数学物理方法第4章留数定理.ppt

1,第4章 留数定理 包含奇点的积分如何求？,2,柯西(Augustin Louis Cauchy, 17891857) 法国数学家、物理学家、天文学家 他的父亲与Lagrange, Lapalce交往密切 柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理等 （800篇论文）,拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，17361813） 法国著名数学家、物理学家 （拉格朗日中值定理 ，分析力学的创立者 ， 天体力学的奠基者 ）,拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,17491827) 是法国分析学家、概率论学家和物理学家 天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一 ，分析概率论的创始人,3,4.1.0 复习,柯西定理,柯西公式,4,=?,L 逆时针+L0 顺时针,f(z)在除起点外解析,5,4.1.1 留数定理,一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义,6,二、留数定理 (柯西留数定理),式中,它等于f(z)在bk的无心邻域的洛朗展开中的洛朗系数,称为f(z)在bk处的留数,f(z) 的洛朗展开为,7,证明,其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得,首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,Lk, 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样, 由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,Lk, 为边界构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得,将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将 代入,即有,8,4.1.2、计算留数的方法,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,由(4.1.9)式可得,例 5,它是f(z)分母的一阶零点,也是f(z)的一阶极点,20,分别将k=0,1,2,3代入, 可得,21,例 6,由此得,22,例 7,将上式2i换成-2i,即有,23,4.1.3 无穷远点的留数与留数和定理,24,O,图4.2,25,26,27,【例8】求f(z)= 在孤立奇点(包括无穷远点）处的留数,解 z=b1是二阶极点，z=b2是一阶极点，得,28,由留数和定理，易得,由于不存在z-1项，故 Res f() =-a-1()=0,4.2 用留数定理计算实变积分,本节将利用留数定理,计算五个基本类型的实变积分, 在此基础上讨论在物理学中常用的几个积分。,30,引理1 若z在上半平面及实轴上趋于时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关，即,则 f(z) 沿图2.3中无穷大 半圆周CR的积分,(4.2.2),31,若z在上半平面及实轴上趋于时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即,式中m0，CR是以原点为圆心、R为半径的上半圆周，参看图2.3.,引理2 (若当引理):,则,(4.2.3),32,第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指出f(z)沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。,引理 3 若b是f(z)在实轴上的一阶极点，则,证明 由于b点是f(z)的一阶极点，因而在b的无心邻域中， f(z)的洛朗级数的最低次幂为(z-b)-1，即,33,34,下面分别介绍五大类型积分的 特征 基本方法 常用技巧,35,4.2.1 型积分,1. 积分的特征：被积函数是cosq, sinq的有理实函数；积分区间为0,2p,如果不是，应先变为0,2p 2. 计算方法，首先作变换z = ei, 把被积函数变成复变函数,36,其次，把沿0,2p的积分变成沿单位圆的回路积分利用留数定理可得,即积分等于2pi乘函数 在|z|=1圆内所有奇点处留数之和.,37,【例4.2.1】计算积分 式中a0,解 首先作变换q=2x, 将积分区间化为0,p，再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为-p,p,38,其次，令z=eiq，即可将对q的积分变为沿|z|=1 的回路积分,第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2 = 易见z1在|z|=1的回路内部,| z2 |在回路外,39,根据留数定理,40,4.2.2 f(x)dx 型积分,1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk ( k =1，2，n)外解析； 当z在上半平面及实轴上趋于时，zf(z)一致地趋于零(与辐角无关) 其次，选择辅助函数f(z)。 通常将f(x)的x改为z(有时也要改变函数形式，见例4.2.7.例4.2.8 ),41,第三，选择积分与回路当积分具有上述特征时，受引理1的启发，增加无穷大的半圆周CR，构成闭合回路L(图4.4).,根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1的结论 则有,42,【例4.2.2】计算积分,解 (1)辅助函数 由于被积函数为偶函数，故,令辅助函数,(2) 积分回路,43,(3)按留数定理计算,增加无穷大半圆周CR 构成闭合(图4.5),44,它在上半平面有无限多个极点 bk=(2k+1)i，k=0,1, 但这些留数有简单的规律，仍可按第二型积分计算,45,仍可取图4.5的回路。 f(z)在回路中所有奇点处的留数为(见习题4.1.4),(2) 积分回路因为,46,(3)按留数定理计算,47,4.2.3,1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,）外解析； 当z在上半平面及实轴上趋于 时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关）,48,2.计算方法,与第二类型不同的是，第三类型积分的被积函数满足引理2(若当引理)的条件 类似地，增加无穷大的半圆周CR (图4.4)，构成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定义，以及引理2的结论 则有,49,为书写简单起见，式中已采用简单记号,由此可得式(4.2.10)式(4.2.13)四个公式：,50,(1) 式(4.2.9）的实部为,1,2,3,4,(4.2.12),51,【例4.2.4】计算积分,解 (1) 辅助函数 在上半平面只有一个一阶极点b=i (2) 积分回路 (3) 按留数定理计算,仍可选取图4.5的回路,52,4.2.4 f(x)在实轴上有一阶极点的积分,1.积分特征 除f(x)在实轴上有一阶极点外，与第二型积分特征相同。,2.计算方法 积分回路是在图4.4增加以轴上极点b为圆心，e为半径的无穷小半圆周Ce，如图4.6所示。,53,根据留数定理, 积分主值的定义, 引理1的结论,(4.2.14),54,【例4.2.5】计算积分I =,解 (1)辅助函数 f(z) = 它在上半平面内有一阶极点b1= i 外，还在实轴上有两个一阶极点b2=1,b3=-1.图4.7 (2) 积分回路如图4.7所示 (3)按留数定理计算,55,4.2.5 (m0), f(x)在实轴上有一阶极点的积分,1.积分特征 除f(x)在实轴上有一阶极点外，与第三型积分特征相同。,2.计算方法 积分回路为图4.6,令,(4.2.16),56,【例4.2.6】计算积分I =,解 (1)辅助函数 F(z) = f(z)eiz = 在实轴上有一阶极点z=0. (2)积分回路如图4.8所示 (3)按留数定理计算,57,4.2.6 物理学中常用的实积分,在物理学中常用的几个实积分，被积函数不满足上述要求的条件，需要采用一些技巧，但基本方法还是一致的： (1)选择一个辅助函数； (2)把定积分化为沿闭合回路的积分； (3)按留数定理来计算,58,4.2.6 物理学中常用的实积分,但有的时候辅助函数要变形(见例4.2.8），积分回路也不一定增加半圆周CR，但增加路线上的积分 或者为零(见例4.2.7)， 或者容易算出(见习题4.2.5）； 或者与待求积分有简单的关系(见习题4.2.6)。 对于回路上的奇点，也要绕过去,59,【例4.2.7】已知欧拉积分,其中a0，b0此积分在量子力学中计算谐振子的动量几率分布函数时用到 解 (1) 选择辅助函数,不能采用第三类型积分的回路,60,先将积分变形,在第二项积分中作变量代换，用-x替换x，可证明两项积分相等。再对指数进行配方，便有,能不能令 w=x+ 然后按欧拉积分得 呢？暂时还不行，因为欧拉积分中的x是实数。但是，本题的计算正好证明，欧拉积分对于复数w亦成立，见后面的式(4.2.21）,61,(2) 选择闭合回路,选择如图4.9所示的回路，这样沿x轴的积分已知，沿平行于x轴的积分与待求的积分有简单的关系，沿平行于y轴的两个积分可证明为零,Iy1,Iy2,Ix2, = Ix1 +Iy1 +Ix2 + Iy2 = 0 Iy1 = Iy2 = 0 Ix1+Ix2 = 0,Ix1,62,(3)由留数定理计算函数f(z)在回路图4.9内没有奇点，由留数定理可得,在式(4.2.19)中令R，则式(4.2.19）右边的第一项为实变函数中的欧拉积分,(4.2.19),63,第三项与待求积分有简单的关系式,第二、四项由于沿x轴方向满足 由引理1易见这两项为零。实际上，第二项的模为,64,将以上结果代入式(4.2. 19)，即有,移项，即得 将这个结果与式(4.2.18）比较，可得,65,【例4.2.8】计算积分,解 (1) 选择辅助函数.本题若取 它在R时不满足 的条件，现在通过定积分相等而改变被积函数，使之满足上述条件，由 用-x代替x可证:,(4.2.22)