随机事件与概率.ppt

概率论与数理统计,-考研春季基础班,主讲：朱祥和,联系方式：,QQ： 2631328 E-mail：,概率与数理统计学科的特点：,1、研究对象是随机现象。 2、题型比较固定，解法比较单一，计算技 巧要求低一些。 3、高数和概率相结合。,考研数学课程中，概率论与数理统计是理工科（数学一）、经济类（数学三）必考的，分值为34分，占总分的22.7%。,概率统计题型构成： 选择题：第7、8题，每小题4分，共8分 填空题：第14题，4分 计算题：第22、23题，每小题11分，共22分,知识结构,第一章 随机事件与概率 第二章 一维随机变量及其分布 第三章 二维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计与假设检验,随机现象： 某人射击一次,考察命中情况; 某人射击一次,考察命中环数; 掷一枚硬币,观察向上的面; 从一批产品中抽取一件,考察其质量; ,确定性现象： 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其关系; ,第1.1节 引言,第一章 概率论的基本概念,随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。 概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。,第1.2节 概率的统计定义(频率),1.随机试验（E）对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性, 明确性 , 随机性.,2.随机试验的样本点随机试验的每一个可能结果.,3.随机试验的样本空间（或S）随机试验的所 有样本点构成的集合.,4.基本事件的单元素子集，即每个样本点构成 的集合.,5.随机事件的子集，常用A、B、C表示.,6.必然事件（）,7.不可能事件（）,定义 (概率的统计定义) 在一定条件下,重复做 次实验, 为 次实验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率 逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在 该条件下发生的概率,记作 .,注: (1) 频率具有稳定性 (2) 当试验次数n较大时,经常用频率代替概率,第1.3节 概率的古典定义(比率),1.古典概型（古典试验） 设为试验E的样本空间，若 （有限性） 只含有限个样本点， （等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。,2.古典概率的定义 设E为古典概型， 为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率 P(A)=有利于A的基本事件数/试验的基本事件总数 ( 或=事件A包含的基本结果数/试验的基本结果数）,第1.4节 排列组合与古典概率的计算,一.排列与组合,1.非重复的排列:从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素, 按一定的顺序排成一列称为排列,排列的种数记作,2.组合:从n个不同的元素中,每次取出k个不同的元素,与元素 的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用 表示,其中,3.可重复的排列:从 n个不同元素中可重复取出m个元素 的排列总数为 种.,注:在(1)中若k=n,此排列称为全排列, 若kn,此排列称为选排列,二.加法原理:,完成某件事情有n类办法,在第一类方法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,依次类推,在第n类办法中有mn种方法,则完成这件事共有N = m1+m2+mn种不同的方法,其中各类办法彼此独立.,三.乘法原理:,完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有 m2 种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法,特点是各个步骤连续完成.,例题:,1.4.1 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1) 两件都不是次品的选法有多少种? (2) 只有一件次品的选法有多少种?,解: (1) 用乘法原理，结果为,(2) 结合加法原理和乘法原理，得选法为:,例 题,例1.4.2（产品的随机抽样问题） 例1 箱 中 有 6 个 灯泡，其 中 2 个 次 品4 个 正 品，有 放 回地 从 中 任 取 两 次， 每 次 取 一个，试求下 列 事 件 的 概率： （1） 取 到 的 两 个 都 是 次 品， （2）取到的两个中正、次品各一个, （3）取到的两个中至少有一个正品.,解：设A = 取 到 的 两 个 都 是 次 品，B=取到的两个中正、次品各一个, C=取到的两个中至少有一个正品.,（1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22，,所以P（A）=4/36=1/9,（2）有利于事件B的基本事件数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）有利于事件C的基本事件数为62-22=32，,P（C）=32/36=8/9,注意若改为无放回地抽取两次呢? 若改为一次抽取两个呢？,1 古典概型的基本模型-摸球模型,A 无放回地摸球 问题1 设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。 问题2 设袋中有10个相同的球，依次编号为1，2.，10，每次从袋中任取一球，取后不放回，求第5次取到1号球的概率。,摸球模型的应用,1 检查废品问题 设100只晶体管中有5只废品，现从中抽取15只，求其中恰有2只废品的概率。 2 抽签问题 在编号为1，2，,n的n个球中，采取无放回方式抽签，试求在第K次抽到1号球的概率。 3 分组问题 把20个球队分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队分在不同组的概率。 4 扑克牌花色问题 求某选手拿到一副牌（13张）中恰有黑桃6张，方块3张，红花4张的概率。,B 有放回地摸球,问题3 袋中有4个红球，6个黑球，从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、第3次摸到红球的概率。 问题4 袋中有4个红球，6个黑球，求从中有放回地摸球200次中红球出现30次的概率。,摸球模型的应用,5 电话号码问题 在7位数的电话号码中，求数字0恰好出现了3次的概率。 6 骰子问题 掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。,A 杯子容量无限 把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中假设每个杯子可放任意多个球。 B 每个杯子只能放1个球 把4个球放到10个杯子中去，每个杯子只能放1个球，求第1至第4个杯子中各有1个球的概率。,模型的应用,1 生日问题 某班20个学生都是同一年出生的，求有10个学生生日是1月1日，另外10个学生生日都是12月31日的概率。 2 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去，试求每个房间恰有1人的概率。,第1.5节 事件的关系与运算、加法公理,事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。 比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。,记 号 概 率 论 集 合 论 S() 样本空间,必然事件 空间,全集 不可能事件 空集 样本点 元素 A 事件 集合,A是B的子事件 A是B的子集,A与B是相等事件 A与B是相等集合,A与B互斥(互不相容) A与B无相同元素,A与B的和(并)事件 A与B的并集,A与B的积(交)事件 A与B的交集,A与B的差事件 A与B的差集,A的对立事件(逆事件) A的余(补)集,概率的主要性质,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)加法公式 若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥 事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC) - P(BC)+P(ABC) 可推广到有 限个事件的情形(多退少补原则)。,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例题,1.5.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。,所以，P( )=1-0.2=0.8,解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考：在以上条件下，P(A-B)=？,1.5.2. 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都 不发生 的概率为 0.15 ,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不发生的概率及P(A+B).,解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（ ）=0.15，,则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5,P（B-A）=P（B）-P（AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P（ ）=0.85,又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以，,P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25,课堂练习,1.P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6， 求P(A-B). 2.P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB) 3. P(A) =P(B) = P(C) =1/4， P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。 4. A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,所以P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3,(2)P( -AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,(3)P( )=P( )=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P( )=P( )=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB), 所以,P(B)=1-P(A)=1-p,一、条件概率,1、定义 对于两个事件A、B，若P（A）0，则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。,注意:区别P（B|A）与P（AB）. 例 有10个人,其中色盲者3人,从这10人中每次任取一人,共取两次。 设A第一次取出色盲 第二次取出色盲 则 P(B|A)/ (A)=1/15 P()=3/10,第1.6节 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式,例1.1 在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求 两次都取到次品的概率； 第二次才取到次品的概率； 已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。,若改为有放回抽样呢？,（2）P（ ）=(73)/(10 9)=7/30,（3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)= (1/15)/(3/10),解：设A=第一次取到次品，B=第二次取到次品，,（1）P（AB）=(32)/(109) =1/15,例1.2已知 0P（B）1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B) 记C=-B ,则下列选项成立的是（ ） P(A1+A2)|C=P(A1|C)+P(A2|C) P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B) P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),例1.3 设事件A是B的子事件1 P(B)0， 则下列选项必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B),例1.4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( -B)|A)=0.4,则 P(B)=( ).,2、乘法公式,对于两个事件A与B， 若P(A)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A), 若P(B)0, 则有 P(AB)=P(B)P(A|B), 若P(A)0,P(B)0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),推广情形,对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,An ,若 P ( A1A2An-1 ) 0，则 有 P ( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),特别：对事件A，B，C，若P（AB）0，则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）,注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率,B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A| ）=0.3，P（B2| ）=0.4， 所以，P（A）=P（ A）=P（ ）P（A| ）=0.80.3=0.24，,例1.6.5 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。,解：设A=甲机被击落，B=乙机被击落，B1=乙第一次被击落， B2=乙机第二次被击落，由题意得：B1.B2互斥，,P（B2）=P（ B2）= P（ ）P（ | ）P（B2| ）,==0.224,P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424,二、全概率公式和Bayes公式,1、全概率公式 A1,A2,An是两两互斥的正概率事件， 且事件 A1+A2+An= , 则 对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An),注意：,（1）全概率公式中的事件组是完备事件组； （2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组； （3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。,例1.6.6 设10件产品中有4件不合格品，从 中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？,解：设A=第一次取得不合格品，B=第二次取得不 合格品，,事件A和A的对立 事件构成完备事件组，由全概率公式得：,=（4/10）（3/9）+（6/10）（4/9）,= 6/15,例1.6.7 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲 厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品 率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.,(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?,解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得:,=0.025,分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的Bayes公式.,设正概率事件A1，A2,.,An构成完备事件组 ,对于任何一个正概率事件B，有,注意:,1. A1,A2,.,An可以看作是导致事件B发生的原因; 2. P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原因Aj发生的概率,称为 “后验概率”;Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 3. P(Aj)对应可以称为“先验概率”.,2、贝叶斯（Bayes）公式,P ( Aj| B )=,P(Aj B)/P(B)=P ( Aj) P( B | Aj ) / P（B）,例1.6.8 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为: 甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率 为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率.,(2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?,解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:,=0.4,思考 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,解:,设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，,求P(C|A).,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得: P(CA)= 0.1066,第1.7节、事件的独立性,定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1 A、B为两个事件，若P(A)0, 则 A与B独立等价于P(B|A)=P(B).,证明：A.B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),证明: 不妨设A.B独立,则,其他类似可证,推论2 在 A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 这四对 事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。,说明： 推论3提供了一种判断两事件独立性的直观方法， 即对于两事件， 若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。,推论3 设0P(A)1,0P(B)1 则下面四个等式 等价， P(B|A)=P(B)， P(B| )=P(B) P(A|B)=P(A)， P(A| )=P(A),推广1（n个事件的相互独立性）:设有n个事件A1,A2,