弹塑性力学第9章热应力.ppt

弹塑性力学 第9章 热应力,第9章 热应力,简单热应力问题 热弹性基本方程及解法 平面热弹性问题 厚壁圆筒的热应力 厚壁圆球壳的热应力* 板中的热应力* 形变条件下热塑性物理方程,基本概念,热应力当结构或构件在一定温度条件下工作时，温度的变化导致材料的膨胀或收缩，若外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化（通常简称变温）而引起的应力称为热应力，或温度应力。 两个方面的计算：(1)由问题的初始条件、边界条件，按热传导方程求解结构的温度场（变温）。(2)按热弹性力学的基本方程求解结构的热应力。 假设：各向同性、弹性、小变形、小变温，变温与变形可独立计算。,91 简单热应力问题,【例1】两端固定的杆件受热,【例1】长度为l、横截面为a的杆件，两端被固定在两个刚性壁之间，杆件材料的热膨胀系数为，弹性系数为e，杆件的温度由t1增加至t2，求杆中的热应力。 【解】温度由t1升至t2因膨胀而产生的杆件伸长为 lt = l(t2-t1) = lt 温度升高，杆件受到压力 pt的作用，由 pt产生的杆件的缩短为 由杆长不变(lt + lp= 0)，得 pt = eat。 因此，杆件的热应力为 t = - e t,杆件中的热应力护与弹性模量e，热膨胀系数以及温度变化t成正比。在小温度的情况下，e与随温度的变化可以忽略，结构的热应力随温度变化而增加，这是一般热应力间题的特点。 在求解中，仍然包括该问题物理、几何与平衡三个方面的条件，这是求解热弹性力学问题应满足的条件，其中物理关系既包括线弹性的虎克定律，又包括温度变化引起的变形。,热应力问题特点与条件,【例2】周边自由的等厚度薄板，且l c，沿板的厚度温度均匀，而沿高度有不均匀温度变化，即t=t(y)，试求板中的热应力。,【解】该薄板属一个自由边界间题，即不存在外部约束。由于温度沿y向有不均匀的温度变化，在x方向上各层纤维将产生不同的长度变化，为满足变形协调条件，各层纤维的变形受到附近纤维的约束，因此在板中将产生热应力。板的l c，且温度与x无关，可做为一维问题，在板中仅有x方向的应力x。 温度应力 x = - e t(y) 两端约束合力引起的应力 两端约束弯矩引起的应力,扳中的热应力为 若物体边界上没有位移约束及边界力，且不计体力，则当物体内的变温为坐标的线性函数时，物体内将不产生热应力。根据叠加原理，在自由边界的物体中，不计体力，在原来的温度场上叠加一个线性分布的温度场，则不会改变物体的应力分布，而物体的的变形将会发生变化。,热源强度,92 热弹性基本方程及解法,热传导基本概念 非定常温度场 = (x, y, z, t) 定常温度场 = (x, y, z) 变温 t = - 0 热传导方程 变温分布 二维热传导方程,无源定常温度场,比热,上述各式中，c为比热，即单位质量的物体升温一度所需的热量；r为物体内热源的强度r = r(x, y, z, t)，即单位时间内单位质量的热源所产生的热量；为导温系数，且 = k/c，k为导热系数，为物体材料的密度，2为拉普拉斯算子 为变温的时间微分（偏导数）,热弹性基本方程,平衡方程、几何方程（同弹性问题） 物理方程,或,边界条件,【例】周边固支的矩形薄板，材料的热膨胀系数为，弹性系数为e，泊桑比为，当薄板温度升高t 时，求板中热应力。,【解】平板的四周被固定，升温时在x和y方向上的热膨胀均被限制住，因此板中将产生热应力，且为双向应力状态。由于平板固支，每个微元体在x和y方向均不会产生变形，即有（不考虑外荷载） 由物理方程及平面应力问题性质（z = 0），有,位移解法以位移为基本未知量，用位移表示物理方程、平衡方程和边界条件，求得位移分量后，再计算应力分量。 要点用 代替弹性问题中的体力fx (x, y, z)，用 代替弹性问题中的面力fx (x, y, z)，则热弹性问题可以用线性弹性问题的解法去求解。,热弹性问题的基本解法,(x, y, z),(l, m, n),应力解法以应力为基本未知量，用应力表示边界条件和协调方程，求得应力分量后，再计算应变分量和位移分量。 要点用 代替弹性问题中的体力fx (x, y, z)，用 代替弹性问题中的面力fx (x, y, z)，则热弹性问题可以用线性弹性问题的解法去求解，得到 ，再由 求得ij。,热弹性问题的基本解法,(x, y, z),(l, m, n),热弹性位移势,引进一个函数 (x, y, z)，使得 则称 为热弹性位移势。 满足平衡方程的位移势必须满足 相应的应力解为,(1),(2),线弹性平衡方程的齐次解以u, v, w表示，则相应的应力分量为,其中,位移分量为,，应力分量为,当面力为零时，由式(1)得到式(2)所示的应力分量ij，由此求得边界上的应力值通常不为零；若将这些应力均改变符号后做为面力按线弹性方法求得ij，则ij = ij + ij将满足面力为零的条件，即为该问题的实际热应力。,93 平面热弹性问题,平面应力问题 平面应变问题在平面应力问题结果中，用 替换e，用 替换，用 替换，即得到平面应变问题的解答。,(1),式(1) 又可写成 平面应变问题中 z = (x + y) - et （平衡方程、几何方程、协调方程？）,热应力函数,与无变温线弹性问题相似，取f(x, y)为艾雷应力函数，则 平面应力问题f 应满足的变形协调方程为 f 应满足的边界条件为,面力,平面轴对称热应力问题,平衡方程、几何方程、协调方程 物理方程（平面应力问题） 平面应变问题中 z = (r + ) - et 平面应力问题中 z = -(r + )/e + t,或,以位移表示的平衡方程 两次积分后得 应力分量为,位移解法,空心时，a为零，实心时，a为内径,积分常数，实心时c2应为零,应力函数解法,平衡方程 热应力函数 热应力函数f应满足 积分后得,积分常数，实心时d2应为零,应力分量 平面应变问题中,【例】半径为b的实心薄圆板，周边为自由的，板中温度分布为t(r) = t0 - (t0 - tb)r2/b2，其中t0、tb分别为圆板中心及边缘处的温度，求板中的热应力。 【解】利用边界条件，得应力分量,94 厚壁圆筒的热应力,厚壁圆筒的内半径为a，外半径为b，两端自由且绝热。筒内无热源，内壁温度为ta，外壁温度为tb，求热应力。 热传导方程 积分得 t = alnr + b 由边界条件确定常数后得,温度场,利用平面轴对称热应力问题一般解 利用边界条件、温度场，求得积分常数，得平面应变问题的应力分量,当ta tb时，圆筒内温度及热应力分布大致如图所示。,（a）厚壁圆筒温度分布 （b）应力分布,97 形变条件下热塑性物理方程,在小变形情况下的热塑性问题，其平衡方程、几何方程以及应变协调方程都和热弹性问题完全一样。但两者的物理方程不同。在热塑性的形变理论中，物体的应变是由三部分组成的，即： (1)由于自由膨胀而引起的应变分量，它们为jt = t，对应的剪应变分量为零； (2)在热膨胀时由于物体内各部分之间的相互约束而引起的热弹塑性应变分量 ，它们和热应力之间由形变理论的表达式确定； (3)由平均热应力引起的体积应变。,变温情况下热塑性物理方程为 其中，0为平均应力，k为体积模量，为比例因子， = 3i /(2i)，si 为应力主偏量，i 和i 分别为应变强度和应力强度。,在平面应力问题中，z = 0，热