浙江专用高中数学第一章集合与函数概念新人教版.docx

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修11.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义目标定位1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自 主 预 习1.元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合.(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(4)集合的相等：构成两集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.2.元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素.(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合.3.元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.4.常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或 NZQR温馨提示：注意正整数集比自然数集中少一个元素“0”.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.()(2)一个集合可以表示成a，a，b，c，.()(3)若集合A是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则1和0都不是集合A中的元素.()提示(1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A只有元素1，2，3，4，5，6，没有1和0.正确.答案(1)(2)(3)2.下列各组对象：高中数学中所有难题；所有偶数；平面上到定点O距离等于5的点的全体；全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析、中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.答案B3.下列关系正确的是()0N；Q；R；2Z.A. B. C. D.解析正确，0是自然数，0N；不正确，是无理数，Q；不正确，是实数，R；不正确，2是整数，2Z.答案D4.若1A，且集合A与集合B相等，则1_B(填“”“”).解析集合A与集合B相等，则A、B两集合的元素完全相同，又1A，故1B.答案类型一集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是()A.著名的中国数学家B.北京四中2015级新生C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B，C，D中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合.答案A规律方法判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】 判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；(3)方程x240在实数范围内的解；(4)的近似值的全体.解(1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合.(3)方程x240在实数范围内的解有两个，即2，故能组成一个集合.(4)“的近似值”不明确精确到哪一位，因此很难判定一个数(比如2)是不是它的近似值，故不能组成一个集合.类型二元素与集合的关系【例2】(1)(2016泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是()R；Q；0N*；|4|N*.A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2016连云港高一检测)集中A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_.解析(1)由R(实数集)、Q(有理数集)、N*(正整数集)的含义知，正确，不正确.(2)由N，则6是3x的正整数倍，所以3x1，2，3，6.又xN，x0，1，2.答案(1)C(2)0，1，2规律方法(1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：直接法(当集合中元素直接给出时)，推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.【训练2】 设不等式2x30的解集为M，下列表示正确的是()A.0M，2M B.0M，2MC.0M，2M D.0M，2M解析因为20330.所以2是不等式2x30的解集中元素，2M.答案B类型三集合中元素的特性及应用(互动探究)【例3】已知集合A中含有两个元素a1，a21，且0A，则实数a的值为_.思路探究探究点一a1，a21是A中的两个元素，揭示二者满足什么关系？提示根据集合元素的互异性，a1a21.探究点二0A，与A中的两元素a1，a21间有什么关系？提示根据元素与集合间的从属关系，应有a10或a210.解因为0A，所以0a1或0a21.当0a1时，a1，此时a210，A中元素重复，不符合题意.当a210时，a1，a1(舍)，所以a1.此时，A2，0，符合题意.答案1规律方法(1)由于A中含有两个元素，0A，本题以0是否等于a1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.【迁移探究1】(变换条件) 本例若将集合A中元素“a1”“a21”改为“a3和2a1”，“0A”改为“3A”，则实数a的取值是什么？解3A，3a3或32a1，若3a3，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意.若32a1，则a1，此时集合A含有两个元素4，3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0A”，其他条件不变，试求实数a的取值.解由集合元素的互异性，a1a21，所以a2a20，即(a2)(a1)0，因此a2且a1.课堂小结1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足aA，要么满足aA，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号和的两点说明(1)符号和刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是()A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA的篮球明星解析A、C、D中对象不具有确定性，不能构成集合.答案B2.若以方程x22x30和x2x20的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析因为方程x22x30的解是x11，x23，方程x2x20的解是x31，x42.所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1，2，3，共有3个元素.答案C3.已知集合A中只含有一个元素1，若|b|A，则b_.解析由题意可知|b|1，b1.答案14.已知集合M有两个元素3和a1，且4M，求实数a的值.解M中有两个元素，3和a1，且4M，4a1，解得a3.即实数a的值为3.基 础 过 关1.下列各对象可以组成集合的是()A.中国著名的科学家B.感动中国2016十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合.答案B2.由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是()A.0 B.2 C.8 D.2解析根据集合中元素的互异性，验证可知x的取值可以是8.答案C3.下列正确的命题的个数有()1N；N*；Q；2R；Z.A.1 B.2 C.3 D.4解析1是自然数，1N，故正确；不是正整数，N*，故不正确；是有理数，Q，故正确；2是实数，2R，所以不正确；2是整数，Z，故不正确.答案B4.方程x23x40的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则ab_.解析方程x23x30的两根分别是1和4，由题意可知，ab3.答案35.(2016成都高一检测)已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.解析因为xN，且2x3与集合t|t3表示同一个集合.()(3)集合A(1，2)，(0，3)中共有4个元素.()提示(1)不能，因为花括号“”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A是由坐标平面上的点构成的集合，A中只有2个元素.答案(1)(2)(3)2.已知Ax|33x0，则有()A.3A B.1A C.0A D.1A解析Ax|33x0x|x0，y0，故第一象限的点组成的集合可表示为(x，y)|x0，y0.答案x0，y0类型一用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x4)2(x2)0的根组成的集合；(3)一次函数yx1与yx的图象的交点组成的集合.解(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为1，2，3，4，6，12；(2)方程(x4)2(x2)0的根是4，2，所求集合为4，2；(3)方程组的解是所求集合为.规律方法1.本例(2)在求解中易出现4，4，2的错误表示；本例(3)在求解时易出现的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集(x，y)，而非数集x，y.【训练1】用列举法表示下列集合：(1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x(x21)0的所有实数根组成的集合；(3)直线yx与y2x1的交点组成的集合.解(1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为2，4，6，8.(2)方程x(x21)0的根为0，1，所求集合为0，1，1.(3)方程组的解是所求集合为(1，1).类型二用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)使y有意义的实数x的集合；(2)函数yax2bxc(a0)的图象上所有点的集合；(3)方程x2(m2)xm10(mZ)的解集.解(1)要使y有意义，则x2x60，即x2且x3，故可写成xR|x2且x3.(2)易知集合可写成(x，y)|yax2bxc，a0，xR.(3)易知集合可写成x|x2(m2)xm10，mZ，xR.规律方法1.描述法表示集合的两个步骤：写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面.2.描述法表示集合，注意三点：所有描述的内容都要写在花括号内.例如，xZ|x2k，kZ；不能出现未被说明的字母；在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认xR.【训练2】 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x22x1的实数x组成的集合；(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；(3)所有正奇数组成的集合.解(1)x|3x22x1x|x1.(2)(x，y)|xy0，且x，yR.(3)x|x2k1，kN*.类型三集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f(x)x2axb(a，bR)，AxR|f(x)x0，BxR|f(x)ax0，若A1，3，试用列举法表示集合B.思路探究探究点一如何利用条件首先确定函数f(x)的解析式？提示根据A1，3，进而由根与系数的关系确定f(x)x0中的a，b.探究点二怎样用列举法表示出集合B?提示解出方程f(x)ax0的实根，确定集合B.解f(x)x0，即x2(a1)xb0，又集合A1，3，由根与系数的关系得所以所以f(x)x23x3.f(x)ax0，亦即x26x30，解得x32.因此Bx|x26x3032，32.规律方法1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合AxR|ax23x20，若集合A中有两个元素，求实数a取值范围的集合.解若A中有两个元素，则一元二次方程ax23x20有两个不等的实根，所以解得a，且a0.因此实数a取值范围的集合为.课堂小结1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合x|3x3，xN用列举法表示应是()A.1，2，3 B.0，1，2，3C.2，1，0，1，2 D.3，2，1，0，1，2，3解析由3x3，xN，x0，1，2，3，则B0，1，2，3.答案B2.集合(x，y)|y2x3表示()A.方程y2x3B.点(x，y)C.函数y2x3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析集合(x，y)|y2x3的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y2x3，因此集合表示的是满足关系式y2x1的点组成的集合.答案C3.设A4，a，B2，ab，若集合A与集合B相等，则ab_.解析由于4，a2，ab，所以a2且ab4，从而a2，且b2，所以ab4.答案44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合Px|x2n，0n2，且nN；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P0，2，4.(2)可用列举法表示为6，9，12；也可用描述法表示为x|x3n，4x15，且nN.基 础 过 关1.方程组的解集是()A.x1，y1 B.1C.(1，1) D.(1，1)解析方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.答案C2.下列各组集合中，表示同一集合的是()A.M(3，2)，N(2，3)B.M3，2，N2，3C.M(x，y)|xy1，Ny|xy1D.M(3，2)，N3，2解析A中集合M，N表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C中集合M表示直线xy1上的点，而集合N表示直线xy1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合.答案B3.由大于3且小于11的偶数组成的集合是()A.x|3x11，xQB.x|3x11，xRC.x|3x11，x2k，kND.x|3x11，x2k，kZ解析x|x2k，kZ表示所有偶数组成的集合.由3x11及x2k，kZ，可限定集合中元素.答案D4.点(2，11)与集合(x，y)|yx9之间的关系为_.解析1129，(2，11)(x，y)|yx9.答案(2，11)(x，y)|yx95.下列集合中，不同于另外三个集合的是_.x|x1；y|(y1)20；x1；1解析由集合的含义知x|x1y|(y1)201，而集合x1表示由方程x1组成的集合，所以答案为.答案6.用描述法表示下列集合：(1)由方程x(x22x3)0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线yx4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.解(1)用描述法表示为x|x(x22x3)0.(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为xQ|2x6.(3)用描述法表示该集合为(x，y)|yx4，xN，yN.7.用列举法表示集合A(x，y)|yx2，1x1，且xZ.解由1x1且xZ，得x1，0，1，当x1时，y1，当x0时，y0，当x1时，y1，A(1，1)，(0，0)，(1，1).8.设集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ，若aA，bB，试判断ab与集合A，B的关系.解因为aA，则a2k1(k1Z)；bB，则b2k21(k2Z)，所以ab2(k1k2)1.又k1k2为整数，2(k1k2)为偶数，故2(k1k2)1必为奇数，所以abB且abA.能 力 提 升9.集合A(x，y)|xy1，xN，yN中元素的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析xN，yN，且xy1，当x0时，y0或1；当x1时，y0.故A(0，0)，(0，1)，(1，0).答案C10.(2016德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.2x0且2y0B.(x，y)|2x0且2y0C.(x，y)|2x0且2y0D.(x，y)|2x0或2y0解析由阴影知，2x0且2y0，集合(x，y)|2x0，且2y0表示阴影部分点的集合.答案B11.已知集合A(x，y)|y2x1，B(x，y)|yx3，aA，且aB，则a为_.解析集合A，B都表示直线上点的集合，aA表示a是直线y2x1上的点，aB表示a是直线yx3上的点，所以a是直线y2x1与yx3的交点，即a为(2，5).答案(2，5)12.下列命题中正确的是_(只填序号).0与0表示同一集合；由1，2，3组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1；方程(x1)2(x2)0的所有解的集合可表示为1，1，2；集合x|2x0，b0时，2；当a0，b0，b0或a0时，0.故所有的值组成的集合为2，0，2.探 究 创 新14.(2014福建高考改编)若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a，b，c，d).解若只有对，即a1，则b1不正确，所以b1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)；若只有对，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2集合间的基本关系目标定位1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自 主 预 习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集AB或BA真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，称集合A是集合B的真子集AB和BA温馨提示：(1)若AB，则A中的元素是B中的元素的一部分或是B的全部.(2)注意“”与“”有什么区别：“”表示元素与集合之间的关系，而“”表示集合与集合之间的关系.2.集合相等若AB且BA，则集合AB.3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(2)空集用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而0，都为集合，其中0是包含一个元素0的集合，为不含任何元素的集合，为含有一个元素的集合.4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)空集是任何集合的真子集.()(2)集合0，1的子集是0，1，0，1.()(3)已知AB，A1，2，3，Bx，y，3，则x1，y2.()(4)对于集合A，B，C，由AB，BC，可得AC.()提示(1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，也是集合0，1的子集.(3)错，x1，y2或x2，y1.(4)对，由集合的包含关系可得.答案(1)(2)(3)(4)2.集合1，2的真子集有()A.4个 B.3个C.2个 D.1个解析集合1，2的真子集有，1，2共3个.答案B3.设集合Mx|x1，则下列选项正确的是()A.0M B.0MC.M D.0M解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案A4.已知集合A2，9，集合B1m，9，且AB，则实数m_.解析因为AB，所以1m2，所以m1.答案1类型一有限集合的子集问题【例1】 已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，试写出A的所有子集.解A(x，y)|xy2，x，yN，A(0，2)，(1，1)，(2，0).A的子集有：，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0).规律方法1.本题在求解中，常因没把握住集合A的含义而把集合A表达为0，1，2，究其原因是没有看清集合A的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素依次类推，按规律书写.(2)一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个.【训练1】 已知集合A1，2，Bx|xA，求集合B.解由题意可知，集合B的元素是集合A的所有真子集，故B，1，2.类型二集合间关系的判断【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是()00；0；0，1(0，1)；(a，b)(b，a)A.1 B.2 C.3 D.4(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba等于()A.1 B.1 C.2 D.2解析(1)对于，集合0中含有1个元素0，所以00正确；对于，由于空集是任何非空集合的真子集，所以0正确；对于，0，1是数集，(0，1)是点集，所以错误；对于，(a，b)与(b，a)是不同的点集，所以错误.(2)因为a0，所以ab0，所以1，所以b1，a1.故ba2.故选C.答案(1)B(2)C规律方法(1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.【训练2】 集合Ax|x2x60，Bx|2x70，试判断集合A和B的关系.解A3，2，B.3，2，3B，2B，AB，又0B，但0A，AB.类型三由集合间关系求参数问题(互动探究)【例3】已知集合Ax|2x5，Bx|m6x2m1，若BA，求实数m的取值范围.思路探究探究点一BA，集合B是否满足B？提示不能，因为集合B中的元素不确定，有B和B两种情况. 探究点二若B，BA，m应满足什么条件？提示根据子集定义，m应满足解(1)B时，有m62m1，则m5，此时BA成立.(2)当B时，BA，此时满足不等式组解集为.由(1)(2)知，实数m的取值范围是m|m5.规律方法1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“BA”改为“AB”，其他条件不变，求m的取值范围.解由AB题设条件，所以解得故3m4.所以m的取值范围是m|3m4.【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“Ax|2x5”改为“Ax|x5”，其余条件不变，求实数m的取值范围.解(1)当B时，m62m1，则m5，此时满足条件BA.(2)当B时，BA，则或解之得5m11.综合(1)，(2)知，实数m取值的范围.课堂小结1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法.(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集中元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.1.已知M1，0，1，Nx|x2x0，则能表示M，N之间关系的Venn图是()解析因为M1，0，1，N0，1，所以NM.答案C2.下列四个集合中，是空集的是()A.x|x33 B.(x，y)|y2x2，x，yRC.x|x20 D.x|x2x10，xR解析x2x10，没有实根，集合x|x2x10，xR.答案D3.集合Ax|1x4，xN的真子集的个数为_.解析可知A1，2，3，其真子集为：，1，2，3，1，2，1，3，2，3共7个.答案74.设集合Ax|x2xa0，若A，求实数a的取值范围.解x|x2xa0.x|x2xa0.即x2xa0有实根.(1)24a0，得a.所以实数a的取值范围是.基 础 过 关1.下列集合中，不是集合0，1的真子集的是()A. B.0 C.1 D.0，1解析任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集.答案D2.集合Px|x210，T2，1，0，1，2，则P与T的关系为()A.PT B.PTC.PT D.PT解析由x210，得x1，所以P1，1.因此PT.答案D3.已知集合A0，1，2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A.6 B.5 C.4 D.3解析集合0，1，2的子集为：，0，1，2，0，1，0，2，1，2，0，1，2，其中含有偶数的集合有6个.答案A4.设aR，若集合3，51a，5，则a_.解析3，51a，5，1a3，a2.答案25.(2016湖南长郡中学模块检测)已知集合Ax|a，当A为非空集合时a的取值范围是_.解析A为非空集合时，方程a有实数根，所以a0.答案0，)6.若集合1，2M1，2，3，4，试写出满足条件的所有集合M.解由1，2m，知1，2M，又M1，2，3，4，因此集合M中可以有2个或3个元素，故满足条件的M可以为1，2，1，2，3，1，2，4.7.已知集合Ax|2x4，Bx|ax3a.若AB，求a的取值范围.解AB，B，画出数轴如图所示：故解得a2.所以实数a的取值范围是.8.已知集合A2，Bx|ax10，aR，BA，求a的值.解BA，A，B或B.当B时，方程ax10无解，此时a0.当B时，此时a0，B，A，即有2，得a.综上所述，a0或a.能 力 提 升9.下列说法中正确的是()若AB，则AB；若AB，则AB；若AB，则AB；若AB，则AB.A. B. C. D.解析不正确，如1，21，2，但1，21，2不成立；不正确，如11，2，但二者不相等.正确.答案C10.已知集合MxZ|1xm，若集合M有4个子集，则实数m()A.1 B.2 C.3 D.4解析由于M有4个子集，所以M中一定有2个元素.又MxZ|1xm，所以m2，此时M1，2恰好有4个子集.答案B11.设集合Mx|2x25x30，Nx|mx1，若NM，则实数m的取值集合为_.解析集合M.若NM，则N3或或.于是当N3时，m；当N时，m2；当N时，m0.所以m的取值集合为.答案12.已知集合A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合C满足：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，其各元素都减2后，就变为B的一个子集，则集合C_.解析本题可逆向操作，A中元素都减2，得0，2，4，6，7，B中的元素都加2，得3，4，5，7，10，因为C中的元素同时在这两个集合中，所以C4或7或4，7.答案4或7或4，713.设集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA，求实数m的取值范围.解BA，分为两种情况：当B时，满足BA，此时m12m1，解得m2.当B时，有解得1m2.综上可得m的取值范围是m|m1.探 究 创 新14.已知集合Ax|(a1)x22x10，且集合A有且仅有两个子集，求实数a的值以及对应的两个子集.解根据题意可知集合A中只含有一个元素.(1)当a1时，Ax|2x10，此时集合A的两个子集为，；(2)当a1时，则44(a1)0，解得a2，此时集合A的两