《高等代数教案》PPT课件.ppt

高等代数 (Higher Algebra),张禾瑞 郝鈵新 高教出版社（第五版）,课件制作 深圳大学数学与计算科学学院：王晓峰,Ch.1 基本概念,Ch.2 多项式,Ch.3 行列式,Ch.4 线性方程组,Ch.5 矩阵,Ch.6 线性空间,Ch.7 线性变换,Ch.8 欧几里得空间,Ch.9 二次型,Ch.10,Ch. 1,Ch.2,Ch.3,Ch.4,Ch.5,Ch.6,Ch.7,Ch.8,Ch.9,Ch.10,一般性介绍,数学,数学分析，高等代数，解析几何,数学基础: 数理逻辑- 公理集合论, 证明论, 模型论, 递归论,数学分析,实变函数论，复变函数论，多复变 函数论，测度论，泛函分析，变分 法，函数逼近论，非标准分析，小 波分析，分形几何，常微分方程， 偏微分方程， 积分方程， 动力系 统, 特殊函数，数值分析, 计算方 法, ,高等代数,数论, 近世代数，线性代数, 群论, 域 论与伽罗瓦理论, 环与代数, 模论, 范 畴论代数K理论, 同调代数, 李代数, 序 与格, 离散数学, 计算机科学, 矩阵论, 密码学, ,解析几何,高等几何, 代数几何, 微分几何, 凸 集几何与距离几何, 一般拓扑学, 代 数拓扑学, 流形拓扑学, 分形几何, 计算机辅助几何设计, 计算机图形 学, ,概率论,数理统计, 随机过程, 统计学, 经济 数学, ,其它,生物数学, 模糊数学, 运筹学, 控制 理论, 通信与信息理论, 优化理论, 计算数学, .,计算机有关的课程,数据结构, 计算机原理, C+语言, Java语言, 离散数学, 数据库原理, 操作系统, 程序设计方法，计算机 网络，信息系统, 汇编语言, 逻辑 电路, 软件工程, 最新软件分析, 通 信与信息理论, 算法分析, .,高等代数目的及要求,1. 为什么要学高等代数？,3. 作业要求： (1) 书面作业：A4大小的活页纸； (2) 上网作业：可自己检查, 帮助理解； (3) 平时测验:,4. 如何评定成绩？,5.参考书目： 线性代数及应用 王晓峰主编 高等代数(北大) 高教出版社, 1.1 集合,Ch. 1 基本概念,0.1, 1.2 映射,1.2, 1.3 数学归纳法,1.3, 1.4 数论初步,1.4, 1.5 整数和整环,1.5,1.1 集合,Ch. 1 基本概念,集合的概念 集合的表示,元素的概念,常用记号 常用集合,有限集合 无限集合,子集 交集 并集 空集 补集 差集,笛卡尔集,集合的运算,1.2 映射,注意:如果f 是从A到B的一个映射,定义2 设f 是一个从A到B映射. 如果对任意的bB, 都存在一个a A , 使得 f (a)= b 则称 f 是一个从A到B的满射.,定义4 既是满射又是单射的映射称为双射.,定义3 设f 是一个从A到B映射. 对任意的a1, a2A , 如果a1a2, 就一定有 f (a1) f (a2) 则称 f 是一个从A到B的单射.,映射的合成运算:,合成运算满足结合律:,合成函数的例子：,定理 1.2.1 设f 是一个从A到B映射. 那么以下条件等价： (i) f 是一个双射； (ii) 存在B到A映射g, 使得 gf=jA , fg=jB 并且，当(ii)成立时，映射 g 由 f 唯一确定.,定义: 上述定理中由 f 唯一确定的映射g称为f 的逆映射，记为 f 1. 并且 f 1f=jA , f f 1=jB,代数运算： 设A 是一个集合. 称一个从AA到A映射为A上的一个代数运算.,1.3 数学归纳法,最小数原理 正整数集合N*的任意非空子集必有一个最小数.,数学归纳法原理 设有一个与正整数n有关的命题P(n). 如果 (i) P(1)为真(即:当n=1时命题成立); (ii) 假设P(k)为真能推出P(k+1)也为真； 那么对所有的正整数n，命题P(n)为真.,例 证明, 所有的整数n3时满足 2n+12n,第二数学归纳法原理 设有一个与正整数n有关的命题P(n). 如果 (i) P(1)为真; (ii) 假设对任意正整数hk, P(h)为真能推 出P(k)也为真； 那么对所有的正整数n，命题P(n)为真.,例 证明, 所有的大于1的正整数n均能分解 成素数之积.,1.4 数论初步,带余除法: 设a, b是整数，b0. 则a可唯一地表为 a=bq+r 其中q, r为整数并且0r|b|.,若干基本概念： 整除、素数、合数、因数、公因数 、 倍数、公倍数、 互素,若干基本概念,整除、因数、倍数: 设a, b是整数. 如存在整 数q使a=bq, 则 称b整除a, 记为 b|a; 并称b 是a的因数，a是b的倍数.,素数、合数: 大于1的正整数除1和自己外没 有其它因数称为素数，否则称为合数.,公因数、公倍数:,互素: 如果1是两个整数a, b仅有的大于零的 公因数，则称整数a与b互素.,最大公因数 (greatest common divisor) gcd.,最小公倍数 (least common mutiple) lcm.,性质：设a, b均为整数. 1) 如果a|b 并且 b|a, 则有a=b; 2) 如果a|b, 则对任意的整数c, 有a|bc; 3) 如果a|b 并且 a|c, 则有a|(b+c); 4) 如果a|b 并且 b|c, 则有a|c.,记(a, b)为两个不全为零的整数a和b的大于零的最大公因数.,引理 如果 r 是一正整数，那么gcd(r, 0)=r.,定理 若a=bq+r，则 gcd(a, b)=gcd(b, r),Euclidean Algorithm,1. 设整数 a 和 b 满足： |a|b|0.,2. 如果 b=0, 那么 gcd(a, b)=a. 如果b0, 由带余除法存在 q 和 r 使得 a=bq+r |b|r0,定理 若d=(a, b)，则存在整数p, q使得 pa+qb=d,例 求(726, 393), 并求整数p和q使得 (726, 393)=726p+393q,定理的推论 整数a, b互素当且仅当存在整数p, q使得 pa+qb=1,定理 若a|bc, 并且(a, b)=1，那么a|c.,1.5 数环和数域,定义1 设S是一个全体复数集合C的一个非空子集. 如果对于任意的a, bC, 都有 a+b, ab, abC 则称C为一个数环.,数环的例子：,定义2 设F是一个数环. 如果 (i) F含有至少一个非零元； (ii) 对于F中任意的非零元a, 均存在bF, 使得ab =1. 则称F为一个数域.,数域的例子：,定理1.5.1 任何数域均包含了有理数域.,Exercises,PP.6-7: 3. 4. 6.(i),(iii); PP.14-15: 3. 7. 8. 10; PP.18: 1. 2; PP.23: 2. 4. 5.,Ch. 2多项式(Polynomial), 2.1 一元多项式(unary polynomial),2.1, 2.2 带余除法 整除 (Division with remainder),2.2, 2.3 最大公因式 (greatest common factor: gcd),2.3, 2.4 不可约(irreducible) 多项式 唯一因式分解定理, 2.5 重因式, 2.6 多项式函数, 2.7 代数基本定理复系数与实系数多项式的因式分解, 2.8 有理系数多项式, 2.9 多元多项式, 2.10 对称多项式,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.4,2.10,补充一：三、四次方程的公式解,补充二：插值法,*,*,Ch. 3. 多项式 (Polynomials),2.1 一元多项式(unary polynomials),2.1 一元多项式的概念及其运算(operation),定义1 设R是一个数环R上一个文字x (xR) 的一元多项式指的是形式表达式 an xn + an1 x n1+a1 x +a0 (1) 其中n是任意非负整数, 系数ai (i=0, 1, , n)属于R, x称为不定元,系数全为零的多项式称为零多项式，记为0,在多项式(1)中, aixi 称为i次项, ai称为i次项的系数, i=0, 1, , n. 零次项a0x简记作a, 也称为常数项,用(x)，g(x)，等来代表一元多项式,定义2 数域P上的两上一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数相等,设(x)代表多项式(1)如果an0, 那么anxn称为多项式(x)的首项(最高次项)，an称为首项系数，n称为多项式(x)的次数(degree)，记作(x).,零多项式0的次数定义为 ,记数环R上的所有一元多项式组成的集合作Rx,设(x), g(x)Px ，其中(不妨设nm) (x)anxn+an1 xn1+a0= g(x)=bmxm+bm1xm1+b0= (i) (x)与g(x)的和是一个多项式 h(x)= 其中h(x)的 i 次项的系数为 ci=ai+bi， i=0, 1, , n 记作 h(x)=(x)+g(x),(ii) (x)与g(x)的乘积是一个多项式 p(x)= 其中p(x)的s次项的系数为 ds= , s=0, 1, , n+m 记作p(x)=(x)g(x).,1 加法交换律，即+g=g+;,运算法则: (x)，g(x)Px，有,2 加法结合律，即(+g)+h=+(g+h);,3 零多项式具有性质: 0+=+0=;,4 设(x)=aixi，定义(x)=(ai)xi，则 +() =()+=0, 称是的负元素；,5 乘法交换律，即g=g；,6 乘法结合律，即(g)h=(gh);,7 零次多项式1具有性质：1=1=；,8 乘法对于加法的分配律： (g+h)=g+f h 和 (g+h)=gf+hf,定理2.1.1 设(x)，g(x) Rx, 则 (i) (g)max(f )，(g) (ii) 如果0, g0, 则g；并且有 (g)= ()+ (g),由定理2.1.1的证明，得：,多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积,推论2.1.2 (x)g(x) =0 当且仅当(x)和g(x)中至少有一个是灵多项式,推论2.1.3 (9 乘法消去律) 如果(x)g(x) =(x)h(x), 且(x)0, 则g(x)=h(x),定义 设R是一个数环，称R上所有一元多项式的全体Rx关于如上定义的多项式加法和乘法构成的环为R上一元多项式环.,2.2 带余除法 整除性质初步 Division with remainder divisibility,定理2.2.1(带余除法) 对于Fx中任意两个多项式(x)与g(x)，其中g(x)0，在Fx中存在唯一的一对多项式h(x)，r(x)，使得 (x)=h(x)g(x)+r(x), (r(x)(g(x) 式中的h(x)称为g(x)除(x)的商(quotient)，r(x)称为g(x)除(x)的余式(remainder).,以下总设F是一个数域.,定义5 设(x), g(x)Fx，使得 (x)=h(x)g(x) 则称g(x)整除(divide)(x), 记作g(x)|(x). 当g(x)整除(x)时, g(x)称为(x)的因式(factor) (或因子), (x)称为g(x)的倍式(multiplier).,定理1 设(x), g(x)Fx, 且g(x)0, 则g(x)|(x)的充分必要条件是g(x)除(x)的余式为零.,注意:,2. 任意多项式整除零多项式；,3. 任意非零数整除任意多项式;,1. 如果零多项式0整除多项式(x)，则(x)=0；,4. 任意两个多项式的整除关系不因为系数域的扩大而改变.,整除性的基本性质:,2) 如果h(x)|f(x), 且h(x)|g(x), 则h(x)|(f(x) g(x).,4) 如果(x)|gi(x), i=1, 2, , r, 则对于任意 ui(x) Fx, i=1, , r, 有 (x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+ur(x)gr(x),1) 如果(x)|g(x), 且g(x)|h(x), 则f (x)|h(x) (整 除的传递性).,3) 如果h(x)|f(x), 则对Fx中的任意g(x)有 h(x)|f(x)g(x).,整除性的基本性质:,6) 每一多项式(x)能被cf(x)整除, c为F中任意 非零数.,5) F中任意非零数c整除任意多项式.,7) 如果(x)|g(x)，且g(x)|(x)，则 (x)=cg(x)，其中cF, c0.,注意: 多项式之间的整除性不会因为数域的 选择而 改变.,Exercises p.3 1.; 3. Exercises pp.37-38 1. (ii); 2.; 3.; 4.; 6; 7.,2.3 最大公因式 (greatest common factor: gcd),定义1 设(x)与g(x) 是Fx中任意两个多项式. Fx中多项式d(x)同时整除(x)和g(x), 则称d(x)为(x)和g(x)的一个公因式.,定义2 设d(x)是(x)和g(x)的一个公因式. 如果d(x)还满足如下述性质: (x)和g(x)的任一公因式都整除d(x), 则称d(x)是(x)与g(x)的一个最大公因式.,引理 在Px中，如果有等式 (x)=h(x)g(x)+r(x) 成立，则(x)与g(x)的最大公因式也是g(x)与r(x)的最大公因式，反之亦然.,定理2.3.1-2.3.2 对于Px中任意两个多项式(x)与g(x), 存在它们的一个最大公因式d(x), 并且d(x)可以表达成(x)与g(x)的一个组合, 即有Px中多项式u(x)与v(x), 使得 d(x)=u(x)(x)+v(x)g(x),定理2 的证明给出了求两个多项式的最大公因式的方法，称它为辗转相除法(Euclidean Algorithm).,两个多项式的最大公因式在相伴的意义下是唯一确定的. 我们约定，用 (x)，g(x) 来表示首项系数是1的那个最大公因式.,注意: 两个多项式的最大公因式不会因为数 域的选择而改变.,例1 设 (x)=x4 2x34x2 +4x3, g(x)= 2x3 5x2 4x+3. 求(x)，g(x)，并且把它表示成(x)与g(x)的一个组合.,定义3 设(x), g(x)是Fx中的两个多项式. 如果(x), g(x)=1, 则称(x)与g(x)互素(coprime).,定理2.3.3 Fx中两个多项式(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在Fx中的多项式u(x), v(x), 使得 u(x)(x)+v(x)g(x)=1,性质1 在Fx中, 如果(x), h(x)=1并且 (g(x), h(x)=1, 则(x)g(x), h(x)=1.,性质3 在Fx中, 如果 f(x)|h(x)，g(x)|h(x)，且(f(x), g(x)=1 则(x)g(x)|h(x).,性质2 在Fx中, 如果 (x)|g(x)h(x), 且(x), g(x)=1 则(x)|h(x).,定义 在Fx中, 如果多项式c(x)能整除多项式1(x), 2(x), , n(x)的每一个, 那么c(x)叫做这n个多项式的一个公因式. 设 1) d(x)是1(x), 2(x), , n(x)的一个公因式; 2) 1(x), 2(x), , n(x)的每一个公因式都 能整除d(x); 则称 d(x)为1(x), 2(x), , n(x)的一个最大公因式.,记: (1(x), 2(x), , n(x)为1(x), 2(x), , n(x)的首项系数为1的最大公因式.,定义 Px中n(n2个)个多项式1(x), 2(x), , n(x), 如果 (1(x), 2(x), , n(x)=1 则称1(x), 2(x), , n(x)互素.,定理 在Px中，n个多项式1(x), 2(x), , n(x)互素的充分必要条件是有Px中多项式u1(x)，u2(x)，un(x)，使得 u1(x)1(x)+ u2(x)2(x)+ un(x)n(x)=1,定义 在Px中, 称m(x)为(x)和g(x)的最小公倍式(least common multiplier, lcm), 如果 1) (x)m(x)， g(x)m(x)； 2) 如果有h(x)使得 (x)h(x) 和 g(x)h(x), 则m(x)h(x).,定理 1) 在相伴意义下两多项式的lcm唯一. 2) 设(x), g(x)均为为首一多项式，如记(x), g(x)为首一的lcm, 则,习题课,例3 在Fx中，如果 (x), h(x)=1, (g(x), h(x)=1 则 (x)g(x)，h(x)=1.,例1 证明：多项式xd1整除xn1的充分必要条件为d |n.,例2 设 f1(x)=af(x)+bg(x), g1(x)=cf(x)+dg(x), 并且adbc0. 证明： (f(x), g(x)= (f1(x), g1(x),例4 证明 (1(x), g1(x), f2(x), g2(x) =(1(x), g1(x)，( f2(x), g2(x),Exercises pp.47-49 第一次： 1(i), 2, 3, 7, 10 第二次： 4，5，11，13,4 不可约(irreducible) 多项式 唯一因式分解定理,定义 Fx中一个次数大于零的多项式p(x)如果在Fx中的因式只有F中的非零数以及p(x)的相伴元，则称p(x)是数域F上的一个不可约多项式，否则叫做可约多项式.,一次多项式总是不可约多项式.,一多项式可约当且仅当能分解成两个次数更低的多项式之积.,注： 一多项式的可约与否与域F有关.,性质1 如果p(x)是数域F上的一个不可约多项式, 0cF, 那么cp(x)也不可约.,性质2 如果p(x)是数域F上的一个不可约多项式, 那么对Fx中任意多项式(x), p(x)| (x)， 或者(p(x), f(x)=1.,性质3 如果p(x)是数域F上的一个不可约多项式, (x), g(x)Fx, 并且 p(x)|(x)g(x)，则有 p(x)| f(x), 或者p(x)| g(x).,推广 如果p(x)是数域P上的一个不可约多项式，那么对天Px中任意m个多项式1(x), 2(x), , m(x)的积： p(x)| 1(x)2(x)m(x)， 则必存在1im, 使得p(x)|i(x).,因式分解唯一定理 Fx中每一个次数大于零的多项式(x)都能唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积, 所谓唯一性是说, 如果(x)有两个这样的分解式 (x)=p1(x)p2(x)pr(x)=q1(x)q2(x)qt(x) 则一定有t=r, 并且适当排列因式的次序后有 qi(x)cipi(x)， i=1，2，, r,多项式(x) 可分解成 其中c是(x)的首项系数, p1(x)，p2(x)，, pm(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式，r1，r2，rm是正数. 这种分解式称为(x)的标准分解式.,定理 设如下是的标准分解式 则,例1 设f(x)=23(x1)3(x+1)2(x2)2(x+5)(x6)4与g(x)=12(x1)2(x+1)4(x2)(x+3)(x+5)2(x5)4.求(f(x), g(x) 和 f(x), g(x).,例2 证明x22在有理数域上不可约.,例3 (p.59 第5题) 证明:数域F上一个次数大于零的多形式f(x)是Fx中某一个不可约多形式的幂当且仅当对于任意g(x)Fx, 或者(f(x), g(x)=1, 或者存在一个正整数m使得f(x)|g(x)m.,Exercises PP.55-56 1. (ii); 2.; 4. (i); 6.,2.5 重因式,上述定义中，如果 k=0, 则p(x)不是(x) 的因式 ； k=1, 则,p(x) 是(x) 单重因式.,(x)+g(x) = (x)+ g(x) c() =c(x)， cP (x)g(x) =(x)g(x)+(x)g(x) (m)(x) =m(m1)(x)(x),定义 对于Fx中的多项式 (x)=anxn+an1xn1+a1x+a0 我们把Px中的多项式 nanxn1+(n1)an1xn2+a1 叫做(x)的导数(或一阶导数), 记作(x).,定理2.5.1 在Fx中，如果不可约多项式p(x)是(x)的一个k(k1)重因式，则p(x)是(x)的导数(x)的一个k1重因式.,特别地，多项式(x)的单因式不是(x)导数(x)的因式.,推论1 如果不可约多项式p(x)是(x)的 k(k1) 重因式, 则 p(x) 是 (x), (x), , (k1)(x)的因式, 但不是(k)(x) 因式.,推论2 不可约多项式p(x)是(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是(x)与(x)的公因式.,推论3(定理2.5.2) 多项式(x)无重因式的充分必要条件为(x)与(x)互素.,方法：判断一个多项式(x)有没有重因式，只需计算(x)，(x). 而求最大公因式有统一的方法:辗转相除法.,设Fx中的多项式(x)的标准分解式是,因此用(x), (x)除(x)所得商式是 cp1(x)p2(x)pm(x) 把它记作g(x), 我们便得到一个没有重因式的多项式g(x), 它与(x)含有完全相同的不可约因式.,去掉(x)的不可约因式重数的方法:先用辗转相除法求出(x)，(x), 然后对(x)与(x)，(x)做带余除法, 所得商式g(x)即为所求的没有重因式的多项式.,求(x)的不可约因式重数的方法:上述方法求得g(x)后, 用带余除法可求g(x)的不可约因式(也就是f(x)的不可约因式)在f(x)中的重数.,习题课：,判断下列多项式是否有重因式： 1) (x)x4 x3 3x2+5x2; 2) g(x)xn+nxn1+n(n1)xn2 + +n(n1)32x+n!.,2. 证明：一不可约多项式p(x)是(x)的 k(k1) 重因式当且仅当 p(x) 是 (x), (x), , (k1)(x)的因式, 但不是(k)(x) 因式.,Exercises P.59 2; 3; 4(ii); 5.,2.6 多项式函数, 多项式的根,定义 设R是一个数环, 并设 (x)=anxn+an1xn1+a1x+a0 是Rx中一个多项式. 取cR，则记 (c)=ancn+an1cn1+a1c+ a0 此时, 我们称(x)为数环R上的一个多项式函数, (c)为函数(x)在c点的值. 特别的, 如果(c)=0，则称c是(x)在R中的一个根(或零点).,定理2.6.1 (余数定理) 在Rx中，用一次多项式xc去除多项式(x), 所得的余式为R中的数(c).,推论(Bezout定理) 设(x)Rx，cR是(x)在R中的根的充分必要条件为xc|(x).,综合除法,设 (x)=anxn+an1xn1+a0，g(x)=xc，求g(x)除(x)的商与余式, 并计算 f(c),设 (x)=q(x)g(x)+r(x)=q(x)(xc)+r(x) 则可设(r(x)=r) q(x)=bn1xn1 +bn2 xn2+b0, r=(c),并且 bn1=an, bn2=an1+cbn1, , b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=(c)=a0+cb0,即 bn1=an, bn2=an1+cbn1, , b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=(c)=a0+cb0,从而可记： c | an an1 an2 a2 a1 a0 + cbn1 cbn1 cb2 cb1 cb0 an=bn1 bn2 bn3 b1 b0 r=(c),例1 设(x)=2x56x33x22x5， g(x)=x2，求g(x)除(x)的商与余式, 并计算 f(2),例2 设(x)=2x56x33x22x5， h(x)=(x2)(x+3)，求h(x)除(x)的商与余式,利用根与一次因式的关系, 对于Rx中的多项式在R中的根, 我们可以定义重根的概念: aR称为(x)Rx的一个k重根, 如果(xa)是(x)的k重因式. 当k=1时，a称为单根; 当k1时，a称为(k)重根.,定理2.6.3 Rx中的n次(n0)多项式在R中至多有n个根(重根重数计算).,定理2.6.4 设Rx中两个多项式(x)与g(x)的次数都不超过n. 如果x分别用R中n+1个不同元素a1, a2, , an+1代入, 有(ai)=g(ai), i=1, 2, , n+1, 则(x)=g(x).,插值法,Rx中两个次数不超过n的多项式(x)与g(x), 如果它们在R的n+1个不同元素a1, , an+1上有 (ai)=g(ai)， i=1, , n+1 则这两个多项式相等. 这说明: 数域R上一个次数不超过n的多项式，被它在R的n+1个不同元素上的值所唯一确定.,Lagrange插值公式 设c0, c1, cn 是数环R中n+1个不同的元素, d0, d1, dn 是数环R中n+1个元素, 则Rx中存在唯一的次数不超过n的多项式(x), 使得 (ci)=di， i=0, 1, n 其中,Newton插值公式 设c0, c1, cn 是数环R中n+1个不同的元素, d0, d1, dn 是数域R中n+1个元素, 则Rx中存在唯一的次数不超过n的多项式(x), 使得 (ci)=di， i=0, 1, n 其中 公式中的诸ui通过把x逐次用c0, c1, cn 代入而求得.,例 求一个次数不超过3的多项式(x)使得： (0)=5, (1)=7, (1)=9, (2)=13,例1 考查2是否为 f (x)=x56x4+11x32x212x+8 的根. 如是，请问是几重根？,例2 证明: Qx中的项式 没有重因式（根）.,例3 证明: 一 n(1)次多项式f(x)有n重根的充分必要条件是 f (x) | f(x).,例7 求t的值使得 f (x)=x33x2+tx1 有重根.,例8 设a是 f (3)(x)的一个n重根. 证明a是 的一个k+3重根.,例9 证明: 如果(x2+x+1)| f(x3)+xg(x3), 那么(x1)|f(x), (x1)|g(x).,例10 证明: 如果(x1)|f(xn), 那么(xn1)|f(xn).,Exercises PP.65-66 1.; 2.; 3.; 4.(ii); 5. 7. 9.,7 复系数和实系数多项式的因式分解,一、复系数多项式,定理2.7.2 每一个n(n0)次复系数多项式在复数域上有n个根(重根重数计算).,代数基本定理 每个次数大于零的复系数多项式在复数域中至少有一个根.,复系数多项式唯一因式分解定理 每个次数大于零的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.,从而: 复数域上每个次数大于2的复系数多项式均可约.,二、根与系数的关系,设 (x)=xn+a1xn1+an,在复数域上唯一地分解成一次因式的乘积: (x)=(x1)(x2) (xn),设 (x)=xn+a1xn1+an =(x1)(x2) (xn),比较得： a1(1+ 2+ n); a212+ 13 + n1n; a3(12 3+124 +n2n1n); an1=(1)n1(12n1+ 13n+ + 2n1n) an=(1)n12n,例 求有单根5与2以及二重根3的四次多项式.,即求 (x)= (x5)(x2)(x3)(x3) 或者 (x)=a(x5)(x2)(x3)(x3),从而： a1(52+3+3)=9; a25(2)+53+ 53+(2)3+(2)3+33=17; a3(5(2)3+ 5(2)3+ 533+(2)33)=33; a45(2)33=90;,故： (x)=x49x3+17x2+33x90，或者 (x)=a(x49x3+17x2+33x90).,三、实系数多项式,实系数多项式的虚根共轭成对出现.,定理2.7.4 实数域上的不可约多项式都是一次或二次的; 实系数二次多项式 (x)=ax2+bx+c 不可约当且仅当它的判别式 b24ac0.,实系数多项式唯一因式分解定理 每个次数大于零的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与判别式小于零的二次因式的乘积.,例1 求多项式(x)=xn1在复数域和实数域上的因式分解.,Exercises PP.70-71 1.; 3.; 4.,8 有理系数多项式,要明确四点：,2. 有理系数多项式的有理根可全部求得；,3. 一有理系数多项式无有理根并不保证此 多项式在有理数域上不可约；并且对某些有理系数多项式的不可约性可判定；,4. 在有理数域上存在任意次的不可约多项式.,1. 有理系数多项式在有理数域上的因式分解等价于一个整系数(本原)多项式的因式分解；,定义 一个非零的整系数多项式 g(x)=bnxn+b1x+b0 如果它的各项系数bn，bn-1，b1，b0的最大公因数为1，则称g(x)为本原多项式.,两个相伴的本原多项式仅相差一个符号.,高斯(Gauss)引理 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.,定理2.8.2 如果一个次数大于零的整系数多项式在Q上可约, 则它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.,推论 设f(x), g(x)是整系数多项式, 并且g(x)是本原多项式. 如果f(x)=g(x)h(x), 其中h(x)是有理系数多项式, 则h(x)一定是整系数多项式.,由此推论得到如下的寻求任意整系数(从而任意有理系数多项式) 的全部有理根的必要条件:,定理2.8.4 设 (x)=anxn+a1x+a0 是一个整系数多项式, 如果u/v是(x)的一个有理根, 其中(u, v)=1, 那么 (i) v|an, u|a0. 特别地, 如果an=1, 则(x) 的有理根全为整根, 并且是a0的因子. (ii) (x)=(xu/v )q(x), q(x)是一整系数多项式.,注意到：如果u/v是整系数多项式(x)的一个 有理根, 则 (x)=(xu/v)q(x), 并且q(x)为整 系数多项式. 从而 均为整数. 从而可在排除上述分式不是整 数的u/v (v|an, u|a0).,例1 1) 求 (x)=3x4+5x3+x2+5x2 的全部有理根. 2) 求 (x)=x43x3+x2+4 的全部有理根.,例2 证明(x)=x3+2x+1在有理数域上不可约.,定理 设f(x)=anxn+an1xn1+a1x+a0为整系数多项式, b是任意整数. 令 g(x)=f(x+b) =an(x+b)n+an1(x+b)n1+a1(x+b)+a0 则f(x)在Q上可约当且仅当g(x)在Q上可约.,注： Eisenstein判别法只能判定一有理系数多项式满足条件则不可约，如不满足条件不能判定就一定可约.,例1 判断下述多项式在有理数域上是否可约. f(x)=x4+6x3+2x2+10,例2 设p1, p2, , pm 是m个不同的素数.证明：(p1 p2pm)1/n (n1)是无理数.,例3 设p是一个素数，多项式 (x)=xp1+xp2+x+1 称为一个分圆多项式. 证明(x)在Q上不可约.,例4 证明:如果 是有理系数多项式 f (x)的无理根(a, b0均为有理数), 则 也是f(x)的根.,Exercises PP.79-80 1. (ii), (iv); 2.; 3.; 4. (i), (ii).,习题课：,例1 在实数域和复数域上分解下列多项式的因式 (x)=x4+1,例2 求下列多项式的公根 (x)=x3+2x2+2x+1； g(x)=x4+ x3+2x2+x+1,例3 证明：多项式xd1整除xn1的充分必要条件为d |n.,例6 举例说明“如果a是 f (x)的一个 m重根则是f(x)的一个m+1重根”是不正确的.,例4 如果a是f(x)的一个k重根，则是下述多项式的k +3重根,例5 证明：如果a是f(x)的一个根，并且a是 f(x)的一个k(1)重根, 则a是 f (x)的一个k+1重根.,例8 证明：如果f(x)| f(xn), 那么f(x)的根只能是零或单位根.,例7 证明定理5的逆:设p(x)是次数0并且首项系数为的多项式.如果对任意的多项式f(x)和g(x), 由p(x)| f(x)g(x), 就一定有 p(x) | f(x) 或p(x)| g(x), 则p(x)是一个不可约多项式.,例9 证明:如果 是有理系数多项式 f (x)的无理根(a, b0均为有理数), 则 也是f(x)的根.,补充一：一元高次方程的公式解问题,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的公式解为,1. 一元二次方程的公式解,2. 一元三次方程的公式解(Cardano公式),1515年：意大利波罗利亚大学（当时欧洲最 著名)的Ferro教授,1535年：意大利威尼斯数学家Tartaglia重新 发现并仍然保密只透露给意大利米兰数学 家Cardano.,1545年: Cardano 没有信守诺言, 在大法一 书中予以公布.,一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 的公式解:,首先化为 x3+b/a x2+c/a x+d/a =0,再令 y=x+b/3a, 方程化为,即求解一般的一元三次方程可归结为求解如下的一元三次方程:,再作代换: x=zp/(3z) 得,以及,由一元二次方程的公式解得:,其中为1的三次方根.,3. 一元四次方程的公式解 (1522年, Cardano的学生 Ferrari ),一元四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0 的公式解:,即: (x2+ax/2)2= (a/4b)x2 cxd,两边加(x2/2+ax/2)t+t2/4 得:,(x2+ax/2+t/2)2= (a2/4b+t)x2+(at/2 c)x+(t2/4 d),选取t 使得右边的判别式为零(配成完全平方): (at/2 c)2x 4 (a2/4b+t)(t2/4 d)=0,即: t3bt2+(ac4d)t a2d+4bd c2=0,利用Cardano公式求任一解t0, 则有:,利用Cardano公式求任一解t0, 则有:,(x2+ax/2+t0/2)2= (a2/4b+t0)1/2x+(t0/4d)1/22,此方程又等价于两个二次方程:,解这两个二次方程得四个根.,4. 一元五次以上的方程无公式解 (1824年, 挪威人 Abel, 1831年 法国人Galois),2.9 多元多项式*,n元多项式： 若干个关于变元x1, x2, xn的n元单项式的代数和 称为关于变元x1, x2, xn的n元多项式.,n元单项式： 设R是一个数环, aR，x1, x2, xn是n个文字. 称形为 的式子为关于变元x1, x2, xn的n元单项式.,n元多项式环： 数环R上所有关于变元x1, x2, xn的n元多项式的全体称为关于变元x1, x2, xn的n元多项式环，记为： Rx1, x2, xn,字典排序法：关于变元x1, x2, xn的任一n元单多项式 唯一地对应一个n元数组(k1, k2, , kn). 对任意的两个n元数组(k1, k2, , kn) 和 (l1, l2, , ln), 如果存在 1in, 使得 k1l1=0, k2l2=0, , ki1li1 =0, kili 0 那么, 我们称n元数组(k1, k2, , kn)先于(l1, l2, , ln), 即： (k1, k2, , kn)(l1, l2, , ln),n元多项式的首项：由字典排序法排出的第一个系数不为零的一n元多项式的单项式称为该多项式的首项.,定理2.9.1 两个非零多项式的乘积的首项等于这两个多项式的首项的积.,推论1 多个非零多项式的乘积的首项等于各多项式的首项的积.,推论2 多个非零多项式的乘积为非零多项式.,n元多项式的次数：其首项的次数.,n元多项式函数：,一n元多项式的各单项式的次数均相等.,齐次n元多项式：,2.10 对称多项式*,称形为 的式子为关于变元x1, x2, xn的初等对称多项式.,定义1 n元多项式f(x1, x2, , xn)称为对称多项式，如果对任意的1 I j n, 有 f(x1, , xi, , xj, , xn) = f(x1, , xj, , xi, , xn),引理2.10.1 设 是数环R上一n元多项式. 以初等对称多项式 i代替xi (1i n), 得到一个关于1, 2, , n的多项式： 如果f(1,2, , n)=0, 那么f(x1, x2, , xn)=0.,性质 如果 是对称多项式f(x1, x2, , xn)的一项，则 也是f(x1, x2, , xn)的一项, 其中 是k1, k2, , kn的一个排列.,定理2.10.2(对称多项式基本定理) 任一n元对称多项式f (x1, x2, , xn)都可(唯一地)表为初等对称多项式的多项式，即，存在一个n元多项式 (y1, y2, , yn)使得 f (x1, x2, , xn)= (1, 2, , n),例1 将三元对称多项式 f(x1, x2, x3)=x13+x23+x33表为初等对称多项式的多项式.,例2 将n元对称多项式 f(x1, x2, , xn)=x12x22表为初等对称多项式的多项式., 3.1引言 (introduction),Ch. 3 行列式(Determinants),3.1, 3.2 排列(permutation),3.2, 3.3 n级行列式,3.3, 3.4 行列式的性质,3.4, 3.5 行列式的计算, 3.6 行列式按一行(列)展开, 3.7 克兰姆法则(Cramers Rule), 3.8 Laplaces Theorem,复习及习题课,3.6,3.7,3.8,3.9,3.5,Ch. 3 Determinants,可应用于判定方阵是否可逆；,行列式是方形矩阵一个十分重要的数字 特征；,可应用于计算可逆矩阵的逆矩阵；,可应用于解一类线性方程组：Gramer 法则.,1 引言 (introduction),n元线性方程组,aij -双重脚标表示aij为方程组(1)的第 i 个方程中第 j 个未知量的系数.,要解决的问题：,1）方程组是否有解？什么情况下有解？ 什么情况下无解？,2）有解时：什么情况下解唯一？ 什么情况下有无穷多解？无穷多解时解 如何表示？,（一） 二阶行列式,（次对角线）,+（主对角线）,（二） 三阶行列式,画线法记忆,+,+,+,-,-,-,给定一个二元线性方程组：,如果其系数构成的二阶行列式,则原方程组有唯一解：,其中,类似地，给定一个三元线性方程组：,如果其系数构成的二阶行列式,则原方程组有唯一解：,其中,2 排列(permutation),定义 由1, 2, , n 组成的一个有序组称为一个n级排列.,性质 共有 n！个n级排列.,定义 在一个n级排列中, 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数, 则称它们为此排列的一个反序. 一个n级排列中的反序总数称为此排列的反序数.,在一个n级排列j1 j2jn中, 记此排列的反序数为： ( j1j2jn),定义 一n级排列的反序数为偶数则称为偶排列; 否则, 称为奇排列.,对换(transposition) 将一个n级排列中的两个数互换位置而得到另一个n级排列的变换.,定理3.2.2 对换改变一n级排列的奇偶性.,定理3.2.1 设i1 i2in和j1 j2jn是任意两个n级排列. 那么经若干对换可将i1 i2in化为j1 j2jn.,推论 n级排列中奇偶排列各一半(n!/2).,3 n级行列式,约定：从本节开始, 如不做特别申明, 课程 中提到数为一固定的数域P中的元素.,设a是一个数. 由a构成的一级行列式为 |a |=a,一级行列式：,二级行列式,三级行列式,定义 定义n级行列式为,其中, 表示对所有的n级排列求和.,从而，一n级行列式的展开式为n!个项的代数和，而每一项为行列式中不同行和不同列的n个数的乘积.,例 计算下列二阶行列式,例 计算下列三阶行列式,例 计算下列四阶行列式,例1 计算下列四阶行列式,引理3.3.1 n阶行列式D=|aij|的一般项可以记为 其中， i1 i2in和j1 j2jn是任意两个n级排列.,定义 又可定义n级行列式为,行列式的性质,命题3.3.1 转置行列式与原 行列式的值相等.,转