高中数学人教A版必修二全程复习课件 第一章 1.3.2 球的体积和表面积.ppt

1.3.2 球的体积和表面积,1.通过球的体积和表面积的计算,了解球的体积和表面积公式. 2.会利用球的体积和表面积公式解决实际中的问题.,球的体积和表面积 设球的半径为R,则球的体积V=_ 表面积为S=_,4R2,1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”，错误的打“”). (1)决定球的大小因素是球的半径.( ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.( ) (3)直径为2的球的体积是直径为1的球的体积的2倍.( ),提示：(1)正确.因为球的体积为 只与球的半径的立 方有关. (2)正确.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大 圆的半径等于球的半径. (3)错误.因为两个球的体积的比等于相应的半径的比的立 方，故直径为2的球的体积是直径为1的球的体积的8倍. 答案：(1) (2) (3),2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)半径为2的球的体积为_ (2)设M是球O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆面，则这两个圆的面积之比为_ (3)若一个几何体的三视图是三个直径为4 cm的圆，那么该几何体的表面积为_；体积为_,【解析】(1)由 答案： (2)如图作球的经过球心的一个圆截面， 设球的半径为2R，则OM=R，所以MM= 所以两圆面积比为 答案：,(3)由该几何体的三视图为三个圆，所以该几何体为球，直径 为4 cm，所以球的表面积为422=16；体积为 答案：16,一、球的体积与表面积 探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题 (1)计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？ 提示：要计算球的表面积和体积，关键是要确定球的半径R.,(2)若已知球的体积为V，则球的表面积S如何用V表示？ 提示：因为V= R3,所以 因此,(3)若两球的半径之比为R1R2，那么两球的表面积之比及体 积之比分别是多少？ 提示：,【探究提升】计算球的体积及表面积的两点说明 (1)球的体积和表面积都是关于半径R的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可. (2)确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径,二、球的截面 探究1：用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状？ 提示：用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面. 探究2：球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系？ 提示：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面. 探究3：若球的半径为R，截面圆半径为r，则球心到截面的距 离d是多少？ 提示：,【探究提升】用一个平面去截球，对所得截面的三点说明 (1)当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过球心时,截面圆的半径都小于球的半径. (2)球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念. (3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系,类型 一 球的体积和表面积的计算 尝试解答下面的问题，归纳求球的表面积及体积的策略. 1.若球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来 的( ) A.3倍 B.3 倍 C.9倍 D.9 倍,2.(2013宁德高一检测)一平面截一球得到直径是6 cm的圆 面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积为( ) 3.三个球的半径之比为123，那么最大的球的体积是另外 两个球的体积和的_倍，最大球的表面积是另外两个球 的表面积和的_.,【解题指南】1.求出半径扩大的倍数，根据表面积公式，得出表面积扩大的倍数. 2.根据球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成直角三角形，可求得球的半径，即可求得体积. 3.根据球的半径之比，设出球的半径，表示出体积和表面积，从而判断出它们之间的关系.,【解析】1.选C.因为体积扩大到原来的27倍，所以r变为3r， 所以它的表面积扩大为原来的9倍. 2.选C.因为球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成一 个直角三角形，所以球半径为 =5(cm)，所以球的体 积为,3.设三个球的半径分别为r,2r,3r，则 所以 S1=4r2,S2=4(2r)2=16r2，S3=4(3r)2=36r2， 所以 答案：3,【技法点拨】求球的体积与表面积的策略 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.,【变式训练】把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成 一个大铁球，这个大铁球的半径为( ) A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 【解析】选D.设大铁球的半径为r，则： 解得r=12.,类型 二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算 通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并总结求解该类问题的技巧. 1.(2012广东高考)某几何体 的三视图如图所示，它的体积 为( ) A.72 B.48 C.30 D.24,2.一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一个球面 上，则此球的表面积为( ) A.3 B.4 C.3 D.6 3.(2012天津高考)一个几何体 的三视图如图所示(单位：m)， 则该几何体的体积为_m3.,【解题指南】1.根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键.显然本题几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合体. 2.将四面体补成一个正方体，该正方体的体对角线长为球的直径. 3.由三视图正确判断出组合体的图形是关键.,【解析】1.选C.由三视图可知该组合体由一个半球和一个倒 立的圆锥组成. 2.选A.以四面体侧棱为正方体的面对角线构造正方体，则正 方体内接于球，正方体的棱长为1，体对角线长为球的直径. 所以2R= ，S球=4R2=3.,3.该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6，3，1的长方 体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积 是：V=2V球+V 长方体=2 ( )3+631=18+9. 答案：18+9,【互动探究】题3条件不变，求该组合体的表面积. 【解析】该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6，3，1的 长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的表 面积为S=2S球+S长方体=24( )2+2(63+61+13) =54+18.,【技法点拨】解决与球有关的组合体问题的解题技巧 (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.,提醒：解决该类问题，关键是作出截面图形，使相关元素尽可能多地落在截面图形内.,类型 三 有关球的切、接问题 试着解答下列与球的切、接有关的题目,总结常见的几何体与球的切、接问题的解决策略. 1.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,该球的表面积为( ) A.3a2 B.6a2 C.2a2 D.24a2 2.一个半球内切于圆锥,半球的底面在圆锥底面内. 求证：圆锥侧面积与半球面面积之比等于圆锥体积与半球体积之比.,【解题指南】1.长方体的体对角线等于其外接球的直径. 2.设出圆锥的底面半径,母线长及球的半径,分别表示出面积和体积,计算其比值判断即可.,【解析】1.选B.由长方体的长,宽,高分别为2a,a,a，则长方 体的体对角线为 与外接球的直径相等，故 2R= a,S球=4R2=6a2. 2.设圆锥的底面半径为R，球半径为r,圆锥的母线长为l,则 S圆锥侧= 2Rl,S半球=2r2,V圆锥= R2 V半球= r3,S圆锥侧S半球= V圆锥V半球= 所以 S圆锥侧S半球=V圆锥V半球.,【互动探究】若题1中的长方体改为“三棱锥的三条侧棱两两 垂直，且其长为2a,a,a”，能由本例1的解法得到此三棱锥的 外接球的体积吗？ 【解析】能.由题意，此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的 侧棱为棱的长方体的外接球相同，故,【技法点拨】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等. (2)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.,(3)具体解题流程,【拓展延伸】与球有关的组合体中的数量关系 (1)长方体内接于球： (R为球的半径，a,b,c为 长方体的长、宽、高). (2)正方体内接于球：2R= a(R为球的半径，a为正方体的棱 长). (3)球内切于正方体：2R=a(R为球的半径，a为正方体的棱长). (4)球与正方体的每条棱都相切：2R= a(R为球的半径，a为 正方体的棱长).,【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为( ) 【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 ,外接球 半径为 所以半径之比为1 = 3.,1.如果两个球的表面积之比为49,那么这两个球的体积之比为( ) A.827 B.23 C.49 D.29 【解析】选A.因为S1S2=49,所以r1r2=23, 所以V1V2=827.,2.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选B.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,再用表面积公式求出表面积即可.所以表面积是412=4,应选B.,3.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半 径为_. 【解析】设球的半径为R,由 所以R3. 答案：3,4. 已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等 于_. 【解析】由已知可求得球的半径r=2，由2r= a，得正方体 的棱长 答案：,5.将一个铁球投入底面半径为4 cm的圆柱形容器中，球被淹