直角三角形的性质与判定.ppt

义务教育教科书 SHUXUE 八年级下,1.2.1 直角三角形的性质与判定(2),湖南教育出版社,第一章 直角三角形,勾 股 定 理,学习目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.,同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？,毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。相传2500年前，一次，他在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系,情景引入,像数学家一样思维,（1）观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积。,正方形B的面积是 个单位面积。,正方形C的面积是 个单位面积。,16,16,9,25,看到这个结果，如果你是数学家会想到什么？,A,B,C,图1-1,（图中每个小方格代表一个单位面积）,探究,图2,图3,4,9,13,9,25,34,sA+sB=sC,两直角边的平方和等于斜边的平方.,探究：你会求出图形的面积吗？,a,c,b,分析猜想,SA+SB=SC,正方形A、B、C的面积用a、b、c如何表示?,a2+b2=c2,方法一,思考:大正方形面积怎么表示？,推理验证,证明：,大正方形面积=(a+b)2,又大正方形面积=41/2ab+c2, (a+b)2=41/2ab+c2, a2+2ab+b2=2ab+c2, a2+b2=c2,用小正方形面积可以验证吗？,直角三角形呢？,=2ab+b2-2ab+a2,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 .,c2,4 +(b- a)2, c2= 4 +(b-a)2,方法二,推理验证,证明：,a,b,b,c,(1),(2),a,a,b,c2,b2,a2,推理验证,方法三,证明：,图(1)大正方形面积=41/2ab+c2,又图(2)大正方形面积=a2+41/2ab+b2, 41/2ab+c2=a2+41/2ab+b2, a2+b2=c2,对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？,两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？,提示：图中的两个大正方形面积相等吗？,空白部分的面积呢？,推理验证,方法四,a2+b2=c2,总统证法,推理验证,方法五,S梯形=1/2(a+b)(a+b)=1/2 (a2+2ab+b2) =1/2a2+ab+1/2b2 S梯形=21/2ab+1/2c2=ab+1/2c2 1/2a2+ab+1/2b2=ab+1/2c2 a2+b2=c2,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话. 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。,青出,华罗庚,青朱出入图,推理验证,方法六,无字证明,a,b,无字证明,推理验证,c,直角三角形的性质定理：勾股定理,归纳,a,c,b,勾,股,弦,常用的勾股数：3，4，5；,5，12，13；,6，8，10；,7，24，25。,勾股定理的用途：勾股定理是直角三角形独有的性质，它揭示了直角三角形三条边之间的美妙关系。因此，直角三角形中，已知任意两条边长，就可以用a2+b2=c2 求出第三边。,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾“，下半部分称为“股“。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.,勾 股 世 界,两千多年前，古希腊有个哥拉,斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此,在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯,年希腊曾经发行了一枚纪念票。,定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955,勾 股 世 界,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前，,国家之一。早在三千多年前,两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。,我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。,这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”,“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智。它是我国古代数学的骄傲因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。,勾股定理的各种表达式：,在RtABC中，C=90, A 、B、C的对边分别为a 、b 、c ,则:,c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2,c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c=,a=,b=,归纳（在RT中已知两边求第三边),知识应用,归纳（在RT中已知两边求第三边),例1：求出下列直角三角形中未知边的长度。,A,C,B,解:(1)在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,（2）在RtABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2,你能又快又准确吗？,1：求下列直角三角形中未知边的长 2：求下图中未知数x、y的值,3,x-1,x,x,24,26,36,64,x,25,169,y,小试牛刀,=5,10=,=10,=12,=4,3、在RtABC中，C=90， 若a=5，b=12，则c=_； 若a=15，c=25，则b=_；,13,20,4、在Rt ABC中，a、b、c分别为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A、 a2+b2=c2 B、 a2+c2=b2 C、 b2+c2=a2 D、 以上都有可能,D,小试牛刀,例1 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm,AD BC于点D。你能算出BC边上的高AD的长吗？,A,B,C,D,解:在ABC中， AB=AC=13, BC=10，ADBC BD= BC=5 在Rt ADB中，由勾股定理得， AD2 +BD2 =AB2 ， 故AD的长为12cm.,1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_,a2+b2,2) 在RtABC中C=90,若c=17,a=8,则b=_,15,一 填空题：,基础巩固,（4）等边三角形的边长为12，则它的面积为_,（5）在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为 _,5 或,一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（ ） A B C D ,二 选择题：,如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ） A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5,如图，在RTABC中，C=90, B=45,AC=1,则AB=( ) A 2, B 1, C , D,A,C,B,A,B,C,C,D,检测与评价,(1) ABC中，C=90 若a=3cm,b=4cm,则c= _ cm 若 a=12cm,c=13cm,则b= _ cm 若 c=16cm,b=6cm,则a= _ cm,(2)判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ),1.在RtABC中B=90， a=15，c=20，求b ；,2. ABC中，C=90，若 a:b=3:4，c=15cm， 求a和b的长度,(3)解答题,5,5,错,错,=25,学习反思,（1）这节课我的收获（ ）；,（2）我最感兴趣的地方是（ ）,（3）我想进一步研究的问题是（ ）。,1、