西南交通大学研究数值分析上机实习报告2012.doc

数值分析上机实习报告要求1应提交一份完整的实习报告。具体要求如下：（1）要有封面，封面上要标明姓名、学号、专业和联系电话；（2）要有序言，说明所用语言及简要优、特点，说明选用的考量；（3）要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作到信息简明而完全；（4）要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会；（5）尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注，指明该部分的功能和作用。2程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。3认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。4拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。5报告打印后按要求的时间提交给任课老师。上机实习必须在规定的时间内完成，可要求在考前或考后一个星期内提交。不合格者和不交者不通过数值分析2012年上机试题 1. 已知：a=-5,b=5, 以下是某函数 f(x)的一些点（xk,yk）, 其中xk=a+0.1(k-1) ,k=1,.,101xk=a+0.1k,请用插值类方法给出函数f(x)的一个解决方案和具体结果。并通过实验考虑下列问题实验前分析：所给的节点一共有101个，用Lagrange插值发最高可以做次数100的插值多项式做低次插值是需要进行分组，间插值区域分成互不重叠的区间。分组时须按区间位置高低的顺序依次划分，有可能最后余下的区间节点数不足够做n次的Lagrange插值多项式，需要特殊处理。分完组后在分得的区间套用插值公式得到：,那么最后的插值多项式是分段的多项式：实验结果：下面列出其中某些次的插值多项式的系数10.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.5000 8.2083 53.866 177.62 289.37 189.48 -0.2500 -3.7500 -22.254 -64.297 -94.672 -54.2046.6667 76.792 351.44 798.62 896.04 397.66 -37.833 -336.08 -1177.9 -2027.1 -1707.0 -558.15 125.50 792.17 1935.5 2261.1 1239.2 248.96 -284.00 -1071.1 -1458.3 -829.80 -166.75 -6.1346 427.33 536.08 25.083 -131.88 0.0694 10.000 -427.33 536.08 -25.083 -131.88 -0.0694 10.000 284.00 -1071.1 1458.3 -829.80 166.74 -6.1346 -125.50 792.17 -1935.5 2261.1 -1239.2 248.96 37.833 -336.08 1177.9 -2027.1 1707.0 -558.15 -6.6667 76.792 -351.44 798.62 -896.04 397.66 0.2500 -3.7500 22.254 -64.298 94.672 -54.204 -0.5000 8.2083 -53.867 177.63 -289.37 189.48 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 (1) Ln(x)的次数n越高，逼近f(x)的程度越好？答：不是，比如时当时只在内收敛，在这区间外是发散的。(2) 高次插值收敛性如何？答：高阶倒数存在时，高次插值是收敛的，但不一定(3) 如何选择等距插值多项式次数 ？答：等距插值采用牛顿插值公式，可以选用牛顿前插公式或牛顿后插公式(4) 若要精度增高，你有什么想法？ 比如一定用插值吗？答：提高精度可以用分段插值的方法，另外不一定非得用插值，也可以用逼近的方法。(5) 逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？答：逼近函数不用插值方式，可以用比原函数计算简单且函数值很接近的新函数来代替。(6) 函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？答：函数之间的误差用范数来衡量。(7) 如何比较好的使用插值多项式呢？答：xk = Columns 1 through 7 -5.0000 -4.9000 -4.8000 -4.7000 -4.6000 -4.5000 -4.4000 Columns 8 through 14 -4.3000 -4.2000 -4.1000 -4.0000 -3.9000 -3.8000 -3.7000 Columns 15 through 21 -3.6000 -3.5000 -3.4000 -3.3000 -3.2000 -3.1000 -3.0000 Columns 22 through 28 -2.9000 -2.8000 -2.7000 -2.6000 -2.5000 -2.4000 -2.3000 Columns 29 through 35 -2.2000 -2.1000 -2.0000 -1.9000 -1.8000 -1.7000 -1.6000 Columns 36 through 42 -1.5000 -1.4000 -1.3000 -1.2000 -1.1000 -1.0000 -0.9000 Columns 43 through 49 -0.8000 -0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000 -0.3000 -0.2000 Columns 50 through 56 -0.1000 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 Columns 57 through 63 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 Columns 64 through 70 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 Columns 71 through 77 2.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 Columns 78 through 84 2.7000 2.8000 2.9000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 Columns 85 through 91 3.4000 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 Columns 92 through 98 4.1000 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.7000 Columns 99 through 101 4.8000 4.9000 5.0000y(xk)=yk= Columns 1 through 7 25.0000 24.0100 23.0400 22.0900 21.1600 20.2500 19.3600 Columns 8 through 14 18.4900 17.6400 16.8100 16.0000 15.2100 14.4400 13.6900 Columns 15 through 21 12.9600 12.2500 11.5600 10.8899 10.2397 9.6093 8.9991 Columns 22 through 28 8.4092 7.8405 7.2941 6.7705 6.2693 5.7866 5.3144 Columns 29 through 35 4.8403 4.3522 3.8463 3.3402 2.8832 2.5554 2.4475 Columns 36 through 42 2.6154 3.0219 3.4920 3.7149 3.3232 2.0435 -0.1277 Columns 43 through 49 -2.8066 -5.2470 -6.5469 -5.9893 -3.3862 0.7365 5.2312 Columns 50 through 56 8.6985 10.0000 8.6985 5.2312 0.7365 -3.3862 -5.9893 Columns 57 through 63 -6.5469 -5.2470 -2.8066 -0.1277 2.0435 3.3232 3.7149 Columns 64 through 70 3.4920 3.0219 2.6154 2.4475 2.5554 2.8832 3.3402 Columns 71 through 77 3.8463 4.3522 4.8403 5.3144 5.7866 6.2693 6.7705 Columns 78 through 84 7.2941 7.8405 8.4092 8.9991 9.6093 10.2397 10.8899 Columns 85 through 91 11.5600 12.2500 12.9600 13.6900 14.4400 15.2100 16.0000 Columns 92 through 98 16.8100 17.6400 18.4900 19.3600 20.2500 21.1600 22.0900 Columns 99 through 101 23.0400 24.0100 25.00002. 松弛因子对SOR法收敛速度的影响。用SOR法求解方程组Ax=b,其中要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, .,1.9进行迭代，记录近似解x(k)达到|x(k)-x(k-1)|10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w0或w2会有什么影响？2.1分析和检验题意分析：设置不同的w取值，通过求线性组Ax=b,的数值解来考察松弛因子对SOR法收敛速度的影响。此方程是三对角矩阵，SOR方法迭代时对于任一分量，可以不必用所有分量都依次迭代，只需用临近的若干个即可，从而减少计算量。现在先以8阶方程为例，来测试问题：1、在同样的初始迭代解下，调用一次SOR算法，对不同松弛因子SOR算法的迭代次数如下表：w1.11.21.31.41.51.61.71.81.9迭代次数1113161822314367141调用1000次时，平均每次迭代次数如下w1.11.21.31.41.51.61.71.81.9平均迭代次数10.612.815.618.522.931.442.567.7140.9由上表可以看出w=1.1时SOR方法收敛速度最快，w越大（从1.1到1.9的范围内）收敛越慢。2、不同阶数的方程平均迭代次数如下：w阶数1.11.21.31.41.51.61.71.81.947.73710.41413.3817.44121.99329.64141.53365.329137.615810.66512.87715.68818.55922.91431.47842.53967.707140.9751211.9314.5717.74621.54825.36231.39345.51369.293142.641612.25415.07218.63623.08828.39333.95144.73770.377143.987由此可见，对于各阶的方程也是w=1.1时 SOR方法收敛速度最快；阶数较大的，收敛速度较慢。3、w0或w2时SOR方法收敛情况w0或w2时SOR方法迭代不收敛，迭代500步后的误差：w-1.1-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3Error2.10E+2421.28E+2261.25E+2091.59E+1912.09E+1722.16E+1521.25E+1312.65E+1081.23E+84w2.12.22.32.42.52.62.72.82.9Error2.07E+212.07E+406.90E+571.08E+741.61E+891.99E+1038.32E+1161.83E+1291.63E+1413 用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y/=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。注：此方程的精确解为：y=e-20x3.2实验分析标准4阶Runge-Kutta法计算公式如下：针对