湖北省宜昌市2023～2024学年高二数学下学期5月联合测评试题含答案

绝密★启用前2023~2024学年高二年级5月联合测评数学试题试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.2.已知为虚数单位，复数，为的共轭复数，则（）A. B.5 C. D.43.在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（）A.14 B.28 C.42 D.564.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（）A.240 B.216 C.180 D.1085.已知，分别为双曲线：的上、下两个焦点，点恰为抛物线：的焦点，记点为两曲线的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（）A. B.C. D.7.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（）A. B. C. D.8.正数，满足“”的充要条件是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（）A.若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为B.若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且C.若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍D.若，，，，则10.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.平面时，截正方体的截面积为C.三棱锥的外接球的表面积为D.点到平面的距离最大值为11.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则下列选项正确的是（）A.函数的图象关于对称 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为______.（请用数字作答）13.已知直线：，点，，点在直线上的射影为，则线段长度的取值范围为______.14.已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）数列的前项和，数列满足，.（1）求，；（2）记，求数列的前项和.16.（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.（1）以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；（2）该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害80方案三防控2级灾害200试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.18.（本小题满分17分）如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，其离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线，，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线，分别交椭圆于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求曲线的方程；（3）求面积的最大值.19.（本小题满分17分）如图，对于曲线，若存在圆满足如下条件：①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆与曲线在点处有相同的切线；③曲线的导函数在处的导数（即曲线在点的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径.（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；（2）（i）求证：平面曲线在点的曲率半径为（其中表示的导函数）；（ii）若圆为函数的一个曲率圆，求圆半径的最小值；（3）若曲线在，处有相同的曲率半径，求证：.

2023~2024学年高二年级5月联合测评数学试题参考答案题号123456答案CABCAA题号7891011答案BDACBCDABD1.【答案】C【解析】，，又，.2.【答案】A【解析】由题知，则，因此，则.3.【答案】B【解析】设等比数列的公比为，有，由，，成等差数列可知，即，解方程可得（舍去），则.4.【答案】C【解析】按照是否取到0进行分类：①若从0，2，4取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数；②若从0，2，4取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数.因此满足条件的共有个数.5.【答案】A【解析】抛物线的定义可知，因此平行于轴，即，由抛物线的定义，可知，，因此.6.【答案】A【解析】如图，由可知，即，由可知，即，则，可得.7.【答案】B【解析】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，圆台的高、母线长分别为，，由表面积公式知，.8.【答案】D【解析】对于A项，当时，有，必要性不成立，故A项错误；对于B项，当，时，但，必要性不成立，故B项错误；对于C项，令函数，则，由在区间上单调递增，，，因此存在使得，即在区间上不单调，不满足充要条件，故C项错误；对于D项，令函数，有恒成立，因此是在上的增函数，当时有，即恒成立，故D项正确.9.【答案】AC【解析】对于A项，第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为，故A项正确；对于B项，有放回地抽取，，则，故B项错误；对于C项，依题意得，得，黑色小球的个数为，故C项正确；对于D项，，，有，解得，则，因此，故D项错误.10.【答案】BCD【解析】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，，则点坐标为.对于A项：，，若，则，即，得，又，故不存在点，使得，故A项错误；对于B项，过点，，的截面为六边形且六边形为正六边形时垂直.此时过的截面经过对称中心，截面交，，于中点，也为中点，为的中点时，取，，的中点为，，，连接，，，，，故此时截面为正六边形，其面积，故B项正确；对于C项，设中点，外接球球心，则面，设，，解得，，外接球表面积，故C项正确；对于D项，设平面的法向量为，，，则即取，得一个法向量；点到平面的距离，考虑到，时，最大为，故D项正确.11.【答案】ABD【解析】为偶函数，，即有，A正确；，令，可得，又，，B正确；，，①，②将①②式与联立化简得，，，，即与的周期均为4，，，，，C错误；又，，，，，，，D正确.12.【答案】10【解析】展开式的通项，为了得到常数项，与相乘的项为，即，与1相乘的项为，即，因此常数项为.13.【答案】【解析】由直线方程可知，即该直线过定点，的轨迹为以为直径的圆，因此长度的取值范围为.14.【答案】【解析】令，，当时，，在区间内无零点；当时，，，当，即时，为函数的零点.当时，令，则，令，则，令，则，在区间上单调递减，区间上单调递增，，.当时，在区间内有两个零点.综上，当时函数有三个零点.15.解：（1）当时，；当时，检验满足成立.数列的通项为，由可知，由等比数列的定义可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列.数列的通项公式为.（2）由（1）得，，①②①②可知，解得.16.解：在中，由，，，知，以点为原点，，所在直线为轴、轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，由为正三角形可知，.在中，，，，由余弦定理知，解得，设点，解得.又，，可知，，...又，平面.（2）设平面的法向量的，，.则有令可得.由（1）知，平面的一个法向量为.，二面角余弦值为.17.解：（1）频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，0.2，0.1，0.05，设“梅雨期”水位的第80百分位数为，，，“梅雨期”水位的第80百分位数为.设该河流“梅雨期”水位小于为事件，水位在至为事件，水位大于为事件，，，，设该地发生1级灾害为事件，由条形图可知：，，，，，.（2）由（1）可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为，发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为，设第种方案的企业利润为，若选择方案一，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），若选择方案二，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），若选择方案三，则该企业在“梅雨期”的平均利润（万元），14分由于，故企业应选择方案二.18.解：（1），椭圆上的点到其焦点的最短距离为.因此，.由可知椭圆的标准方程为.（2）当直线，斜率存在且不为0时，设其斜率分别为，，设点，则，.将直线：代入，消去，化简得..同理.，为关于的方程的两个根，因此（*）.当直线，有一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，即，时，，与椭圆相切，满足（*）式.综上所述，曲线的方程为.（3）由（2）知，设点，则满足，有.将直线：代入，消去，化简得