电工基础第3章正弦交流电路.ppt

正弦量的基本特征及相量表示法 KCL、CVL及元件伏安关系的相量形式 阻抗串、并联电路的分析计算 正弦电路的有功功率和功率因数 RLC串联电路的谐振条件与特征,学习要点,第3章 正弦交流电路,第3章 正弦交流电路,3.1 正弦量的基本概念及其相量表示法 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振,3.1 正弦量的基本概念及其相量表示法,随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：,以正弦电流为例,振幅,角频率,振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。,相位,初相角: 简称初相,波形,角频率：正弦量单位时间内变化的弧度数,角频率与周期及频率的关系：,周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间,频率f：正弦量在单位时间内变化的周数,周期与频率的关系：,3.1.1 周期与频率,3.1.2 相位、初相和相位差,相位：正弦量表达式中的角度,初相：t=0时的相位,相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如,相位差为：,3.1.3 振幅与有效值,振幅：正弦量的最大值,周期电流有效值：让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i的有效值。,根据有效值的定义有：,周期电流的有效值为：,对于正弦电流，因,所以正弦电流的有效值为：,同理，正弦电压的有效值为：,3.1.4 正弦量的相量表示法,相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。,1复数及其运算,复数A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度a称为复数A的模，模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角称为复数A的辐角。,根据以上关系式及欧拉公式,复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角的关系为：,代数型,三角函数型,指数型,极坐标型,可将复数A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型4种形式。,复数的四则运算：,设两复数为：,(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B。,(2)加减运算：,(3)乘除运算：,2正弦量的相量表示法,将复数Imi乘上因子1t，其模不变，辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于Imsin(t + i )，正好是用正弦函数表示的正弦电流i。可见复数Imi与正弦电流i=Imsin(t + i )是相互对应的关系，可用复数Imi来表示正弦电流i，记为：,并称其为相量。,正弦量,相量,有效值相量和振幅相量的关系：,例：,求i=i1+i2,解：,相量图：,3.2 正弦电路中得电路元件,3.2.1 电阻电路 1. 电压电流关系 电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定， 在u、 i参考方向一致时， 两者的关系为 u=Ri 设电流为参考正弦量， 即 i =Im sint 则 u=Ri=RIm sint=Um sint,电阻元件的交流电路 (a) 电路； (b) 波形图； (c) 相量图,电压u和电流i相位差： =u-i=0 即电阻元件上电压和电流同相。 u、 i的幅值关系： Um=RIm u、 i的有效值关系： U=RI,相量形式表示： 若电流相量为 = Ii， 由于u、 i同相， 则u=i， 而电压有效值U=RI, 电压相量：,因此,图3-6 电阻元件的交流电路 (a) 电路； (b) 波形图； (c) 相量图,2 功率 电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率， 用小写字母p表示。等于该瞬时电压u和电流i的乘积。 电阻电路所吸收的瞬时功率为： p=ui=UmImsin2t=UI(1-cos2t) 可知电阻从电源吸收的瞬时功率是由两部分组成的： 第一部分是恒定值UI； 第二部分是幅值为UI以2的角频率随时间变化的交变量UI cos2t。,电阻元件的功率,功率的变化曲线可以看出：电阻所吸收的功率在任一瞬时总是大于等于零的， 即电阻是耗能元件。 瞬时功率无实用意义， 通常计算一个周期内吸收功率的平均值， 称为平均功率或有功功率， 用大写字母P表示。,电阻元件的平均功率等于电压和电流的乘积， 由于电压有效值U=RI， 所以,电阻电路实际消耗的电能等于平均功率乘以通电时间。,例 已知一个白炽灯泡， 工作时的电阻为484 ， 其两端的正弦电压u=311 sin(314t-60) V， 试求： （1）通过白炽灯的电流相量 及瞬时表达式； （2）白炽灯工作时的平均功率。 解 （1） 电压相量为,电流相量为,(2) 平均功率,电流瞬时值表达式,电感元件的交流电路 (a) 电路； (b) 波形图； (c) 相量图,3.2.2 电感电路 1 电压电流关系 在关联参考方向下， 电感元件的电压电流关系为,设电流i为参考正弦量， 即,电压、 电流同频率， 电压u和电流i大小和相位关系： u、 i的相位差为 =u-i=90 即电感元件上电流i比电压u滞后90。,u、 i的幅值关系为 Um=LIm u、 i的有效值关系为 U=LI=XLI XL称为感抗， 单位为欧姆()， 且 XL=L=2fL,表明， 同一个电感线圈其电感值为定值， 它对不同频率的正弦电流体现出不同的感抗， 频率越高， 感抗越大。 因此， 电感元件对高频电流有较大的阻碍作用。 在极端情况下f=0, 则XL=0， 因此电感在直流电下相当于短路线； 当f时， XL， 即通入交流电的频率越高， 电感所呈现的感抗越大。 u、 i的相量关系：若电流相量为 =ii， 根据前面的关系式可得电压相量：,2 功率 电感电路所吸收的瞬时功率为 p=ui=Umsin(t+90)Im sint=UI sin2t 可知， 电感从电源吸收的瞬时功率是幅值为UI、 以2的角频率随时间变化的正弦量。,电感元件的功率,电感元件的功率变化曲线可以看出： 曲线所包围的正、 负面积相等， 故平均功率 （有功功率）为,说明： 纯电感元件不消耗有功功率，但是电感与电源之间存在着能量交换。 在第一个1/4周期内， 随着电感中电流的增长， 磁场建立， 电感从电源中吸取能量， 且此时电压、 电流方向一致， 所以p大于0， 这一过程电感将电能转换为磁场能； 在第二个1/4周期内， 电感中电流减小， 磁场逐渐消失， 此时电感将储存的能量释放出来反馈给电源， 且电压、 电流方向相反， 所以p小于0， 这一过程电感将磁场能转换为电能；,在第三个1/4周期内， 电感又有一个储能过程； 在第四个1/4周期内， 电感又有一个放能过程。 电感中的能量转换就这样交替进行， 在一个周期内吸收和放出的能量相等， 因而平均值为零。 结论： 电感不消耗能量， 是一种储能元件， 它在电路中起着能量的“吞吐”作用。 电感虽然不消耗功率， 但与电源之间有能量的交换， 电源要给电感提供电流， 而实际电源的额定电流是有限的， 所以电感元件对电源来说仍是一种负载， 它要占用电源设备的容量。,电感与电源之间功率交换的最大值用QL表示， 有,式中与电阻电路中的P=UI=RI2=U2/R在形式上相似且有相同的量纲， 但在本质上是有区别。 P是电路中消耗的功率， 称为有功功率， 其单位是瓦(W)； 而QL只反映电感中能量互换的速率， 不是消耗的功率， 为了与有功功率区别， 称之为无功功率， 单位是乏尔（var）， 简称乏。,例 已知一个电感线圈， 电感L=0.5 H， 电阻可略去不计， 接在50 Hz 220 V的电源上， 试求： （1） 该电感的感抗XL； （2） 电路中的电流I及其与电压的相位差； （3） 电感占用的无功功率QL。 解 （1） 感抗为 XL=2fL=2500.5=157 (2) 选电压 为参考相量， 即 =2200 V， 则,即电流的有效值I=1.4 A， 相位滞后于电压90。 （3） 无功功率为 QL=I2XL=1.42157=308 var 或 QL=UI=2201.4=308 var,3.2.3 电容电路 1 电压电流关系 电容元件的交流电路如图,电容元件的交流电路 (a) 电路； (b) 波形图； (c) 相量图,在关联参考方向下， 电容元件的电压电流关系为,设电压为参考正弦量， 即,则,可知, 通过电容的电流i与它的端电压u是同频率的正弦量， 电压u和电流i大小和相位关系： u、 i的相位差为 =u-i=-90 即电容元件上电流比电压超前90。,u、 i的幅值关系为,u、 i的有效值关系为,式中, XC称为容抗， 单位为欧姆()， 且,说明： 对一定容量的电容器， 通入不同频率的交流电时， 电容会表现出不同的容抗， 频率越高， 容抗越小。 在极端情况下， 若f， 则XC0， 此时电容可视为短路； 若f=0（直流）， 则XC=， 此时电容可视为开路； 这说明了电容元件的“隔直通交”作用。,u、 i的相量关系：,或,这是电容电路中欧姆定律的相量表示形式， 它既表达了纯电容元件电压电流有效值之间的关系， 又表达了它们的相位关系（u-i=-90）。,2 电容电路中的功率 电容电路所吸收的瞬时功率为 p=ui=Um sintIm sin(t+90)=UI sin2t 功率瞬时值曲线。,电容元件的功率瞬时值,说明： 电容从电源吸取的瞬时功率是幅值为UI并以2角频率随时间变化的正弦量， 其曲线如图所示。 从功率曲线可以看出其平均功率仍为0, 这说明电容不消耗有功功率， 但电容与电源之间仍存在着能量交换。 在第一个1/4周期内， 随着电容中端电压增长， 电场逐渐增强， 电容从电源吸取能量， 此时p0， 这一过程中电容将电能转换为电场能（充电）； 在第二个1/4周期内， 电容将储存的能量释放出来反馈给电源， 此时p0， 这一过程电容释放能量（放电）；,在第三个1/4周期内， 电容反方向充电； 在第四个1/4周期内， 电容反方向放电。 在一个周期内充放电能量相等， 平均值为零。 说明， 电容不消耗能量， 但可储存能量， 是一个储能元件， 在电路中也起着能量的“吞吐”作用。 与电感相似， 电容与电源功率交换的最大值也称为无功功率， 用QC表示， 有,综上所述， 电容电路中电压与电源的关系可由欧姆定律 来表示， 电容不消耗功率， 其占用的无功功率：QC=UI=I2XC=U2/XC。,例 一个10 F的电容元件， 接到频率为50 Hz， 电压有效值为12 V的正弦电源上， 求电流I。 若电压有效值不变， 而电源频率改为1000 Hz， 试重新计算电流I。 解 （1）当频率f=50 Hz时， 容抗为,电流为,(2) 当频率f=1000 Hz时， 容抗为,电流为,3.3 正弦交流电路的一般分析方法,将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法。运用相量法分析正弦交流电路时，直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。,3.3.1 阻抗的串联与并联,1阻抗的定义,定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，并用符号Z表示，即：,或,或,称为欧姆定律的相量形式。,电阻、电感、电容的阻抗：,相量模型 将所有元件以相量形式表示：,2阻抗的性质,电阻,电抗,阻抗模,阻抗角,3阻抗的串联与并联,的阻抗,的阻抗,相量模型将所有元件以相量形式表示：,3.3.2 RLC串联电路,由欧姆定律：,由KVL：,工频电压,工频电压：国家规定的电力工业及用电 设备的统一标准电压。 工频：指工业上用的交流电源的频率，单位 赫兹（HZ） 我国单相电源工频电压，50赫兹， 220V 。三相电源工频电压是50赫兹 380V ，由于世界各地工业发展的不平衡及二战期间的殖民统制等原因的影响，工频电压在全世界没有统一的标准，各国各不相同地区性差异很大：,亚 洲地区或国名 工频电压 中国台湾 110V/220V,60Hz 中国大陆 220V,50Hz 380V, 50Hz 中国香港 220V,50Hz 日本 110V,关东50Hz，关西60Hz 韩国 100V,60Hz 新加坡 230V,50Hz 印度 127V,50Hz 印尼 220V,50Hz 泰国 220V,50Hz 马来西亚 240V,50Hz 420V, 50Hz, 越南 Vietnam 220V,50Hz 欧 洲地区或国名 交流电压 俄罗斯 220V,50Hz 英国. 240V,50Hz 法国 127V/220V,50Hz 德国 220V,50Hz 意大利 127V/220V,50Hz 美 洲地区或国名 交流电压 美国 110V 或 220V,60Hz , 460V, 60Hz,例：RLC串联电路。已知R=5k，L=6mH，C=0.001F，U=5 sin106tV。(1) 求电流i和各元件上的电压，画出相量图；(2)当角频率变为2105rad/s时，电路的性质有无改变。,k,k,(2)当角频率变为2105rad/s时，电路阻抗为：,3.3.3 RLC并联电路,例：RLC并联电路中。已知R=5，L=5H，C=0.4F，电压有效值U=10V，=106rad/s，求总电流i，并说明电路的性质。,解：,设,则,因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。,3.4 正弦电路的功率,3.4.1 二端网络的功率,瞬时功率：,平均功率（有功功率）：,1平均功率,可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为0。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的平均功率。,2无功功率,表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。