高三数学复习立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离基丛点练理.docx

第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量法求直线与平面所成角2利用向量法求距离1综合应用3,4【教师备用】 (2016邢台摸底考试)如图,已知四棱锥PABCD的底面为菱形,BCD=120,AB=PC=2,AP=BP=.(1)求证:ABPC;(2)求二面角BPCD的余弦值.(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO,AC,因为APB为等腰三角形,所以POAB,又四边形ABCD是菱形,BCD=120,所以ACB是等边三角形,所以COAB.又COPO=O,所以AB平面PCO,又PC平面PCO,所以ABPC.(2)解:易求得PO=1,OC=,所以OP2+OC2=PC2,所以OPOC.以O为坐标原点,以OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),P(0,0, 1),D(,-2,0),=(,-1,0), =(,0,-1),=(0,2,0).设平面DCP的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,得所以n=(1,0,),设平面PCB的法向量m=(a,b,c),即令a=1,则b=c=,所以m=(1,),所以cos=,由图易知二面角BPCD的平面角为钝角.所以二面角BPCD的余弦值为-.1. (2016郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,PD底面ABCD,ADC=90,AD=2BC,Q为AD的中点,M为棱PC的中点.(1)证明PA平面BMQ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P到平面BMQ的距离.(1)证明:连接AC交BQ于N,连接MN,因为ADC=90,Q为AD的中点,所以N为AC的中点,又M为PC的中点,MN为PAC的中位线,故MNPA,又MN平面BMQ,所以PA平面BMQ. (2)解:以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),A(2,0, 0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1).所以=(0,-1,1), =(-1,1,1),=(-1,-1,1),设n=(x,y,z)是平面BQM的法向量,则n,n,所以即令z=1,则x=1,y=0,所以n=(1,0,1),则P点到平面BQM的距离为d=.2.(2015高考新课标全国卷) 如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos|=.所以AF与平面所成角的正弦值为.3. (2016贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解: (1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0, 2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos=,即=60,故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)因为AB=AC=2,ABAC,所以ABC=ACB=45,因为ADBC,所以DAC=ACB=45,又ADCD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C (0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则n,n,即n=0,n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,则n=(-1,1,1),|n|=.又AB平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos=-,所以二面角DPCA的平面角的余弦值为.4. (2015河南三市第三次调研)在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PB=PC=,BC=4,PA=m(m0).(1)当m为何值时,点A到平面PBC的距离最大,并求出最大值;(2)当点A到平面PBC的距离取得最大值时, 求二面角APBC的余弦值.解:(1)设D为BC的中点,连接AD,PD,因为PA平面ABC,所以PABC.在等腰三角形PBC中,因为BD=DC,所以BCPD,又因为PDPA=P,所以BC平面PAD,又因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PAD.在平面PAD中,过A作AMPD于M,则AM平面PBC.即AM为点A到平面PBC的距离.在PDB中,PD=3.在RtPAD中,AD=,且PAAD=PDAM,所以AM=,当且仅当m2=18-m2,即m=3时等号成立.故当m=3时,点A到平面PBC的距离最大,最大值为.(2)当m=3时,AD=3,过D作DEAP,以点D为坐标原点,分别以DA,DB,DE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系如图所示.则A(3,0,0),P(3,0,3),B(0,2