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第七章 不可压缩粘性流体的流动,物体在流体中运动的阻力问题，机翼绕流时的环量的产生问题等，它们都不能在理想流体的理论模型之下得到解决或解释，这些问题需要考虑流体的粘性才行。 本章首先建立粘性流体运动的微分方程组，然后再研究一些粘性流体力学问题的求解，特别是要重点研究一下边界层问题的求解。,二元粘性流体,第七章 不可压缩粘性流体的流动,7-1 粘性流体中的应力 7-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程 7-3 精确解 7-4 边界层的概念 7-5 边界层微分方程 7-6 边界层动量积分关系式 7-7 平板边界层的近似计算 7-8 曲面边界层的流动分离 7-9 绕流物体的阻力 7-10 自由淹没射流 7-11 管道入口和弯道中的边界层,一、应力的表示, 7-1 粘性流体中的应力,不可压缩粘性流体的流动,二、流体的本构关系式,对于理想流体来说，没有剪切应力存在。但是对于粘性流体来说，剪切应力的存在是其根本的特征。这样，经过一点的任意法方向的作用面上的应力一般来说就可能既有法向分量又有切向分量了。,一、应力的表示,pzz,pyy,pxx,pyz,pzy,pxz,pxy,pzx,pyx, 7-1 粘性流体中的应力,i 应力作用面方向 j 应力方向,应力正方向的规定:,应力的符号 pij （或ij ）,不可压缩粘性流体的流动,二、流体的本构关系式,一、应力的表示,pzz,pyy,pxx,pyz,pzy,pxz,pxy,pzx,pyx, 7-1 粘性流体中的应力,i 应力作用面方向 j 应力方向,应力正方向的规定:,应力的符号 pij （或ij ）,不可压缩粘性流体的流动,二、流体的本构关系式,正的正应力沿作用面外法向；,若作用面外法向逆坐标轴方向,则正的切应力逆坐标轴方向；,若作用面外法向沿坐标轴方向,则正的切应力沿坐标轴方向；,流体内一点的应力有九个分量,称为应力的对称性（由微元体的力矩平衡可证）,粘性流体中的应力,其中,Pij只有6个分量是独立的 P称为应力张量，它刻划了流体中某一点的应力状态。 P为二阶对称张量,二、流体的本构关系式,1. 建立应力与变形速度的关系,2. 测量速度比测量应力容易,意义：,牛顿内摩擦定律 只是针对纯剪切流动的简单情况的应力和变形速率的关系，不能反更为复杂的一般情况，因此需要加以推广。 要求所得到的对应关系应用到一些简单情况时要和已知的结论相符。,定义：流体中的应力与变形速率之间的关系，称为本构关系，它反映了流体的特性。,将牛顿定律推广为：切应力与角变形速度关系,这些关系的导出是基于斯托克斯所提出的如下假设： (1)应力与变形速率之间为线性关系(小变形条件)。 (2)应力与变形速率间关系不随坐标系的变换而变化(各向同性假设)。 (3)0时，应力状态退化为理想流体的应力状态(当流体处于静止状态时，符合静止流体的应力特征)。,由,得,纯剪切流动,根据各向同性假设，得,任意流动中切应力与角剪切变形速率的关系,法向应力与变形速率之间的关系,在静止流体中,在粘性流体中，线变形速率对法向应力会产生影响，根据斯托克斯假设，经过分析和推导可得：x、y、z三个方向的法向应力的表达式如下,将上述三式相加，并利用连续性方程，则有,极坐标情况,正应力：,切应力：,切应力和剪切变形速率成正比的流体称为牛顿流体。剪切应力与剪切变形速率不成正比的流体称为非牛顿流体,A: 牛顿流体(水、各种气体和油类) B: 理想塑性体 (牙膏) C: 似塑性体 (高分子溶液、纸浆、泥浆) D:膨胀型流体 (油漆、乳胶漆、油墨),7-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程,不可压缩粘性流体运动的基本方程组包括反映质量守桓的连续性方程，反映牛顿第二定律的运动方程以及反映能量关系的能量方程。其中连续性方程与流体是否有粘性无关，为,粘性流体运动方程的建立与理想流体的差别在于还需考虑粘性应力的影响,理想流体的运动方程,f,形心 M ：、pij、f、a,M,a,一、粘性流体微团受力分析,不可压缩粘性流体运动的基本方程,7-2 不可压缩粘性流体运动的基本方程,二、应力形式的运动方程 三、Navier-Stokes (N-S)方程,应力的对称性,运动方程,运动方程,运动方程,运动方程,推广到三维,上式是直角坐标系中不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为纳维斯托克斯(Navier-stokes)方程，简称N-S方程。,采用矢量形式，可将上式写作,上式右边第1项是质量力，第2项是压力梯度，第3项是粘性力。 N-S方程表示了惯性力、质量力、压力、粘性力的平衡关系。,连续性方程,三、 Navier-Stokes方程,直角坐标下不可压缩粘性流体的运动方程,不可压缩粘性流体运动的基本方程,数学模型=微分方程组+定解条件,常用的定解条件包括初始条件和边界条件,7-3 精确解,不可压缩粘性流体运动的基本方程,纳维-斯托克斯方程中的加速度对流项是非线性项，这使方程的求解变得十分因难。对于某些简单的流动，非线性对流项消失，N-S方程变为线性的方程，用解析的方法求出其解，这类解称为精确解。 在文献中能够查到的精确解析解迄今为止只有几十个，教量少，而且其中的大部分不能够直接用到实际问题中去，但是在揭示粘性流动的本质特征方面却功不可没。验证数值计算方法，发展出新的理论也是精确解的一种用途。因此，对精确解的研究，有重要的理论和实际意义。,7-3 精确解,2、近似解,1、精确解,3、数值解,求解N-S方程的途径,定解条件,2、边界条件,1、非定常流动的初始场,在特殊条件下可得到N-S方程的解析解,例如:两平行平板间的定常层流流动,不可压缩粘性流体运动的基本方程,由于板的运动产生的流动,由于压强梯度产生的流动,例7-3：两平行平板间的定常层流流动,均质不可压缩,不计质量力,由于板的运动和压强梯度产生的流动,精确解,解N-S方程求平板间的速度分布,由连续性方程,由流动的特性,精确解,需要求解的方程组成为,边界条件,精确解,已知u 仅是 y 的函数，而 p 仅是x 的函数,3、若dp/dx0，U0,1、若dp/dx=0，U0,2、若dp/dx0，U=0,库特流动,关于常数C 和U,精确解,泊肃叶流动,库特-泊肃叶流动,例7-4：无限大平板突然启动,精确解,解N-S方程求速度分布,解N-S方程求速度分布,精确解,边界条件,4个物理量,用2个无量纲变量表示,erf 为误差函数,一、边界层的基本概念, 7-4 边界层的概念,不可压缩粘性流体的流动,二、流态判断准则雷诺数 三、边界层厚度 四、边界层排移厚度* 五、边界层动量损失厚度*,边界层的概念,边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。 我们可以用绕平板的流动情况说明边层层的概念。,层流边界层,外部势流,过渡区,紊流边界层,粘性作用显著，属于粘性流有旋流动区。,边界层外部流动,边界层内部流动,不受壁面影响，粘性力很小，可用势流理论。,U,边界层的概念,边界层的厚度,两个流动区域之间并没有明显的分界线。 边界层的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99处的距离作为边界层的厚度，以表示。 边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。,外部势流,U,x,y,0,二、流态判断准则雷诺数,边界层的概念,三、边界层厚度, u=0.99U,圆管流与边界层流速度剖面有相似之处。,边界层的概念,四、边界层排移厚度*,*,u(x,y),y,x,U(x),物理意义,例.风洞的壁面阻塞效应,实际流量,无粘性流量,边界层的概念,五、边界层动量损失厚度*,*,U(x),u(x,y),y,x,* *,物理意义,实际动量,无粘性动量,7-5 边界层微分方程,不可压缩粘性流体的流动,流体统物体的流动可分成势流区和边界层两个区域，而势流流场可以便用位势理论求解，因此剩下的问题就是如何求解边界层内的粘性流动向题。 描述边界层粘性流动的方程是纳维斯托克斯方程。由于这个方程很复杂，使求解工作变得十分困难，因此，必须根据边界层特点对纳维斯托克斯进行简化，经过简化后的纳维斯托克斯方程称为边界层方程。,纳维斯托克斯方程表示流体所受到的惯性力、压力、质量力和粘性力的数学关系。在这五种力中，如果某个力与其他力相比是一个小量，则这个力就可以忽赂。$73介绍过的精确解，NS方程的惯性力是一个小量，因而加速度对流项可以略去。对于一般的粘性流动向题，可先分析上述五种力的量级，比较它们的大小，然后将小量级的力略去，使NS方程得以简化。,7-5 边界层微分方程,（1） L,（2）,（3）边界层厚度沿着流动方向增加,（4）边界层内粘性力与惯性力同数量级,y,x,0,L,不可压缩粘性流体的流动,二、层流边界层的微分方程,根据边界层的特征进行量级分析以简化方程,二元不可压缩定常层流边界层方程（不计质量力）,边界层微分方程,外部势流,U,x,y,0,L,边界层流,层流边界层的微分方程,例：水，L=0.5m，U=0.2m/s，Re=1e5，3mm,边界层内,U,x,y,0,p(x),p,层流边界层的微分方程,固定壁面的边界条件为,二元不可压缩定常层流边界层的微分方程,层流边界层的微分方程,边界层方程相对而言有了较大的简化，但求其精确解仍然很因难。下面介绍德国科学家勃拉休斯利用相似性法对平板层流边界层问题的解法。 设想在一速度为常量U的均匀流场中放置一无厚度的半无穷长的平扳，板的前缘与来流速度垂直，而板面则与来流速度平行。如图710所示。 按照边界层理论，主流区可视为理想流体顺平板方向的绕流问题。显然，这时的平扳对来流没有任何扰动，即主流仍为均匀流，速度为常量U。根据伯努利方程，压强也是均匀的，从而压力梯度等于零。,勃拉休斯精确解的结果在层流范围内和实验结果符合得很好,7-6 边界层动量积分关系式,对于任意初始和边界条件，求层流边界层方程组的分析解是相当困难的。 自电子计算机出现以来，许多边界层问题可以通过数值计算获得满意的结果。 但是从工程的角度看，20世纪20年代以后所发展的许多解边界层方程的近似方法至今仍有很大的实用价值，因为它不需要任何特殊设备(如计算机)却能省时省力地给出许多很重要的结果。在这些近似方法中，动量积分关系式是最简单而又使用得最普遍的一种。 下面来推导平面定常流动的边界层动量积分关系式。,在边界层内任取一控制体，其边界由壁面、边界层外缘和相距为dx的两个横截面构成。,y,x,0,A,dx,D,x,C,U,B,不可压缩粘性流体的流动,建立壁面切应力与速度分布的积分关系： 1.已知外部势流条件；2.对控制体应用动量方程,质量流量,由AC控制面流入的x方向动量等于,y,x,0,A,dx,D,x,C,B,U,动量流量,边界层动量积分关系式,对控制体应用动量定理,y,x,0,A,dx,D,x,C,U,B,对控制体应用动量定理,边界层动量积分关系式,y,x,0,A,dx,D,x,C,U,B,边界层动量积分关系式,对控制体应用动量定理,将动量积分关系式变换为简单适用的形式,用U2通除,边界层动量积分关系式,动量损失厚度,排移厚度,边界层动量积分式是卡门(karman)于1921年首先推导出来的，故亦称卡门动量积分关系式。,零压强梯度、定常二元边界层 （层流、紊流边界层都适用）,边界层动量积分关系式,动量积分法求边界层阻力的步骤：,* 表示为的函数,(2) 壁面切应力0 表示为的函数,解的动量积分方程得摩擦阻力,(1) 边界层速度u(y)表示为的函数,例. 密度为常数的均匀流速度U，平行流过宽W的平板。平板尾缘速度由零线性变化至U，不计质量力求平板上表面总摩擦力。设 y=h处 y方向的速度分量远小于U。,解. 定常二元不可压缩流，应用动量方程求阻力,控制体,F,平板所受总切向力,质量流量,动量方程,F,动量流量,边界层断面上的压强为常数,层流边界层的微分方程,于是流体作用于平板的总的切向力为,需要指出的是，在推导动量积分关系式时，并未对边界层内流动是层流还是紊流作出任何限制，因而动量积分关系式既适用于层流边界层，也适用于紊流边界层。当然，对紊流边界层而言，指的是时间平均的定常流动。,7-7 平板边界层的近似计算,应用动量积分关系式解平板边界层，U=C,1. 根据边界条件构造近似的速度分布,2. 将壁面切应力表示为的函数,零压强梯度边界层,解的动量积分方程得摩擦阻力,* 的函数,本节我们用动量积分关系式来求解平板层流边界层、紊流边界层和混合边界层。,一、层流平板边界层,由边界条件定系数,1. y=0，u=0 ,2. y= 0，u=0，v=0，边界层方程在壁面给出,c0=0,c2=0,平板边界层的近似计算,4. y=，=0 ,3. y=，u=U ,设,5. y= u=0，v=0， ,得速度分布和壁面切应力表达式,动量损失厚度为,动量损失厚度为,代入动量积分关系式,由x=0，=0， 积分得,应用动量积分关系式确定(x),平板边界层的近似计算,壁面切应力（层流）,长 l，单位宽度的平板单面所受阻力(积分),平板摩擦阻力系数,比较：紊流平板边界层,例. Re=106 Cfl=0.0013， Cft=0.0043,平板边界层的近似计算,以上近似解和准确解的比较列于表72中。同时进行比较的还有分别采用一、二、三次多项式和正弦函数速度剖面进行计算所得的结果(表中 )。,二、平板紊流边界层,意义：层流边界层限于临界雷诺数以下的区域。超过了临界雷诺数就是紊流边界层。实际上，在自然界和各种工程技术中更多的是紊流流动因而研究紊流边界层具有更重要的实际意义，它与摩擦以及传热与传质等均有极密切的关系。 平板纵向绕流是紊流边界层中最简单也是最重要的情形。只要不发生显著的分离现象，曲面情形的摩擦阻力和平板情形相差不多。因此平扳紊流边界层的结果在计算船体、机翼、机身和叶轮机械叶片的摩擦阻力中仍然是很有用的。 为简单起见，假定紊流边界层从前缘就开始。,普朗特假设，平板边界层内的速度分布与圆管内的速度分布相同。当然，这个假设不可能是精确的，因为圆管内的速度分布是在有压力梯度的情况下形成的，而在平板上压力梯度等于零。但是，由于阻力是动量积分计算的，所以速度分布中的一些小差别不太重要。同时，实验证明，至少在中等雷诺数的范围内（Ul/106），这个假设可以得到很好的满足，圆管中的幂律形式的公式，可以相当好地损述平板边界层内的速度剖面，在相应的公式中，以边界层厚度代替圆管的半径r0，以边界层外沿速度U代替管轴线上速度umax。,将平板的层流边界层与紊流边界层拿来进行比较可以看出：层流边界层厚度随x以12次幂增长，而紊流边界层厚度则随x以45次幂增长，因而比层流的快。 而就阻力系数而言，紊流边界层也是大于层流边界层，这反映了紊流情况下流体质点的横向脉动要强烈得多。,层流边界层,紊流边界层,平板(双面)摩擦阻力系数,平板边界层的近似计算,三、平板混合边界层,在实际流动中，平板边界层并不都是紊流边界层。如图715所示，当速度为V的来流绕平板流动时，在前端出现的是层流边界层，只是超过一定位置A之后，边界层才完全变为紊流。图中的A点称为转捩点，它到平板前缘的距离记作xc,Rexc称为转捩临界雷诺数，通常,用上标L表示层流，T表示紊流,转捩临界雷诺数,U,x,0,层流边界层,紊流边界层,xC,l,A,B,从O点算起,长l ，单位宽度混合边界层的阻力,长l ，单位宽度平板的摩阻系数,其中,xC,l,平板边界层的近似计算,层流边界层,紊流边界层,紊流边界层,混合边界层,层流边界层 速度型,紊流边界层,勃拉修斯解,三次多项式,四次多项式,平板边界层的近似计算,7-8 曲面边界层的流动分离,一、圆柱绕流的流动图案,二、绕过物体流动的分离现象,三、圆柱体流动分离,不可压缩粘性流体的流动,定义：在逆压作用下，边界层的主流脱离绕流物体表面的现象 称为边界层分离现象。边界层开始分离的物体表面的那一点称为分离点。,压强系数,理想流体,一、圆柱绕流的流动图案,理想流体,实验结果,曲面边界层的流动分离,二、绕过物体流动的分离现象,圆柱,曲面边界层的流动分离,顺压梯度区,逆压梯度区,低压回流区,S,T,分离点的特征,x,y,边界层分离的条件主要是逆压梯度,分离点 的特征,曲面边界层的流动分离,三、圆柱体流动分离和卡门涡街,例：绕流圆柱体 Re100,5 Re40 一对稳定的旋涡,Re 5 无尾涡,Re40 交替脱落的旋涡,曲面边界层的流动分离,7-9 绕流物体的阻力,不可压缩粘性流体的流动,物体在粘性流体中运动时，一般都会受到阻力作用。这一阻力可以根据物体表面的应力状况来计算。 物面上切应力对阻力的贡献称作摩擦阻力，而物面上的压力对阻力的贡献则称作压差阻力（形状阻力）。,摩擦阻力的根源是流体的粘性。 压差阻力产生的根本源因也是由于流体的粘性作用。,压差阻力产生的根本原因也是由于流体的粘性作用。以圆柱体绕流为例，理想流体统圆柱流动时，圆往表面的压强分布是对称的，压差阻力为零。粘性流体统圆柱体流动时，在其表面出现边界层，边界层发生分离之后，物体的后部出现尾涡区，尾涡区的压强很低，约等于分离点的压强，因此尾涡区是负压区，这就造成物体前后明显的压差，增加绕流物体的阻力，故称压差阻力。由此可见，分离流动引起的低压尾涡是产生压差阻力的根本原因。分离区域越大，压差阻力就越大。为了感小压差阻力，就应该设法推迟边界层分离现象的发生。,物体的阻力系数CD的定义是,这里，FD是物体阻力，包括摩擦阻力和压差阻力，A是物体的迎风面积。,雷诺数对物体阻力的影响作用很大，下面用图7-20中圆柱的阻力系数加以说明。,产生阻力危机的原因是边界层从层流变为紊流，分离点向下游移动，使分离区大大减小，压差阻力大幅度下降。,对于圆柱绕流来说， Re=2105 称为临界雷诺数 5105106 称为高超雷诺数绕流,对于圆球绕流来说， Re=5105 为临界雷诺数,具有尖角的物体统流的分离点是固定的，不会出阻力危机，CD近似为常数，见表7-4。, 7-10 自由淹没射流,自由淹没射流孔(缝)射入同种无界静止流体,（1）轴向速度远大于横向速度,（2）射流边界为直线,（3）主体段射流速度u具有相似性,（4）主体段动量为常数,射流特征,极点,核心区,初始段,主体段,转换断面,2b0,b,um,u,不可压缩粘性流体的流动,无量纲速度 u/um,无量纲