江苏专用高考数学复习附加题必做部分第2讲计数原理数学归纳法随机变量及其分布列练习理.docx

专题七 附加题（必做部分）第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列练习 理1.(2014江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.X4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X4)；X3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X3)；于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P因此随机变量X的数学期望E(X)234.2.(2016苏北四市调研)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(Xk)(k1，2，3，4).所以随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.3.(2015南通调研)记1，2，n满足下列性质T的排列a1，a2，an的个数为f(n)(n2，nN*).性质T：排列a1，a2，an中有且只有一个aiai1(i1，2，n1).(1)求f(3)；(2)求f(n).解(1)当n3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i1，2，3，使得aiai1的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以f(3)4.(2)在1，2，n的所有排列(a1，a2，an)中，若ain(1in1)，从n1个数1，2，3，n1中选i1个数按从小到大顺序排列为a1，a2，ai1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为C.若ann，则满足题意的排列个数为f(n1).综上，f(n)f(n1)Cf(n1)2n11.从而f(n)(n3)f(3)2nn1.4.(2016苏、锡、常、镇、宿调研)在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是345？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且nr3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.(1)解存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k0，1，2，n组成.若第n行中有三个相邻的数之比为345，则，即3n7k3，4n9k5，解得k27，n62.即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为345.(2)证明若有n，r(nr3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2CCC，2CCC，即，所以，整理得n2(4r5)n4r(r2)20，n2(4r9)n4(r1)(r3)20.两式相减得n2r3，所以C，C，C，C成等差数列，由二项式系数的性质可知CCCC，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立.5.(2010江苏卷)已知ABC的三边长都是有理数.(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数.证明(1)设三边长分别为a，b，c，cos A，a，b，c是有理数，b2c2a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，必为有理数，cos A是有理数.(2)当n1时，显然cos A是有理数；当n2时，cos 2A2cos2A1，因为cos A是有理数，cos 2A也是有理数；假设当nk(k2)时，结论成立，即cos kA、cos(k1)A均是有理数.当nk1时，cos(k1)Acos kAcos Asin kAsin Acos kAcos Acos(kAA)cos(kAA)cos kAcos Acos(k1)Acos(k1)A解得：cos(k1)A2cos kAcos Acos(k1)Acos A，cos kA，cos(k1)A均是有理数，2cos kAcos Acos(k1)A是有理数，cos(k1)A是有理数.即当nk1时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n，cos nA是有理数.6.(2014江苏卷)已知函数f0(x)(x0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立.(1)解由已知，得f1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2，故2f1f21.(2)证明由已知，得xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin，类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin，4f3(x)xf4(x)sin xsin.下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立.()当n1时，由上可知等式成立.()假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x