普通逻辑学第六讲命题的判定与自然推理.ppt

第六讲 命题的判定与自然推理,逻辑学的主要任务是研究有效性推理。 任何一个推理可以表述成一个蕴涵命题，如果该推理有效，则该蕴涵命题不管其中的命题变项取何真值，该蕴涵命题总是为真，即它应该是一个重言式。 本讲重点：（1）掌握判定一个命题是否是重言式的方法； （2）利用已学命题逻辑知识，进行命题的自然推理。,一、重言式,1、真值形式：是指由真值联结词和命题变项构成的形式结构。 在现代命题逻辑中，它是复合命题的命题形式，或命题的逻辑形式。 1.1真值联结词：仅仅表示复合命题与肢命题之间的真假关系的联结词， 通常又叫逻辑联结词。 1.2命题逻辑的五种基本真值形式 否定式：p 合取式：p q 析取式：p q 蕴涵式： p q 等值式： p q,一、重言式,2、真值函项（函数） 2.1函数、真值函数 “函数”指的是这样一种关系：如果对于一个类甲中的每个分子或元素x,在另一个类乙中至多有一个元素y与之相对应，那么，类甲和类乙之间具有函数关系。 y=f (x). 在此，f表示函数关系。 一个函数如果其自变元所取的值是真值（真或假），而且该函数本身取值范围也是真值，那么，该类函数就是真值函数，亦称“真值函项”。 根据主逻辑联结词的不同，真值函项关系实际上是各肢命题之间的逻辑关系，亦即五种基本关系。,一、重言式,2.2 真值形式与真值函项 一般说来，一个真值形式就是一个真值函项，亦即任何真值形式都表示真值函项。但两者并不是一一对应的关系：一个真值函项可以由多个真值形式表示。 p q, p q “p q”表示的真值函数关系是：在命题变项p为真且q为假时，它的值是假；在其余情形下为真。 “p q”表示的真值函数关系是：在命题变项p为真且q为假时，它的值是假；在其余情形下为真。 同样， 真值形式“p q”与真值形式“q p”表达同样的真值函数关系，因此是同一个函数。,一、重言式,2.3真值函项的个数 真值函项与该函项所涉及的命题变项的个数密切相关，因为命题变项实际上相当于函数的自变量（元）。 在经典逻辑里，命题变项的取值范围是“真”和“假”两值。,只有一个命题变项的真值函项个数,有两个命题变项的真值函项的个数,一、重言式,n个命题变项的真假组合有2的n次方种可能性。 在每一种真假组合的情况下，对之可以有两种断定，即或者肯定，或者否定，于是每种组合的值都有真或假这两种可能性。 一般地，由n个命题变项可以构成2的2的n次方个真值函数。,3、重言式,重言式：重言的真值形式的简称，无论其中的命题变项取何种真值，该真值形式的值都是“真”，因此，又叫永真式。 同一律：p p; 矛盾律：(p p) 排中律：p p 永假式：无论其中的命题变项取何种真值，该真值形式的值都是假的。 可满足式：真值形式的值至少在某种情况下是真的。,3、重言式,重言式是关于真值联结词的逻辑规律，因之也是关于复合命题的逻辑规律。 一些常见的重言式： 1、同一律：p p; 2、矛盾律：(p p) 3、排中律：p p 4、分离律： （p q） p q （肯前律） 5、否后律： （p q） q p 6、析否律： （p q） q p,3、重言式,7、合取简化律：（p q） p 8、析取引入律：p p q 9、幂等律：p p p; p p p 10、假言易位律： （p q）（ q p ） 11、德摩根律： （p q） (p q) （p q） (p q) 12、交换律： p q q p； p q q p 13、双否律： p p,3、重言式,14、结合律：（p q） r p （q r）（合取交换） （p q） r p （q r）（析取交换） 15、分配律： p （q r） （p q）（p r） 合取对析取的分配律 p （q r） （p q） （p r） 析取对合取的分配律 16、蕴析律： （p q）（ p q ） 17、等值律：（p q）（p q）（q p） (等值分解) （p q）（p q） （ p q ）,命题的真值判定方法,1、真值表法 真值表，就是能显示一个真值形式在它的命题变项的各种真值组合下所取真值的图表。 其作用是判定一个真值形式是重言式、可满足式或者是矛盾式。,构造真值表的一般方法,（1）找出给定真值形式中的所有命题变项，列举出它们的各种真值组合。 （2）根据真值形式的构成过程，由简到繁列举出该真值形式的构成部分，真值表的最后一列就是说要判定的真值形式。 （3）根据所涉五个基本真值联结词的逻辑特性，分别计算出每一行中各构成部分的真值，最后得出该真值形式的真值。,用真值表判定(p q) r) (p (q r)是否为重言式。,用真值表判定下述推理,或者逻辑学难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学不容易学。 前提：(1) p q; (2) r p 结论：q r 真值形式： (p q) (r p) (q r),真值表方法,真值表方法还可以用来判定不同真值形式之间的逻辑关系,2、归谬赋值法,归谬赋值法的基本思想：为了证明一个蕴涵式是重言式，必须证明它不可能前件真而后件假。先假设所要判定的蕴涵式前件真且后件假，并根据这个假设，给每个命题变项赋值，使其满足前件真而后件假。如果在这样的赋值过程中出现了矛盾赋值，即必须给同一个命题变项既赋“真”值又赋“假”值，那么，原假设不成立，因而该蕴涵式是重言式。 反之，如果不出现矛盾赋值，则说明存在一组赋值满足前件真而后件假，因而不是重言式。,2、归谬赋值法,(p q) q) p F T F T T T T T F 从上图可见，q必须同时赋以真和假。,试用归谬赋值法判定下列推理是否有效,如果地球围绕太阳公转(p)，但并不围绕自己的轴线自转(q)，那么，地球上就不会有白天和黑夜(r) 。事实上，地球上有白天和黑夜。所以，或者地球并不公转，或者地球既公转又自转。 前提：（1） (p q) r； （2） r 结论： p (p q) 真值形式：(p q) r) r) (p (p q),归谬赋值赋法判定该推理是否有效,(p q) r) r ) ( p (p q) F T F T T F F T F F F T T,用归谬赋值法判定下列推理是否有效,事实上，我的勺是干的(p)，所以我没有在自己的咖啡中加糖(q)。因为如果我搅动了咖啡(r)，我的勺一定是潮的。然而我不会搅动咖啡，如果我不给它加糖。 前提：(1) p; (2) r p; (3) q r 结论： q 真值形式：(r p) ( q r ) p) q,p、q、r可以没有矛盾赋值，故推理无效,( r p) ( q r ) p) q F T F T T T T T T T F F,命题的自然推理,自然推理实际上是另外一种判定推理是否有效的方法，并且主要是证明的方法。 自然推理的基本思想：确定一些推理规则，这些规则具有保真性。即依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，如果依据这些推理规则，能形式地推出预期的结论，这就说明该推理是有效的。,命题的自然推理,自然难推理的主要规则 1、A A : 以一个公式为前提，可以推出它自身。 2、A, AB B: 通常叫蕴涵消去规则，是利用分离律。 3、AB A B: 假设A可以推演出B，那么，可以得到结论（ A B ）。即蕴涵引入规则。 4、A，B A B：合取引入规则。 5、A B A（B）：合取消去规则,自然难推理的主要规则,6、A AB：析取引入规则。 7、A B，AC， BC C：析取消去规则。 8、A B B A: 否定引入规则，即归谬法。 9、 A A：否定消去规则，即双否律。 10、 AB， BA AB：等值引入规则。 A表示假设有A； AC表示假设有A，并能从其推演出C。,用自然推理判定下列推理是否有效,如果下雨，地面就会潮湿，地面没潮湿，所以没下雨。 前提： p q; q. 结论：p (1) p q 前提 (2) p 假设 (3) q (1)(2)蕴涵消去 (4) q 前提 (5) q q (3)(4) 合取引入 (6) p (1)(5) 否定引入(消去假设(2),证明：(p q) (q r) (p r),（1） p q 假设 （2） q r 假设 （3） p 假设 （4） q (1) (3) 蕴涵消去规则 （5） r (2) (4) 蕴涵消去规则 （6） p r (3) (5)蕴涵引入规则(消去了假设(3) ) （7）(q r) (p r ) (2)(6)蕴涵引入规则(消去了假设(2) ) （8）(p q ) ( (q r) (p r ) (1)(7)蕴涵引入规则(消去 了假设(1) ),证明: (p q) (q p),(1) p q 假设 (2) p 假设 (3) q p (2), 析取引入 (4) q 假设 (5) q p (4), 析取引入 (6) q p (1) (2) (3) (4) (5)析取消去规则（消去假设(2) (4)） (7) (p q ) (q p ) (1) (6)蕴涵引入（消去假设(1) ）,关系命题及其推理,1、关系命题：反映事物与事物之间关系的命题。 姚明和叶丽都是知名的篮球运动员。 姚明是知名的篮球运动员。 叶丽是知名的篮球运动员。 姚明和叶丽是一对恋人。 姚明是一对恋人。 叶丽是一对恋人。,关系命题及其推理,2、关系命题的结构 关系者项：关系命题中表示某种关系的承担者的那些词项。 关系项：关系命题中表示对象之间的关系的那个词项。 量项：关系命题中表示关系者数量的那个词项。 例：所有的自然数都大于所有的负数。,关系命题及其推理,3、关系命题的符号化 甲和乙是一对父子。 aRb (中置法) R(a,b) (前置法) abR (后置法) 有的甲班学生比有的乙班学生学习刻苦 x y (F (x) G (y) R (x, y) 所有甲班学生比所有乙班学生学习刻苦 x y (F (x) (G (y) R (x, y),关系的逻辑特性,1、关系的对称性问题：当一个对象与另一个对象具有某种关系时，另一个对象与这个对象是否也具有这种关系的问题。 1.1 对称性：如果对象甲与对象乙具有某种关系，而乙也与甲具有该关系，那么，这种关系就具有对称性。 李同学和张同学是老乡。 “等于”、“相似”、“同龄” 、“邻居”等关系都具有对称性。 1.2 反对称性：如果对象甲与对象乙具有某种关系，而乙与甲不具有该关系，那么，这种关系就具有反对称性。 五大于三。 雍正和李卫是君臣关系。 “大于”、“小于”，以及表示重量（“重于”）和方位（在南方）的一些关系。,关系的逻辑特性,1.3 非对称性：如果对象甲与对象乙具有某种关系，而乙与甲可能具有也可能不具有该关系，那么，这种关系就具有非对称性。 “信任”、“喜欢”、“认识”、“敬佩”等关系就具有非对称性的特点。 2、关系的传递性问题：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，对象甲与对象丙是否也具有此种关系的问题。三种情况： 2.1 传递关系：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，而对象甲与对象丙必然具有此种关系，那么，这种关系就具有传递性。,关系的逻辑特性,张老师比王老师年长，王老师比李老师年长，因而，张老师比李老师年长。 “年长”、“大于”、“在前”等关系都具有传递性。 2.2 反传递关系：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，而对象甲与对象丙必然不具有此种关系，那么，这种关系就具有反传递性。 16是4的平方，4是2的平方，16必然不是2的平方。 甲是乙的父亲，乙是丙的父亲，甲是丙的父亲。（？） “父子”、“平方” 等关系都具有反传递性。,关系的逻辑特性,2.3 非传递关系：当一个对象甲与另一个对象乙具有某种关系，乙与第三个对象丙也具有此种关系时，而对象甲与对象丙并不必然具有此种关系，那么，这种关系就具有非传递性。 李军和张华是好朋友，张华和王凯是好朋友，李军和王凯是好朋友。 （？） “欣赏”、“尊重” 等关系都具有非传递性。,关系推理,关系推理是前提中至少一个是关系命题的推理，它是根据前提中“关系”的逻辑特性进行推演的。 1、纯关系推理：前提和结论都是关系命题的推理。 1.1对称性关系推理：根据前提中的关系具有对称性而进行的推理。 李白和杜甫是同时代的人，所以，杜甫和李白是同时代的人。 1.2反称性关系推理： 甲是乙的父亲，所以，乙不是甲的父亲。,关系推理,1.3传递性关系推理 广州在武汉的南方，武汉在北京的南方， 所以，广州在北京的南方。 1.4反传递性关系推理： 华中科技大学的校长是华中科技大学人文学院院长的上级，华中科技大学人文学院院长是哲学系系主任的上级，所以，哲学系系主任不是华中科技大学的校长的上级。,关系推理,2、混合关系推理：第一个前提是关系命题，