2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案文（含解析）.docx

坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识【重点、难点剖析】1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为：220cos(0)0r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于M，半径为r：2rsin .(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r22020cos(0)4直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数) 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量5圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)6圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数)(2)双曲线1的参数方程为(为参数)(3)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数).【题型示例】题型一极坐标方程和参数方程【例1】(2018全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程； 【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x221，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标题型二参数方程与普通方程的互化【例2】(2018全国)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程【解析】(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围【变式探究】 【2017江苏】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】【解析】直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时， . 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程； （II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a【答案】（I）圆,（II）1【解析】解：（）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.【解析】(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以AB|21|2.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标要注意题目所给的限制条件及隐含条件【变式探究】将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得：或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.题型三极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m：(0)(1)求C和l的极坐标方程；(2)设点A是m与C的一个交点(异于原点)，点B是m与l的交点，求的最大值解(1)曲线C的普通方程为(x1)2y21，由得22sin21，化简得C的极坐标方程为2cos .因为l的普通方程为xy40，所以极坐标方程为cos sin 40，所以l的极坐标方程为sin2.(2)设A(1，)，B(2，)，则2cos (sin cos cos2)sin，由射线m与C，直线l相交，则不妨设，则2，所以当2，即时，取得最大值，即max.【感悟提升】(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos .(1)若曲线C2的参数方程为(为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数)，A(0,1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求的取值范围【解析】(1)2cos ，22cos ，又2x2y2，cos x，曲线C1的直角坐标方程为x2y22x0，曲线C2的普通方程为x2(y1)2t2.(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2y22x0，得t2(2sin 2cos )t10.(2sin 2cos )248sin240，sin.t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t210，t1t210，t1，t2同号，|t1|t2|t1t2|.由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得 2(2,2(2,2【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.【答案】（1）与的交点坐标为， ；（2）或.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为， .（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时， 的最大值为.由题设得，所以；当时， 的最大值为.由题设得，所以.综上， 或.【变式探究】在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是 由得，所以的斜率为或. 【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_解析直线l的直角坐标方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2，0)，其极坐标为(2，)答案(2，)【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围【解析】(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.【感悟提升】1将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要