克氏法则教学课件PPT.ppt

1704年7月31日生于日内瓦. 1752年1月 4日卒於法国塞兹河畔巴尼奥勒. 早年在日内瓦读书, 1724年起在日内瓦加尔文学院任教, 1734年成为几何学教授, 1750年任哲学教授.,为了确定经过 5 个点的一般二次曲线的系数, 他应用了著名的克莱姆法则, 即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式. 但该法则是1729年由英国数学家马克劳林得到, 1748年发表, 但克莱姆的优越符号使之广为流传.,他一生未婚, 专心治学, 平易近人且德高望重, 先後当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员.,他首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念, 第一 次正式引入坐标系的纵轴( y 轴), 然後讨论曲线变换, 并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类.,他自1727年进行为期两年的旅 行访学. 与约翰. 伯努利、欧拉等人学习交流, 结为挚 友. 後又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家, 回国後在与他们的长期通信 中, 加强了数学家之间的联系, 为数学宝库也留下大量有价值的文献.,克莱姆,(cramer, gabriel ),若在右端把 换成 :,= ?,按第 j 行展开,= 0,行列式中任意行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零 .,推论,即,代数余子式的重要性质,可理解为一个行列式按第 j 行的展开式,第 j行元素 ?, j 行,例1(p20例9),计算 n 阶行列式,按第一列展开,性质 行列式按行(列)展开 行列式的计算,50 按某行可拆为两个的和;,均可化为 三角行列式,复习, 特殊行列式 一般地,六条,20 互换两行变号; 30 可提取某行公因子; 60 某行的k 倍加到另一行上值不变.,10 转置值不变;,40 有两行成比例值为0;,对角、三角 行列式,每行之和相等的(对称)行列式,奇数阶反对称行列式,结合性质降阶,建立递推公式,余子式,代数余子式,数字行列式 低阶字母行列式 n 阶数字或字母行列式,范德蒙行列式,对行成立的对列亦然, 共 项的乘积(后列减前列) .,例2(p20例10),注意两点：,(1) 形式,(2) 结果,同类因子的乘积,用数学归纳法证,对于范德蒙行列式,我们的任务就是：利用它计算行列式,证明范德蒙德(vandermonde)行列式,自上向下按升幂排列,形成等比数列；,牢记其形式和结果,你能识别出范德蒙行列式吗？,你会用范德蒙行列式的结果做题吗？,如,“自上向下”同于“自左向右”!,范德蒙行列式？,范德蒙行列式 有几种形式?,一般地?,范德蒙,1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法.,(a-t.vandermonde,1735-1796),法国数学家.,他是第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人.,范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士.,特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.,就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人.,行列式练习：,1.,关于x 的 4 次多项式,2.,-2,0,-28,计算各个余子式，再求和,按第 1 行展开, -x 的 余子式为 x 的二次方,3. 求,解法一,解法二,0,解法三,加边法、升阶法,x = 1 时, 原式 = 0；,全加到 c1上,第n+1列加到第n 列, 第 2n 列加到第1列.,解法一(参见 p152 例8),解法二,4. 计算,(按第一行展开),记住这类解法!,三对角 行列式,5.,建立递推公式,引例 二元一次方程组的解,3 克莱姆法则,考虑方程组,与二元方程组类似,n 元方程组的解也可用行列式表示.,(1),则(1)有唯一解,其中,克拉默法则,若(1)的系数行列式,且,要证明这一定理, 需证明两点:,2) 解惟一,分析：,(唯一性);,即只需证：dn+1 =,据此构造 n+1 阶行列式,i = 1 :,只需证明,上式等价于,证 1),往证:,是(1)的解.,= 0,1) 方程组(1)有解,(存在性);,n +1个 n 阶 行列式的代数和,这 n 个式子均成立.,将其按第一行展开, 得:,类似可证 i =2, , n,干脆抛开其计算公式, 仅保留其理论价值，,2) 证解是惟一的:,克氏法则并不实用,要计算n +1 个 n 阶行列式,但它仍具有极为重要的理论价值,根的存在性和唯一性,即有下述结论,则其系数行列 式必为零.,零解,则它只有 惟一零解.,定义 称方程组,为齐次线性方程组.,总有 解,定理4,定理5 若齐次线性方程组的系数行列式 d0,定理5 ,判定行列式为零的充分条件,逆否命题,零解,若方程组(1)无解,在第四章将证明,非零解？,若方程组(1)的系数行列式不为零, 则它有唯一解.,定理4 ,或有两个不同的解,若齐次线性方程组有非零解,故当 = 2, 5, 8 时，方程组有非零解.,若方程组有非零解,例1 (p27 例12),解,则其系数行列式为零,即,有惟一零解.,例2 证明方程组,证,故方程组有惟一零解.,按定义展开, 仅主对角线上元素的 乘积为奇数, 其余的乘积均为偶数,奇数与偶数的代数和,(其中 aij 都是整数),因其系数行列式为,例3(p27例13),设曲线,通过四点,求系数,解,把四个点的坐标分别代入所给方程，,得线性方程组,其系数行列式:,范德蒙行列式,由定理4 ,据克莱姆法则,所求曲线方程为,d 0 有非零解.,有唯一解.,小结,1. 代数余子式的性质 2. 克莱姆法则,若(1)无解或有两不同的解, 则其系数行列式 d 必为零,若(2)有非零解，则其系数行列式 d = 0,若(2)的系数行列式 d0 , 则它有唯一零解,若(1)的系数行列式 d0 , 则它有唯一解,( i = 1, 2, n ),(1),(2),( i = 1, 2, n ),非齐次线性组,齐次线性组,本章学习要求,1. 了解全排列的逆序数、奇偶性，对换的性质.,2. 理解并掌握n阶行列式的定义