2017届中考数学一轮专题复习第11讲反比例函数精讲精练浙教版.docx

反比例函数考点一、反比例函数的图象与性质【例1】反比例函数y的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_ 方法总结 1.由于双曲线自变量的取值范围是x0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化而变化的情况2反比例函数图象的分布取决于k的符号，当k0时，图象在第一、三象限，当k0时，图象在第二、四象限举一反三 在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x10x2，y1y2，则m的取值范围是（）Am Bm Cm Dm考点二、反比例函数解析式的确定【例2】如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标是（10，0），双曲线经过点C，且OBAC=160，则k的值为（）A40 B48 C64 D80方法总结 反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值举一反三 如图，已知A （4，n），B （2，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点； （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；（3）求不等式的解集（请直接写出答案）考点三、反比例函数的比例系数k的几何意义【例3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且ABx轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 方法总结 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S|k|.举一反三 如图，反比例函数y=（x0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E （1）证明：OCE与OAD面积相等；（2）若CE：EB=1：2，求BD：BA的值；（3）若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式考点四、反比例函数的综合应用 【例4】阅读理解：对于任意正实数a，b，0，a+b0，a+b2，只有点a=b时，等号成立结论：在a+b2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b，只有当a=b时，a+b有最小值2根据上述内容，回答下列问题：（1）若m0，只有当m= 时，m+有最小值 ；（2）思考验证：如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）过点C作CDAB，垂足为D，AD=a，DB=b试根据图形验证a+b，并指出等号成立时的条件；探索应用：如图2，已知A（3，0），B（0，4）P为双曲线上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状方法总结 此题利用了正数中倒数等于它本身的正数只有1解决问题在后面的问题中注意使用圆中所给线段所在三角形的相似以及特殊四边形的面积的求法所以在利用反比例函数性质来解决相应问题时也一定要结合已知条件及相似，圆等相关知识点来分析题目。举一反三 如图，直线y=与双曲线y=（k0，x0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k0，x0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（）A3 B6 C D1、 选择题1函数的自变量满足时，函数值满足，则这个函数可以是（ ）A. B. C. D. 2对于反比例函数，如果当时有最大值，则当8时，有（ ）A最小值= B最小值 C最大值= D最大值3如果点A（4，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是( )【Ay1y3y2 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y14.设函数y=（k0，x0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（）ABCD5如图，RtOAB的顶点与坐标原点重合，AOB=90，AO=3BO，当A点在反比例函数y=（x0）图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式是（）Ay=（x0）By=（x0）Cy=（x0）Dy=（x0）2、 填空题1反比例函数y=，当y3时，x的取值范围是 2.一反比例函数的图象经过第一象限的点A，ABy轴于点B，O为坐标原点，ABO的面积为2，则此反比例函数的解析式为 3已知直线与双曲线相交于点（，那么它们的另一个交点坐标是 .4.如图， RtABC的斜边AB经过坐标原点，两直角边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 的图象上，若点A 的纵坐标为，若点B 的横坐标为2，则k的值为 . 5在平面直角坐标系中，等腰直角OAB的直角边OB和正方形BCEF的一边BC都在x轴的正半轴上，函数y=（k0）的图象过点A，E若BC=1，则k的值等于 6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP若反比例函数y=的图象经过点Q，则k= 7如图，一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=（x0）的图象交于点P，PAx轴于点A，PBy轴于点B，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点C，点D且OA=OB，=，则m=，= 三、解答题1如图，一次函数y1=x+2的图象与反比例函数y2=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，已知tanBOC=（1）求反比例函数的解析式（2）当y1=y2时，求x的取值范围2在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（m, n），点B（2 ，1），且n1，过点B作y轴的垂线，垂足为C,若ABC的面积为2，求点A的坐标. 3平面直角坐标系中，点A在函数y1（x0）的图象上，点B在y2（x0）的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b：（1）当|a|b|5时，求OAB的面积；（2）当ABx轴时，求OAB的面积； （3）当OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值. 4. （1）先求解下列两题：如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知EDM=84，求A的度数；如图，在直角坐标系中，点A在轴正半轴上，AC轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求的值。（2） 解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出。 5在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x1）的图象交于点A（1，k）和点B（1，k）（1）当k=2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值6如图，一次函数的图象与反比例函数y1=（x0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别交于B、C两点，且C（4，0），当x1时，一次函数值大于反比例函数值；当1x0时，一次函数值小于反比例函数值（1）求一次函数解析式；（2）设函数y2=（x0）的图象与y1=（x0）的图象关于y轴对称，在y2=（x0）的图象上取一点P（P点横坐标大于4），过P作PQx轴，垂足为Q，若四边形BCQP的面积等于8，求PQ长度7我们知道，的图象向右平移1个单位得到y=x-1的图象，类似的，的图象向左平移2个单位得到的图象。请运用这一知识解决问题。如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a0）的图象l相交于点A（1，m）和点B（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n0）个单位长度，得到的图象分别记为C1和l1，已知图象C1经过点M（3，2）分别写出平移后的两个图象C1和l1对应的函数关系式；直接写出不等式的解集8如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（1，5），C（，d）两点【出处：21教育名师】（1）求k，b的值；（2）设点P（m，n）是一次函数的图象上的动点当点P在线段AB（不与A，B重合）上运动时，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D，求出PAD面积的最大值 若在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，直接写出实数m的取值范围 1某反比例函数的图象经过点(1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是()A(3,2) B(3,2) C(2,3) D(6,1)2函数y=（m2m）是反比例函数，则（）Am0 Bm0且m1 Cm=2 Dm=1或23定义新运算：ab=例如：45=，4（5）=则函数y=2x（x0）的图象大致是（）ABCD4如图，ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）若函数y=在第一象限内的图象与ABC有交点，则k的取值范围是（）A2k B6k10 C2k6 D2k5已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y的图象上的三点，且x1x20，x30，则y1，y2，y3的大小关系是()Ay3y1y2 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y2y16类比二次函数图象的平移，把双曲线y=向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为（）A B C D7已知点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（1，1）的一个动点，则+=（）A2 B1 C D8如图，在平面直角坐标系中，AOB=90，OAB=30，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）Am=3n Bm=n Cm=n Dm=n9如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC若四边形ODBE的面积为6，则k=10如图，已知直线y=x与双曲线y=（k0）交于A、B两点，点B的坐标为（4，2），C为双曲线y=（k0）上一点，且在第一象限内，若AOC的面积为6，则点C的坐标为 11如图，M为双曲线y=上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=x+m于D、C两点，若直线y=x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B则ADBC的值为 12 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）若反比例函数y=（x0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F设直线EF的解析式为y=k2x+b（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b0的解集13 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2= 相交于A、B点已知点A的坐标为A（4，n），BDx轴于点D，且SBDO=4过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；（2）结合图象，求出当k3x+bk1x时x的取值范围14.我们规定：形如的函数叫做“奇特函数”当a=b=0时，“奇特函数”就是反比例函数（1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点求这个“奇特函数”的解析式；把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到中所得“奇特函数”的图象过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标15.平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为P，即P=|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点A（1，3），B（+2，2）的勾股值A、B；（2）点M在反比例函数y=的图象上，且M=4，求点M的坐标；（3）求满足条件N=3的所有点N围成的图形的面积答案【例1】解析：函数的图象在第一、三象限，m10，m1.举一反三 B解：x10x2时，y1y2，反比例函数图象在第一，三象限，13m0，解得：m【例2】B解：四边形OABC是菱形，OB与AC为两条对角线，且OBAC=160，菱形OABC的面积为80，即OACD=80，OA=OC=10，CD=8，在RtOCD中，OC=10，CD=8，根据勾股定理得：OD=6，即C（6，8），则k的值为48故选B举一反三 解：（1）B（2，4）在y=上，m=8反比例函数的解析式为y=点A（4，n）在y=上，n=2A（4，2）y=kx+b经过A（4，2），B（2，4），解之得一次函数的解析式为y=x2（2）C是直线AB与x轴的交点，当y=0时，x=2点C（2，0）OC=2SAOB=SACO+SBCO=22+24=6（3）不等式的解集为：4x0或x2【例3】2解：过A点作AEy轴，垂足为E，点A在双曲线上，四边形AEOD的面积为1，点B在双曲线y=上，且ABx轴，四边形BEOC的面积为3，矩形ABCD的面积为31=2故答案为：2举一反三 解：（1）四边形OABC为矩形，BCOC，BAOA，D、E在反比例函数的图象上，SOCE=SOAD=，OCE与OAD面积相等；（2）CE：EB=1：2，设点E的坐标为（m，n），则点B的坐标为（3m，n）设点D坐标为（3m，y），E（m，n），D（3m，y）均在反比例函数y=（x0）的图象上，k=mn=3my，解得y=nDA=n，BD=BADA=n，BD：BA=n：n=2：3（3）设M点坐标为（a，b），则k=ab，即y=，点M为矩形OABC对角线的交点，A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，又点D、点E在反比例函数y=的图象上，D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，S矩形OABC=SOAD+SOCE+S四边形ODBE，2a2b=2ab+2ba+6，ab=2，k=2考点四、反比例函数的综合应用 【例4】解：（1）关键题意得m=1，最小值为2；（2）AB是O的直径，ACBC，又CDAB，CAD=BCD=90B，RtCADRtBCD，CD2=ADDB，CD=，若点D与O不重合，连OC，在RtOCD中，OCCD，若点D与O重合时，OC=CD，综上所述，即a+b2，当CD等于半径时，等号成立；探索应用：设P（x，），则C（x，0），D（0，），CA=x+3，DB=+4，S四边形ABCD=CADB=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12，x0，0，x+2=6，只有当x=，即x=3时，等号成立S26+12=24，S四边形ABCD有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，四边形ABCD是菱形举一反三 D解：将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，平移后直线的解析式为y=x+4，分别过点A、B作ADx轴，BEx轴，CFBE于点F，设A（3x，x），OA=3BC，BCOA，CFx轴，BCFAOD，CF=OD，点B在直线y=x+4上，B（x，x+4），点A、B在双曲线y=上，3xx=x（x+4），解得x=1，k=311=故选：D一、选择题1 A 2 A 3 B 4. D 5A解：设B点坐标满足的函数解析式是y=，过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，ACO=BDO=90，AOC+OAC=90，AOB=90，AOC+BOD=90，BOD=OAC，AOCOBD，SAOC：SBOD=（）2，AO=3BO，SAOC：SBOD=9，SAOC=OCAC=9=，SBOD=ODBD=|k|，k=1，设B点坐标满足的函数解析式是y=二、填空题1x1或x02.y=3( ，2)4. 7 解：BC与y轴交于点D，AC与x轴交于点E，如图，设C（a，b），点A的纵坐标为，若点B的横坐标为2，BD=2，AE=，BOD=A，RtBODRtOAE，BD：OE=OD：AE，即2：a=b：，ab=7，C（a，b）在反比例函数的图象上，k=ab=75解：设OB=AB=a，则OC=a+1，即A点的坐标为（a，a），E点的坐标为（a+1，1），把A、E的坐标代入函数解析式得：所以a=，a为正数，a=，k=+1=，故答案为：6.2+2或22解：点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，t=2，P（1.2），OP=，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OPQ（1+，2）或（1，2）反比例函数y=的图象经过点Q，2=或2=，解得k=2+2或22故答案为2+2或227解：一次函数y=kx+1的图象交y轴于点D，令x=0，得y=1，点D的坐标为（0，1）；设OC=a，则CA=2OC=2a，OA=3a=OB，P（3a，3a）OCBP，DOCDBP，=，即=，a=，P（2，2）反比例函数y=（x0）的图象过点P，m=2（2）=4；=故答案为4；三、解答题1解：（1）tanBOC=，OD=2BD，设B（2m，m），代入y1=x+2得m=2m+2，解得m=2，B（4，2），k=24=8，反比例函数的解析式为y=；（2）解=x+2得x=2或x=4，故当y1=y2时，x的取值为2或42解：B（2，1），BC=2，ABC的面积为2，2（n1）=2，解得：n=3，B（2，1），k=2，反比例函数解析式为：y=，n=3时，m=，点A的坐标为（，3）3解：（1）a0，b0，当|a|=|b|=5时，可得A（5，），B（5，），SOAB=10=2；（2）如图1，设A（a，），B（b，），当ABx轴时，=，a=b，SOAB=（ab）=2a=2；（3）设A（a，），B（b，），OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB由OA2=a2+（）2，OB2=b2+（）2，a2+（）2=b2+（）2，整理得：（ a2b2）（1）=0AB与x轴不平行，|a|b|，1=0，ab=2a0，b0，ab0ab=24. 解：（1）AB=BC=CD=DE，A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED，根据三角形的外角性质，A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM，又EDM=84，A+3A=84，解得，A=21；点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，点B（3，），BC=2，点C（3，+2），ACx轴，点D在AC上，且横坐标为1，D（1，+2），点D也在反比例函数图象上，+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法（开放题）5解：（1）当时， 在反比例函数图像上 设反比例函数为， 代入A点坐标可得 （2）要使得反比例函数与二次函数都是随着的增大而增大， 而对于二次函数，其对称轴为，要使二次函数满足上述条件，在的情况下，则必须在对称轴的左边，即时，才能使得随着的增大而增大 综上所述，则，且（3）由(2)可得(图为一种可能的情况) 是以AB为斜边的直角三角形 点与点关于原点对称，所以原点平分 又直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半 作， 而，则，或6解：（1）在y=中，令x=1，解得：y=6，A的坐标是（1，6），设直线AC的解析式是：y=kx+b，将A（1，6），C（4，0）代入得：，解得：，则一次函数的解析式是：y=x+；（2）函数y2=（x0）的图象与y1=（x0）的图象关于y轴对称，函数y2=（x0）的解析式是：y=，在y=x+中，令x=0，解得：y=，则OB=，SOBC=4=，设P的纵坐标是a，则横坐标是，则OQ=，PQ=a，S梯形OBPQ=（a+），则（a+）=8，解得：a=，则PQ=7解：（1）m=2,点B的坐标为（-1，-2），a=2 （2） 不等式为：结合图像知解集为8解:（1）将点B 的坐标代入，得 ，解得c=5反比例函数解析式为将点C（，d）的坐标代入，得 C（，2）一次函数的图象经过B（1，5）、C（，2）两点， ，解得（2）点P（m，n）是一次函数的图象上的动点令y=0，即2x3=0，解得x= A（，0）由题意，点P（m，n）在线段AB 上运动（不含A、B）.设P（，n）DPx轴，且点D在的图象上，yD=yP=n，xD=，即D（，n）PAD的面积为S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值.又n =2m3，1m，得0n5，而0n=5 当n=时，即P（）时，PAD的面积S最大，为.实数m的取值范围为m1或1m (写成m且m1也对)1A2C3D解：由题意得：y=2x=，当x0时，反比例函数y=在第一象限，当x0时，反比例函数y=在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合故选：D4AA2kB6k10C2k6D2k解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，k2随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=x+7，得x27x+k=0根据0，得k综上可知2k5A6A7 B解：点P（a，b）是反比例函数y=图象上异于点（1，1）的一个动点，ab=1，+=+=1故选：B8AAm=3n Bm=n Cm=n Dm=n解：过点B作BEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F，OAB=30，OA=OB，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），则OE=a，BE=，OF=b，AF=，BOE+OBE=90，AOF+BOE=90，OBE=AOF，又BEO=OFA=90，BOEOAF，=，即=，解得：m=ab，n=，故可得：m=3n故选A93解：连接OB，如图所示：四边形OABC是矩形，OAD=OCE=DBE=90，OAB的面积=OBC的面积，D、E在反比例函数y=（x0）的图象上，OAD的面积=OCE的面积，OBD的面积=OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，BE=2EC，OCE的面积=OBE的面积=，k=3；故答案为：310（2，4）或（8，1）解：点B（4，2）在双曲线y=上，=2，k=8，根据中心对称性，点A、B关于原点对称，所以，A（4，2），如图，过点A作AEx轴于E，过点C作CFx轴于F，设点C的坐标为（a，），若SAOC=SCOF+S梯形ACFESAOE，=8+（2+）（4a）8，=4+4，=，AOC的面积为6，=6，整理得，a2+6a16=0，解得a1=2，a2=8（舍去），=4，点C的坐标为（2，4）若SAOC=SAOE+S梯形ACFESCOF=，=6，解得：a=8或a=2（舍去）点C的坐标为（8，1）故答案为：（2，4）或（8，1）1