《弹塑性力学》第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt

2019/4/4,1,7-1平面极坐标下的基本公式,第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答,7-2轴对称问题,7-3轴对称应力问题曲梁 的纯弯曲,7-4圆孔的孔边应力集中问题,7-5曲梁的一般弯曲,7-6楔形体在楔顶或楔面受力,2019/4/4,2,在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。,2019/4/4,3,7-1平面极坐标下的基本公式,采用极坐标系则平面内任一 点的物理量为r, 函数。,体力：fr=Kr , f=K,面力：,应力：r, ,r= r,应变：r, ,r= r,位移：u r , u,2019/4/4,4,7-1平面极坐标下的基本公式,直角坐标与极坐标之间关系:,x=rcos, y=rsin,2019/4/4,5,7-1平面极坐标下的基本公式,1.1 平衡微分方程,2019/4/4,6,7-1平面极坐标下的基本公式,1.2 几何方程,1.3 变形协调方程,2019/4/4,7,7-1平面极坐标下的基本公式,1.4 物理方程,平面应力问题：,平面应变问题将上式中 ， ，即得。,2019/4/4,8,7-1平面极坐标下的基本公式,1.5 边界条件,1. 位移边界条件： ， （在 su 上 ）,2. 力的边界条件：,（在 s 上 ）,2019/4/4,9,7-1平面极坐标下的基本公式,1.5 边界条件,环向边界,（r=r0）,径向边界,（=0）,（在 s 上 ）,2019/4/4,10,7-1平面极坐标下的基本公式,1.6 按位移法求解,基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力 均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移 表示：,2019/4/4,11,7-1平面极坐标下的基本公式,1.6 按位移法求解,2019/4/4,12,7-1平面极坐标下的基本公式,上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。,力的边界条件也同样可以用位移表示。,2019/4/4,13,7-1平面极坐标下的基本公式,1.7 按应力法求解,在直角坐标系中按应力求解的基本方程为(平面应力问题）,其中,2019/4/4,14,7-1平面极坐标下的基本公式,在极坐标按应力求解的基本方程为 （平面应力问题）,其中,力的边界条件如前所列。,2019/4/4,15,7-1平面极坐标下的基本公式,1.8 应力函数解法,当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为, 4 ( r, ) = 0 或,2019/4/4,16,7-1平面极坐标下的基本公式,而极坐标系下的应力分量r ,r 由 ( r, ) 的微分求得, 即：,2019/4/4,17,7-2 轴对称问题,2.1 轴对称问题的特点,1.截面的几何形状为圆环、圆盘。,2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ： ， （沿环向的受力和约束为零） 。,3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：,2019/4/4,18,7-2 轴对称问题,在V内 u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r), r=r (r), = (r) 。 各待求函数为r的函数（单变量的）,2019/4/4,19,7-2 轴对称问题,2.2 轴对称平面问题的基本公式,1. 平面微分方程（仅一个）：,2. 几何方程（二个）：,2019/4/4,20,7-2 轴对称问题,3.变形协调方程（一个）：,变形协调方程,2019/4/4,21,7-2 轴对称问题,3.变形协调方程（一个）：,变形协调方程,由几何方程：,或,2019/4/4,22,7-2 轴对称问题,4.物理方程(两个),平面应力问题,或,平面应变问题时弹性系数替换。,2019/4/4,23,7-2 轴对称问题,5. 按位移法求解,将 r、 用ur 表示，并代入平衡微分方程，,对于平面应力问题,2019/4/4,24,7-2 轴对称问题,5. 按位移法求解,位移法的基本方程为：,2019/4/4,25,7-2 轴对称问题,相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）,位移边界条件： （在 su 上）,力的边界条件： （在 s 上）,平面应力问题的力边界条件用位移表示：,2019/4/4,26,7-2 轴对称问题,6. 按应力法解,当ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则 相应应变、应力均可求出。,（在 s 上）,2019/4/4,27,7-2 轴对称问题,应力法基本方程,2019/4/4,28,7-2 轴对称问题,边界条件为力的边界条件：,（在 s 上）,其中,2019/4/4,29,7-2 轴对称问题,7.按应力函数求解,当无体力时应力法基本方程为：,选取应力函数 = (r)单变量的函数,2019/4/4,30,7-2 轴对称问题,应力分量与 (r)的关系：,自然满足平衡微分方程，则应力函数 (r)应满足的基本方程为相容方程，即,2019/4/4,31,7-2 轴对称问题,或,四阶变系数的微分方程（尤拉方程）,2019/4/4,32,7-2 轴对称问题,而,则,2019/4/4,33,7-2 轴对称问题,逐次积分（四次）可将轴对称问题的 (r)基本形式得到：,( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D,2019/4/4,34,7-2 轴对称问题,其中A、B、C、D为任意常数，D可去掉。,将 (r) 代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：,2019/4/4,35,7-2 轴对称问题,对于圆环或圆筒，边界条件仅两个，不能确定三个系数。 但圆环或圆筒为复连域，除了边界条件满足外还要考虑位移单值条件。,下面将ur 表达式导出 （平面应力问题为例）,2019/4/4,36,7-2 轴对称问题,将物理方程代入几何方程：,将应力分量表达代入几何方程的第二式，得,2019/4/4,37,7-2 轴对称问题,应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得,(b),(a),2019/4/4,38,7-2 轴对称问题,考虑位移单值性比较（a）和（b）式：,4Br-F=0 B=F=0,轴对称问题的应力和位移解为：,A、C 由两个条件确定。,2019/4/4,39,7-2 轴对称问题,对于无体力圆盘（或圆柱） 的轴对称问题，则根据圆盘 （或圆柱）中心应力和位移 有限值,得,A=0,图示圆盘受力情况，得应力为,r=2C= -q,2019/4/4,40,7-2 轴对称问题,2.3 轴对称问题举例,例题1 等厚圆盘在匀速 转动中计算 （按位移法解）,已知：等厚圆盘绕盘心匀速 转动（单位厚）角速度为 （常数）、圆盘密度为 ，,2019/4/4,41,7-2 轴对称问题,2.3 轴对称问题举例,圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用： fr=Kr=2r ， f=K=0,在r = a边界上 （或 ）,符合轴对称问题（平面应力问题）。,2019/4/4,42,7-2 轴对称问题,位移法的基本方程：,积分两次：,确定C1和C2：当 r =时，ur为有限值， 须C2=0,2019/4/4,43,7-2 轴对称问题,利用 r = a 时，,，得,代回位移表达式并求应力,2019/4/4,44,7-2 轴对称问题,2019/4/4,45,7-2 轴对称问题,如果圆环匀速（）转动， 则ur 表达公式中的C20 ，,C1 和 C2 由力的边界条件定： (r）r=a=0, (r）r=b=0,2019/4/4,46,7-2 轴对称问题,例题 圆环（或圆筒）受内外压力作用。,已知：体力 fr=f=0 （或 K r=K=0），,力的边界条件：,在r = a 边界（内径）：,r= -qa，r=0,在r = b 边界（外径）： r= -qb，r=0,2019/4/4,47,7-2 轴对称问题,本问题仍为轴对称问题，且 体力为零， 可采用前述的应 力函数求解方程，也可按位 移法求解。,按应力函数法求解,按应力函数求解前面已导出位移分量和 应力分量表达式：,2019/4/4,48,7-2 轴对称问题,平面应力问题的应力：,利用力的边界条件，得：,2019/4/4,49,7-2 轴对称问题,代回应力表达式：,得,2019/4/4,50,7-2 轴对称问题,得,2019/4/4,51,7-2 轴对称问题,按位移法求解：,由基本方程,得,代入应力与位移之间关系式(平面应力问题)，有,2019/4/4,52,7-2 轴对称问题,讨论：,(1）当 qa 0，qb = 0 仅受内压，以及qb = 0、 b 时。,利用力的边界条件导出同样结果。,2019/4/4,53,7-2 轴对称问题, 0 (压),0（拉）,2019/4/4,54,7-2 轴对称问题, 0 (压),0（拉）,当b :,当 r ，应力 0,2019/4/4,55,7-2 轴对称问题,（2）当qa = 0，qb 0 仅受外压；, 0 (压), 0（压）,2019/4/4,56,7-2 轴对称问题,例题3. 组合圆筒。,内筒：内径a，外径b， 弹性系数E、，,外筒：内径b，外径c，弹性系数E、。,内筒应力和位移：,2019/4/4,57,7-2 轴对称问题,平面应变问题,2019/4/4,58,7-2 轴对称问题,外筒应力和位移：,2019/4/4,59,7-2 轴对称问题,组合圆筒应力和位移表达式中,共有四个待定系数A、C、A、C，利用四个条件定。,如果内筒受内压 qa 外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为：,(r）r=a= -qa , (r）r=c=0 , (r）r=b= (r）r=b ，(ur）r=b= (ur）r=b,2019/4/4,60,7-2 轴对称问题,又如：内筒无内压qa = 0，外筒无外压qc = 0，但内筒外径大一点，内筒外径为b+ ，外筒内径仍为b，过盈配合问题，,边界条件如何写：,(r）r=a= 0 , (r）r=c=0 ,(r）r=b= (r）r=b ，,(ur）r=b= (ur）r=b +,2019/4/4,61,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,曲梁为单连域，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析知曲梁 =c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与 无关的，因此属于轴对称应力问题。,2019/4/4,62,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,但位移不是轴对称的，即u 0 ，所以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力（应力函数）解法求应力并由应力导出位移。,2019/4/4,63,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,按轴对称应力函数解： 应力函数 = ( r) ( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2 (已导出),a r b, 0 ,2019/4/4,64,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,在主要边界上 r = a： (r）r=a= 0，(r）r=a= 0 ,（1）,利用力的边界条件确定 A、B、C：,2019/4/4,65,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,r = b： (r）r=b= 0，(r）r=b= 0 ，,（1）,（2）,利用力的边界条件确定 A、B、C：,2019/4/4,66,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布，利用圣维南原理：,在 = 0:,由于主要边界满足，则此式自然满足；,2019/4/4,67,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,在 = 0:,(3),2019/4/4,68,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,由（1）、（2）、(3)求出A、B、C。,(3),（1）,（2）,( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2,2019/4/4,69,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,解出A、B、C,2019/4/4,70,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,应力分量,2019/4/4,71,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,应力求出后，依次可求出应变和位移。,在徐芝纶(4-12)中I、K、H为刚体位移，,I = u0、K = v0, H = 。,可利用约束确定，如令 r0 =(a+b)/2 ， = 0 处,2019/4/4,72,7-3轴对称应力问题曲梁的纯弯曲,可利用约束确定，如令 r0 =(a+b)/2 ， = 0 处,得 H=K =0,2019/4/4,73,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,从本节和后面两节 讨论一些工程中经常用 到的一些解，仍采用应 力函数解法。本节讨论 一个无体力的矩形薄板， 薄板内有一个小圆孔（圆孔半径a很小），薄板两个对边分别受均匀拉力q1和q2作用，由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力称应力集中问题。,2019/4/4,74,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,=,+,2019/4/4,75,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,图( a )受力情况，依照线弹性力学叠加原理：,图( a )的解图( b )的解图( c )的解。,2019/4/4,76,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,下面分别讨论图( b )和图( c )的解：,图( b )情况,远离孔的位置 应力为,2019/4/4,77,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,其中 q=(q1+q2)/2，图( b ) 解相当圆环内径无内压qa= 0,外径受外压qb = -q作用情况,已有解，只须将a/b 0 代入,得,2019/4/4,78,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,图( c )情况，远离孔的位置应力为 x= - y =q , xy= 0 , 其中 q=(q1 -q2)/2，,通过应力转换式可得 r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。,2019/4/4,79,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,r =qcos2 , = -qcos2 , r = -qsin2 。 可见, 图( c )的应力不是轴对称的（结构为轴对称）， 关键是要设应力函数 ( r, ),采用半逆解法：,2019/4/4,80,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,（1）根据应力函数与应力 分量的关系式判断( r, ) 应有cos2 项（因子）。,在较远处 qcos2,在较远处 - qcos2,2019/4/4,81,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,在较远处 - qsin2,（2）假设应力函数 ( r, ) 可以分离变量,( r, )=f(r)g()=f(r)cos2,2019/4/4,82,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,将所设 ( r, ) 的形式, 代入 4 = 0 ，得,( r, )=f(r)g()=f(r)cos2,2019/4/4,83,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,解出,代回应力函数 ( r, ),得,可求得应力分量表达式为,2019/4/4,84,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,可求得应力分量表达式为,应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定,2019/4/4,85,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,四个力边界条件,即 (r）r=a= 0 , (r）r=a= 0 , (r）r=b= qcos2 , (r）r=b= -qsin2 ；,由此四各方程解得 A、B、C、D。,2019/4/4,86,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,其中,2019/4/4,87,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,当 a/b 0（无限大板中有小孔） 代入上述各系数表达式，得,N=1, A=0, B=-q/2, C=qa2, D= -qa4/2,再代入上面图( c )应力表达式， 可得应力最后表达式：,2019/4/4,88,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,2019/4/4,89,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,最后图( a )应力由图(b )应力解和图( c )应 力解相加而得。,2019/4/4,90,7-4 圆孔的孔边应力集中问题,当q1 = q，q2 = 0代入上式，可得齐尔西解,q,q,x,3q,-q,y,q,x,y,3q,q,-q, = 0o,q, = 90o,2019/4/4,91,7-5 曲梁的一般弯曲,曲梁无体力作用，曲梁顶部 受集中力P作用。,仍采用半逆解法： 考虑曲梁截面上内力表达式， 推出应力函数的函数变化。 在 截面内力：,2019/4/4,92,7-5 曲梁的一般弯曲,根据应力函数与应力分量的关系式判断 ( r, )应有sin 项（因子）。,假设应力函数 ( r, ) 可以分离变量, 设为 ( r, )=f(r)g()=f(r)sin 代入 4 = 0, 得,2019/4/4,93,7-5 曲梁的一般弯曲,解得 f(r)=Ar3 + Br +Crlnr + D/r,则 ( r, )=(Ar3 + Br +Crlnr + D/r）sin 其中 Brsin =By 可略去。,将 ( r, ) 代入应力分量表达式,2019/4/4,94,7-5 曲梁的一般弯曲,A、C、D由力的边界条件来定。 力的边界条件：在主要边界上,在r = a： r = 0 , r = 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0,在r = b: r = 0 , r = 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0,2019/4/4,95,7-5 曲梁的一般弯曲,在次要边界上： 在 =0 ，环向方向的面力为零,径向方向的面力的分布未给出， 但给出面力的合力,满足,2019/4/4,96,7-5 曲梁的一般弯曲,利用圣维南原理,或,由上述方程解出,2Aa+C/a-2D/a3= 0 2Ab+C/b-2D/b3= 0,2019/4/4,97,7-5 曲梁的一般弯曲,代回应力分量表达式,2019/4/4,98,7-5 曲梁的一般弯曲,注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。 应变和位移可由物理和几何方程导出。,2019/4/4,99,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,楔形体分别受三种不同荷载作用时，应力函数 ( r, )的选取考虑：,（1）采用分离变量法 ( r, )=g(r)f() ；,（2） 考虑应力函数在楔形体边界上的变化规律，将 ( r, ) 中的g( r)的形式假设出来;,2019/4/4,100,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,（3） 然后利用 4 = 0 求 f( ) 的形式；,（4）利用边界条件确定f( )的表达式的待 定系数。,情况1 楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力P作用。,2019/4/4,101,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,设应力函数 ( r, )=g(r)f(),且利用无体力时，应力函数 ( r, ) 在边界上的值及偏微 分与边界上面力的关系式来 确定 g(r) 的形式。,2019/4/4,102,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,首先可设边界上始点A的A = 0,则边界上在OA段任意点B的 值为 B = 0,任意点经过O点,在楔形体左侧的 值为 =Prsin(-/2) 与r一次式有关。,2019/4/4,103,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,可设 ( r, ) = g(r)f() = r f( ),( r, )的假设也可以由 ( r, ) 与应力分量的关系及应力分量与 集中力P 之间量纲关系来设。,2019/4/4,104,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,由 ( r, ) = r f( ) 代入 4 = 0 ， 得：,要求,解得 f() = Acos+Bsin + (Ccos+Dsin),( r, )= A r cos + B r sin + r (Ccos+Dsin),2019/4/4,105,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,由 ( r, )可得应力分量表达式,系数C、D的确定：,2019/4/4,106,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,可见仅靠力的边界条件不能确定所有待定系数，这是由于本问题的载荷是作用于一点的集中力，在顶点有奇点，待定系数需靠部分楔形体的平衡而确定。,首先应考虑边界条件来定，即 = /2 时，= 0 , r= 0 , 自然满足。,2019/4/4,107,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,Fx = 0:,Fy = 0:,2019/4/4,108,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,代回应力分量表达式,讨论：,1. 当 = 0 ，,2. 当 = /2，,2019/4/4,109,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,3当 = 时楔形体变为半无限体，受集中力作用：,当 = , = /2 :,2019/4/4,110,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,当 = , = 0 :,利用应力转换公式，可得到直角坐标 中的应力分量：,2019/4/4,111,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,2019/4/4,112,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,将上式代入物理方程和几何方程并积分求得位移：,（H、I、K任意数）,2019/4/4,113,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,由对称性，得 (u )=0= Hr+K = 0,则 H = K = 0。,半无限体边界上任意点沉陷 （= /2）：,2019/4/4,114,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,M点：,B点：,B点相对M点沉陷：,2019/4/4,115,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,情况2 楔形体不考虑体力，楔形体顶部受集中力偶M作用。,与情况1类似步骤，可设,( r, ) = g(r)f() = f( ),代入 4 = 0 ， 解得：,( r, )= Acos2 + Bsin2 + C +D,(D 可略去),2019/4/4,116,7-6 楔形体在楔顶或楔面受力,由 ( r, ) 可得应力分量表达式,系数A、B、C仍是