人教版高中数学1.3.1第1课时函数的单调性.ppt

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性,一、增函数与减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1，x2. (1)增函数：当x1x2时，都有_，则函数f(x)在区 间D上是增函数. (2)减函数：当x1x2时，都有_，则函数f(x)在区 间D上是减函数.,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),思考：在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1,x2D”改为“存在x1,x2D”？ 提示：不能.如函数y=x2，虽然f(2)f(1)，但函数y=x2在定义域上不是增函数.,二、函数的单调性及单调区间,增函数或减函数,（严格的）单调性,单调区间,判断：(正确的打“”，错误的打“”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( ) (2)对于函数f(x)=|x|，由于f(2)f(1)，故该函数在定义域内是增函数.( ) (3)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3).( ),提示：(1)错误，如函数y= 在定义域上不是单调函数. (2)错误，函数f(x)=|x|在(,0上是减函数，在(0，+) 上是增函数. (3)正确，由于函数f(x)为R上的减函数，-3 f(3). 答案：(1) (2) (3),【知识点拨】 1.增函数、减函数定义的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性，即单调性是函数的一个“局部”性质.,(2)定义中的x1，x2有以下三个特征： 任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； 有大小； 属于同一个单调区间. (3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化.,2.从三方面正确理解单调函数 (1)有些函数在定义域上是单调的，如函数y=x. 有些却只在 定义域内的子区间上单调，如y=x2在(-,0)上为减函数,在 0, +)上为增函数.还有不单调的函数，如y=3. (2)函数在定义域的某几个子区间上都具有相同的单调性，也 不一定在定义域上是单调的.如f(x)= 有两个减区间(-,0) 和(0, +)，但在定义域上不是单调的.,(3)注意定义域是否含有端点值.例如，y=x2的减区间为(-,0) 也可以写成(-,0,但f(x)= 的减区间只能写成(-,0)和(0,+).,3.增减函数与图象升降的关系 若函数f(x)在区间D上是增函数，则f(x)的图象在D上是上升的；若函数f(x)在区间D上是减函数，则f(x)的图象在D上是下降的，反之亦然.,类型 一 函数单调性的判定或证明 【典型例题】 1.f(x)=-2x-1在(-,+)上是_(填“增函数”或“减函数”). 2.证明函数f(x)=x+ 在(0,1上是减函数.,【解题探究】1.判断一个函数在某一区间上是单调函数的依据是什么？ 2.利用定义证明一个函数在某一区间上是单调函数的关键步骤是什么？,探究提示： 1.判断一个函数在某一区间上是增函数还是减函数，可利用增函数与减函数的定义，除了利用定义判断外，还可以通过图象来判断. 2.由提示1可知利用定义来证明.关键的步骤是作差后的变形及符号的判定，同时它们也是证明时容易出错的关键位置.,【解析】1.方法一：设x1,x2为(-,+)上的任意两个实数且x10，即f(x1)f(x2),所以函数 f(x)=-2x-1在(-,+)上是减函数.,方法二：函数的图象如图所示： 由图象可知f(x)=-2x-1在(-,+)上是减函数. 答案：减函数,2.任取x1,x2(0,1且x10，即f(x1)f(x2)， 所以函数f(x)=x+ 在(0,1上是减函数.,【拓展提升】 1.判断函数单调性常用的方法 (1)定义法：一般按照取值、作差变形、判断符号、得出结论这样的顺序进行. (2)图象法：作出函数图象，由图象上升或下降判断出单调性.,2.定义法判断或证明函数单调性的四个步骤,【变式训练】证明函数f(x)=x2+2在(,0)上是减函数. 【解析】设x1,x2为(,0)上的任意两个实数且x10， 即f(x1)-f(x2)0， f(x1)f(x2),所以函数f(x)=x2+2在(,0)上是减函数.,类型 二 求函数的单调区间 【典型例题】 1.f(x)=2x2+4x3的增区间为_. 2.f(x)= 的减区间为_. 3.作出函数 的图象，并指出其单调区间.,【解题探究】1.求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？ 2.求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？ 3.求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？,探究提示： 1.应明确二次函数图象的开口方向和对称轴. 2.应本着定义域优先的原则，首先确定好该函数的定义域，在函数的定义域内讨论该函数的单调区间. 3.对于函数解析式中含有绝对值号的应首先根据自变量的取值范围，去掉绝对值号，化为分段函数.,【解析】1.f(x)=2x2+4x3开口向下，对称轴为x=1，故其增区间为(,1). 答案：(,1),2.f(x)= 的定义域为(,1)(1,+)，任取x1,x2(,1)且x1f(x2)，(,1)为f(x)= 的减区间，同理可 得(-1,+)也为f(x)= 的减区间 . 答案：(,1),(-1,+),3.原函数可化为 其图象为 由图象知，函数的增区间为3,+)，减区间为(,3.,【互动探究】对于题3，若函数改为“f(x)=|x-3|+|x+4|”，又如何确定该函数的单调区间？ 【解题指南】根据自变量的取值范围，去掉绝对值号，化为分段函数.,【解析】原函数可化为 其图象为： 由图象知，函数的增区间为3,+),减区间为(-,-4.,【拓展提升】求函数单调区间的两个方法及三个关注点 (1)两个方法: 方法一:定义法,即先求定义域,再用定义法进行判断求解. 方法二:图象法,即先画出图象,根据函数图象求单调区间. (2)三个关注点: 关注一：求函数的单调区间时,要先求函数的定义域. 关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识,可以直接使用.,关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“”连接.,类型 三 函数单调性的应用 【典型例题】 1.如果函数f(x)在a,b上是增函数，那么对于任意的x1， x2a,b(x1x2)，下列结论中不正确的是( ) A. B.(x1x2)f(x1)f(x2)0 C.若x1x2,则f(a)f(x1)f(x2)f(b) D.,2.函数f(x)=x22mx3在区间1,2上单调，则m的取值范围是_. 3.已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且 f(x2)f(1x)，求x的取值范围.,【解题探究】1.根据增函数的定义考虑，若一个函数f(x)在a,b上是增函数，则x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号有什么关系？ 2.二次函数在某区间内单调，取决于哪个关键量？ 3.若一个函数在某区间上是增函数，且f(x1)f(x2),则x1与x2的取值有什么限制，两者之间的大小关系是什么？,探究提示： 1.由增函数的定义知，若x1x2,则f(x1)f(x2)，故x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同. 2.二次函数的对称轴在区间内的位置影响函数的单调性. 3.由增函数的定义知，首先x1,x2应在所给定的区间上，其次两者的大小关系是x1x2.,【解析】1.选C.因为f(x)在a,b上是增函数，对于任意的x1，x2a,b(x1x2)，x1x2与f(x1)f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1x2,则f(a)f(x1)f(x2)f(b). 2.二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)=x22mx3的对称轴为x=m，函数在区间1,2上单调，则m1或m2. 答案：m1或m2,3.由题意，得 解得1x 故满足条件的x的取 值范围是1x,【拓展提升】函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围. (2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组).,(3)若一个函数在区间a,b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.,【变式训练】已知函数y=ax和y= 在区间(0,+)上都是减 函数，则函数y=ax2+bx在区间(0,+)上是增函数还是减函数？ 【解析】函数y=ax和y= 在区间(0,+)上都是减函数，则 a0且b0，于是y=ax2+bx的对称轴x= 0且开口向下，所 以y=ax2+bx在区间(0,+)上是减函数.,复合函数的单调性 1.已知函数y=f(x)在(0,+)上为增函数，且f(x)0)， 则F(x)= 在(0,+)上为_(填“增函数”或 “减函数”). 2.已知函数f(x)与g(x)是R上的增函数，求证：f(g(x)在R上 是增函数.,【解析】1.任取x1,x2(0,+)且x10)，所以 即F(x1)F(x2)，故F(x)= 在(0,+)上为减函 数. 答案：减函数 2.任取x1,x2R，且x1x2, g(x)是R上的增函数，g(x1)g(x2)， 又f(x)是R上的增函数， f(g(x1)f(g(x2).故结论成立.,【拓展提升】 1.复合函数单调性的判断方法 复合函数单调性的判断方法是对复合函数进行分解,分解为几个简单函数,由简单函数的单调性进而得到复合函数的单调性,本着“同增异减”的原则进行判断，这就相当于把复杂问题分解转化为简单问题来解决.,2.单调函数的运算性质 (1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (2)当c0时，cf(x)与f(x)有相同的单调性； 当c0时，cf(x)与f(x)有相反的单调性. (3)若f(x)0，则函数f(x)与 具有相反的单调性. (4)若f(x)0，则函数f(x)与 具有相同的单调性. (5)若函数f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性 不变.,【易错误区】忽视分段函数分段点处的单调性致误 【典例】(2013北京高一检测)若函数 是(-,+)上的减函数，则实数a的取值范围是( ) A.(-2,0) B.-2,0) C.(-,1 D.(-,0),【解析】选B.由x1时， f(x)=x2+2ax2a是减函数， 得a1， 由x1时，函数f(x)=ax+1是减函数， 得a0， 分段点1处的值应满足12+2a12a1a+1， 解得a-2， -2a0.,【类题试解】已知函数 是(，+)上的 减函数，则实数a的取值范围是( ) A.0, B.(0, ) C.(0, D.0, ) 【解析】选A.当x0时，函数f(x)=x2ax+1是减函数，解得 a0， 当x0时，函数f(x)=x+3a是减函数， 分段点0处的值应满足13a，解得a 0a,【误区警示】,【防范措施】 1.函数图象的应用 在函数的单调性这一部分，尤其出现二次函数和分段函数来求参数的取值范围时，都先要画出函数图象，从而避免在求参数的取值范围时出错，如本例在两段中都可借助草图列出关系式，进而求出a的范围.,2.特殊情况的处理 在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小,如本例中的分段点1，即需要在此处满足题意列出关系式，求出a的限制条件.,1.已知函数f(x)=x2,则( ) A.f(x)在(,0)上是减函数 B.f(x)是减函数 C.f(x)是增函数 D.f(x)在(,0)上是增函数 【解析】选D. f(x)的图象开口向下，对称轴为x=0，所以f(x)在(,0)上是增函数.,2.函数y= 的减区间是( ) A.0,+) B.(,0 C.(,0),(0,+) D.(,0)(0,+) 【解析】选C.函数y= 的定义域为(,0)(0,+)，但是 其在定义域上不单调，它有两个单调减区间，应该写为 (,0),(0,+).,3.下列函数f(x)中，满足对任意x1,x2(0,+)，当x1f(x2)的是( ) A.f(x)=x2 B.f(x)= C. f(x)=|x| D.f(x)=2x+1 【解析】选B.f(x)= 在(0,+)上为减函数，符合题意.,4.若f(x)是R上的减函数，且f(x1)f(x2)，则x1与x2的大小关系是_. 【解析】因为f(x)是R上的减函数，所