江苏省13市2017届高三数学上学期考试试题分类汇编导数及其应用.docx

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知两曲线，相交于点P若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数的值为 2、（盐城市2017届高三上学期期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 3、（盐城市2017届高三上学期期中）已知为奇函数，当时，则曲线在处的切线斜率为 4、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。5、（扬州市2017届高三上学期期末）已知是函数两个相邻的极值点，且在处的导数，则 二、解答题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设函数，（）.（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：，）2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若，证明：函数有且只有一个零点；（3）若函数有两个零点，求实数a的取值范围3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）设函数，为正实数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求证：；（3）若函数有且只有个零点，求的值4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知函数（1）解关于的不等式；（2）证明：；（3）是否存在常数，使得对任意的恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知，定义（1）求函数的极值；（2）若，且存在使，求实数a的取值范围；（3）若，试讨论函数的零点个数6、（无锡市2017届高三上学期期末）已知 （1）当时，为增函数，求实数的取值范围；（2）若，设函数，求证：对任意，恒成立.7、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数.（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值；（3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.8、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数。（1）若函数的图象在处的切线经过点，求的值；（2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由；（2）设0，求证：函数既有极大值，又有极小值。9、（扬州市2017届高三上学期期末）已知函数，其中函数，（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数在上的最大值；（3）当时，对于给定的正整数，问函数是否有零点？请说明理由（参考数据）10、（镇江市2017届高三上学期期末）已知函数，（为常数）（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；（2）若，且，证明：；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围参考答案一、填空题1、2、3、4、5、二、解答题1、解：（1）当时，方程即为，去分母，得，解得或， 2分故所求方程的根为或. 4分（2）因为，所以（）， 6分当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，解得.综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为. 10分（3）方法一：当时，所以单调递增，所以存在唯一，使得，即， 12分当时，当时，所以，记函数，则在上单调递增， 14分所以，即，由，且为整数，得，所以存在整数满足题意，且的最小值为. .16分 方法二：当时，所以，由得，当时，不等式有解， 12分下证：当时，恒成立，即证恒成立.显然当时，不等式恒成立，只需证明当时，恒成立.即证明.令，所以，由，得， 14分当，；当，；所以.所以当时，恒成立.综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为. .16分2、【解】（1）当时，所以，（x0） 2分令，得，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以当时，有最小值4分（2）由，得所以当时，函数在上单调递减，所以当时，函数在上最多有一个零点6分因为当时，所以当时，函数在上有零点综上，当时，函数有且只有一个零点 8分（3）解法一：由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点因为函数有两个零点，所以 9分由，得，令因为，所以函数在上只有一个零点，设为当时，；当时，所以函数在上单调递减；在上单调递增要使得函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即又因为，所以，又因为函数在上是增函数，且，所以，得 又由，得，所以 13分以下验证当时，函数有两个零点当时，所以 因为，且所以函数在上有一个零点 又因为（因为），且所以函数在上有一个零点所以当时，函数在内有两个零点 综上，实数a的取值范围为 16分下面证明： 设，所以，（x0）令，得当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以当时，有最小值所以，得成立 解法二：由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点因为函数有两个零点，所以 9分由，得关于x的方程，（x0）有两个不等的实数解又因为，所以，（x0）因为x0时，所以又当时，即关于x的方程有且只有一个实数解所以 13分（以下解法同解法1）3、（1）当时，则，2分所以，又，所以曲线在点处的切线方程为4分 （2）因为，设函数，则， 6分令，得，列表如下：极大值所以的极大值为所以8分（3），令，得，因为，所以在上单调增，在上单调减所以10分设，因为函数只有1个零点，而，所以是函数的唯一零点当时，有且只有个零点，此时，解得12分下证，当时，的零点不唯一若，则，此时，即，则由（2）知，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；若，则，此时，即，则同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意因此，所以的值为16分4、（1）当时，所以的解集为；当时，若，则的解集为；若，则的解集为综上所述，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为 4分（2）设，则令，得，列表如下：极小值所以函数的最小值为，所以，即8分（3）假设存在常数，使得对任意的恒成立，即对任意的恒成立而当时，所以，所以，则，所以恒成立，当时，所以式在上不恒成立；当时，则，即，所以，则12分令，则，令，得，当时，在上单调增；当时，在上单调减所以的最大值所以恒成立所以存在，符合题意16分5、解：（1）函数， 1分令,得或，列表如下：0+-+极大值极小值的极大值为，极小值为 3分（2），存在使，在上有解，即在上有解，即不等式在上有解， 4分设，对恒成立，在上单调递减，当时，的最大值为4，即 7分（3）由（1）知，在上的最小值为，当，即时，在上恒成立，在上无零点 8分当，即时，又，在上有一个零点 9分当，即时，设，在上单调递减，又，存在唯一的，使得当时，且为减函数，又，在上有一个零点；当时，且为增函数，在上有一个零点；从而在上有两个零点 15分综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点 16分6、7、解：（1），,设切点横坐标为，则 2分消去，得，故，得 4分（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，则，得,舍去; 5分当时，在上恒成立，在上单调递减，则，得,舍去; 6分当时，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减， 则，得, 8分设,则当时，,单调递减，当时,单调递增，故,的解为.综上，. 10分（3）方程可化为，令，故原方程可化为， 12分由（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根，即方程（）在上有且仅有唯一实数根， 13分当，即时，方程（）的实数根为，满足题意；当，即时，方程（）有两个不等实数根，记为不妨设）若代入方程（）得，得或，当时方程（）的两根为，符合题意；当时方程（）的两根为，不合题意，舍去；）若设，则，得；综合，实数的取值范围为或. 16分8、解：（1） , 函数在处的切线方程为：，又直线过点，解得： 2分（2）若，当时，恒成立，函数在上无极值；当时，恒成立，函数在上无极值； 方法（一）在上，若在处取得符合条件的极大值，则，5分则，由（3）得：，代入（2）得： ，结合（1）可解得：，再由得：，设，则，当时，即是增函数，所以，又，故当极大值为正数时，从而不存在负整数满足条件 8分方法（二）在时，令，则 为负整数 在上单调减又， ，使得 5分且时，即；时，即；在处取得极大值 （*）又代入（*）得：不存在负整数满足条件 8分（3）设，则，因为，所以，当时，单调递增；当时，单调递减；故至多两个零点又，所以存在，使再由在上单调递增知，当时，故，单调递减；当时，故，单调递增；所以函数在处取得极小值 12分 当时，且，所以，函数是关于的二次函数，必存在负实数，使，又，故在上存在，使，再由在上单调递减知，当时，故，单调递增；当时，故，单调递减；所以函数在处取得极大值 综上，函数既有极大值，又有极小值 16分9、解：(1) ，故， 所以切线方程为，即 -3分（2）， 故，令，得或. 当,即时，在上递减，在上递增，所以, 由于，故，所以; -5分当,即时，在上递增，上递减，在上递增，所以，由于，故，-7分所以;综上得， -8分（3）结论：当时，函数无零点；当时，函数有零点 -9分理由如下：当时，实际上可以证明：方法一：直接证明的最小值大于0，可以借助虚零点处理，显然可证在上递增，因为，所以存在，使得，所以当时，递减；当时，递增，所以，其中，而递减，所以，所以，所以命题得证。 -14分 方法二：转化为证明，下面分别研究左右两个函数令，则可求得，令，则可求得，所以命题得证。-14分方法三：先放缩，再证明可先证明不等式（参考第1小题，过程略），所以只要证，令，则可求得，所以命题得证 -14分当时， 此时，下面证明，可借助结论处理，首先证明结论：令，则，故，所以在上递增，所以，所以在上递增，所以，得证。借助结论得，所以，又因为函数连续，所以在上有零点 - -16分10、解：（1），则且. 1分所以函数在处的切线方程为：， 2分从而，即. 4分（2）由题意知：设函数，则. 5分设，从