x)的定义域为(0,2),f(x),由,得0x1;由,得1x2,所以函数f(x)ln xln(2x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A,B;又f()lnln(2)ln ,f()lnln(2)ln,所以f()f()ln,所以排除D,故选C.(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af(log2),bf(log24.1),cf(20.8),则a,b,c的大小关系为()AabcBbacCcba Dcalog24.1log24220.8,且函数f(x)是增函数,所以cb200,即1.12xx3.8,所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年 (2)(2019湖北武汉市高三模拟)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,G(x)x210x;当年产量不小于80千件时,G(x)51x1 450.已知每件产品的售价为0.05万元通过市场分析,该工厂生产的产品能全部售完,则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元【答案】1 000【解析】因为每件产品的售价为0.05万元,所以x千件产品的销售额为0.051 000x50x万元当0x80时,年利润L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950,所以当x60时,L(x)取得最大值,且最大值为L(60)950万元;当x80时,L(x)50x51x1 4502501 2001 20021 2002001 000,当且仅当x,即x100时,L(x)取得最大值1 000万元由于9501 000,所以当产量为100千件时,该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大,最大年利润为1 000万元应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序:(2)解题关键:解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 【对点训练】1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司,甲分公司现有某型号电脑6台,乙分公司现有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元,从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1 000元,则调运方案的种数为()A1B2C3 D4【答案】C.2(2019湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为PP0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时【答案】:10【解析】:前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t5时,P0.9P0,代入,得(ek)50.9,所以ek0.9,所以PP0ektP0(0.9)t.当污染物减少19%时,污染物剩下81%,此时P0.81P0,代入得0.81(0.9)t,解得t10,即需要花费10小时函数的零点 判断函数零点个数的方法(1)解方程法,即解方程f(x)0,方程不同的解的个数即为函数f(x)的零点的个数;(2)图象法,画出函数f(x)的图象,图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数;(3)数形结合,即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题,通过判断交点的个数得出函数零点的个数;(4)利用零点存在性定理判断 (1)(2019焦作模拟)已知函数f(x)满足:定义域为R;xR,都有f(x2)f(x);当x1,1时,f(x)|x|1.则方程f(x)log2|x|在区间3,5内解的个数是()A5B6C7 D8【答案】A【解析】画出y1f(x),y2log2|x|的图象如图所示,由图象可得所求解的个数为5. (2)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点,则a()A BC. D1【答案】C 【解析】 (2)由f(x)x22xa(ex1ex1),得f(2x)(2x)22(2x)ae2x1e(2x)1x24x442xa(e1xex1)x22xa(ex1ex1),所以f(2x)f(x),即x1为f(x)图象的对称轴由题意,f(x)有唯一零点,所以f(x)的零点只能为x1,即f(1)1221a(e11e11)0,解得a.故选C.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解 【对点训练】1已知函数f(x)cosx,g(x)2|x2|,x2,6,则函数h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6 B8C10 D12【答案】D.【解析】函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和,即
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