浙江专用高考数学复习专题六概率与随机变量及其分布第2讲随机变量及其分布列练习.docx

专题六 概率与随机变量及其分布 第2讲 随机变量及其分布列练习1.(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312解析3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率PP(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选A.答案A2.(2017合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)3，则D(X)等于()A. B. C. D.解析根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p，满足二项分布，则有E(X)np53，解得m2，那么D(X)np(1p)5.答案B3.(2016北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B.答案B4.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.则有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是()A. B. C. D.解析若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情况；若摸出的两球是2，6，也能获奖.故获奖的情形共6种，获奖的概率为.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C.答案B5.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1，2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1，2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1，2).则()A.p1p2，E(1)E(2) B.p1E(2)C.p1p2，E(1)E(2) D.p1p2，E(1)E(2)解析随机变量1，2的分布列如下：112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.答案A二、填空题6.(2016四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_.解析由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P1，2次独立试验成功次数X满足二项分布XB，则E(X)2.答案7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)，现定义数列anSn是其前n项和，则S53的概率是_.解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S53即5次试验中1发生一次，1发生四次.故其概率为C.答案8.(2017金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设表示命中的次数，若E()，则a_.解析可取值0，1，2，3.P(0)0.5(1a)(1a)0.5(1a)2；P(1)0.5(1a)(1a)20.5a(1a)0.5(1a2)；P(2)0.5a220.5a(1a)0.5a(2a)；P(3)0.5aa0.5a2.E()P(0)0P(1)1P(2)2P(3)3.即0.5(1a2)a(2a)1.5a2，解得a.答案三、解答题9.(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP 0.300.150.200.200.100.05E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.10.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与数学期望E(T)； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)250.2300.3350.4400.132(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.法一P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T230)0.210.310.40.90.10.50.91.法二P(A)P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09，故P(A)1P(A)0.91.11.(2016合肥二模)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：()顾客所获的奖励额为60元的概率；()顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.()依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.()依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)206040(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206