2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题24函数与方程思想、数形结合思想教学案.docx

函数与方程思想、数形结合思想【2019年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例1.若0x1x2ln x2ln x1B.ln x2ln x1C.D.答案C解析设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex. 令f(x)0，得xex10.根据函数y1ex与y2的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x0(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确；设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，g(x)0，函数g(x)在(0，1)上是减函数.又0x1x2g(x2)，故选C.例2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满足g(x)g(x)1的解集为_.答案(，0)例3.已知f(t)log2t，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2mx42m4x恒成立，则x的取值范围是_. 答案(，1)(2，)解析t，8，f(t).问题转化为m(x2)(x2)20恒成立，当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.问题转化为g(m)在上恒大于0，则即解得x2或x1.例4.若x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_.答案6，2解析当2x0时，不等式转化为a.令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立.当0x1时，a，则f(x)在(0，1上单调递增，此时有af(x)maxf(1)6.综上，实数a的取值范围是6，2.题型二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.例5. 已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d等于()A. B.C. D.答案D解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d.例6.已知在数列an中，前n项和为Sn，且Snan，则的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1 答案C解析当n2时，Snan，Sn1an1，两式作差可得ananan1，即1.由函数y1在(1，)上是减函数，可得在n2时取得最大值3.例7.在等差数列an中，若a10， 设Snf(n)，则f(n)为二次函数，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.例8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S63，则nSn的最小值为_.答案9题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例9.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.例10.如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案B解析因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又3，则|OP|PQ|R.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a，0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)， 在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.例11.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若6，则k的值为_.答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 . 由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2 .由点D在AB上知x02kx02，得x0.所以， 化简得24k225k60，解得k或k.例12.已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k_.答案或解析点F的坐标为(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，当k0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k0.将yk(x1)代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，则由以AB为直径的圆过F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1x2，x1x21代入得2k210，解得k，经检验k适合式.综上所述，k.题型四、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.例1.函数f(x)2x的零点个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案B解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y12x和y2的图象，如图所示.函数f(x)2x的零点个数等价于2x的根的个数，等价于函数y12x和y2图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.例2.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_.答案解析x0是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|，x4，k0，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，则两函数图象有三个非零交点.f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示，由图可得0.所以k的取值范围为.例3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1，0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为_.答案7解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x1，0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个.不妨设x1x2x3x4x5x6时，只需求出当直线yax和曲线yln x相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是.题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)答案D解析方法一当即x1时， f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1.当时，不等式组无解.当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集为(1，0).当即x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0).故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示.由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)f(2x)转化为x12x.此时x1.当2x0且x10时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x).此时1x0.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，1(1，0)(，0).故选D.例6.设A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使AB成立的实数m的取值范围是_.答案1，)解析集合A是圆x2(y1)21上的点的集合，集合B是不等式xym0表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线xym0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有1，又m0，所以m1，故m的取值范围是1，).例7.若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的简图，如图所示.依题意得故a.例8.已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为_.答案0，)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为xa；当x1时，如图(1)所示，符合题意；当0a1时，如图(2)所示，符合题意；当a0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B.6C.5 D.4答案B例10.设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. B.C.2 D.答案D解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.例11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_.答案解析因为(2)284，所以点A(2，4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2，4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0.故使APF的周长最小的点P的坐标为.例12.已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B