高等数学课程内容及基本要求.doc

高等数学课程内容及基本要求高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。通过本课程的学习，使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。高等数学是全校公共基础课，对于我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。课程内容及基本要求(一)函数、极限与连续(20学时)内容：函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。基本要求1深刻理解函数的定义，回球函数的定义域，会用函数对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系，了解隐函数与反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。2理解数列极限的定义和几何意义，知道收敛数列有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则及复合运算法则，会用极限存在的两个准则：夹逼准则与单调有界准则。3理解函数极限、左右极限定义，掌握两个重要极限，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。4理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。5理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，会辨别函数间断点的类型，了解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。重点：极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限,函数的连续性。难点：极限的定义，极限存在准则。（二）导数与微分（12学时）中值定理，罗必达法则，导数的应用。内容：导数概念及导数公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法则，高阶导数，函数的微分。基本要求1理解导数及左右导数的定义，知道函数可导性及连续性之间的关系，理解导数的及几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数描述一些物理量。2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，熟练应用基本求导公式和求导法则求一般函数的导数。3了解高阶导数的概念、求导法则，会求简单函数的阶导数，会求分段函数一阶、二阶导数。4理解微分的概念、微分与导数得关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。重点：导数的定义，初等函数导数的求法（一阶及二阶）。难点：复合函数求导法，高阶导数的求法(三)微分中值定理与导数的应用（16学时）内容：中值定理，罗必达法则，导数的应用。基本要求1理解并会用罗尔(Rolle)、拉格朗日(Lagrange)、柯西(Cauchy)、泰勒(Taylor)定理，2掌握洛必达法则求不定式极限的方法。3掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。4掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法及其方法。5会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘一些简单函数的图形。6了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则，用导数判断函数的单调性及极值。难点：泰勒定理。（四）一元函数积分学(28学时)上一页内容：不定积分、定积分的概念与性质，换元积分法、分部积分法，牛顿莱布尼兹公式，定积分的几何应用和物理应用，广义积分。基本要求1理解原函数与不定积分的概念与性质。2掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法。3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。4理解定积分的概念与性质。5会求变上限的积分的导数，掌握牛顿-莱布尼兹(N-L)公式。6掌握定积分的换元法、分部积分法，知道常用的定积分公式。7掌握用定积分表示和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值）。8了解广义积分的概念，会计算广义积分。重点：不定积分、定积分的换元积分法、分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式。难点：换元积分法。（五）向量代数与空间解析几何(14学时)内容：空间直角坐标系与向量的运算，空间直线与平面方程，空间曲线与曲面。基本要求理解空间直角坐标系、向量概念及其表示。2掌握向量的运算（线性运算、数量积与向量积）。3理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示式进行向量运算的方法。4掌握平面、直线方程及其求法。5会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6会求两点间、点到直线、点到平面的距离。7知道曲面的一般方程及其图形。8了解常用二次曲面的方程及其图形,会求转轴是坐标轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。9了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影,并会求其方程。重点：空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。难点：曲面方程。（六）多元函数微分学(20学时)基本内容：多元函数与极限，偏导数及其求导法则，全微分及其应用，微分法在的几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值、最大值与最小值。基本要求：1理解多元函数的概念及二元函数的几何意义,会求多元函数的定义域。2了解二元函数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质。3理解偏导数的概念及其几何意义，掌握一阶偏导数和高阶偏导数的求法，知道混合偏导数与求偏导数的顺序无关的条件。4理解全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变形。5掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。6理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。7了解空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念,会求其方程。8理解多元函数极值与条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件。了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,并会解一些简单的应用问题。重点：二元函数偏导数的概念，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，二元函数的极值，拉格朗日乘数法。难点：复合函数（特别是抽象函数）、隐函数的二阶偏导数求法，方向导数与梯度的概念，拉格朗日乘数法。（七）多元函数的积分(34学时)内容：二重、三重积分的概念、性质与计算，二重积分的应用。曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。基本要求1理解二重积分、三重积分的概念，了解二、三重积分的性质与积分中值定理。2掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法，会计算三重积分(直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系)。3会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形面积、立体体积、曲面面积、薄板或立体的质心、转动惯量、引力）。4理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者之间的关系，掌握两类曲线积分的计算法。5掌握格林(Green)公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，会解全微分方程。6了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的关系。7会用高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式计算曲面、曲线积分。8了解散度、旋度的概念，并会计算。9会用曲线、曲面积分计算曲线、曲面的质量、重心、转动惯量、引力、功、环流量及通量等。重点：二重积分和三重积分的计算方法，两类曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。难点：三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法。第二类曲线、曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式。（八）常微分方程(16学时)内容：微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶常系数线性微分方程基本要求1了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念2掌握变量可分离的方程和一阶线性微分方程的解法。3会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。4会用降阶法求解三类方程：。5理解线性微分方程解的性质和解的结构，知道求特解可用试探法（试探有无型特解）。6掌握常系数齐次线性微分方程通解解法。7会解或的常系数线性非齐次微分方程。8了解欧拉方程9会用微分方程解决一些简单的应用问题。重点：可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程解法，自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。难点：伯努利方程和全微分方程的解法，自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。（九）无穷级数(22学时)内容：常数项级数的概念及性质，常数项级数的审敛法。幂级数，函数展开成幂级数及应用，傅里叶级数。基本要求1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件。2掌握几何级数和级数的敛散性。3掌握正项级数的比较法、极限法、比值与根值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法。4了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛于收敛的关系。5了解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道幂级数的收敛半径、收敛区间，会用比值法、根值法求幂级数的收敛区间。6了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导与逐项求积，会求一些简单幂级数的和函数。7了解函数展开成幂级数的充分必要条件。掌握的麦克劳林级数展开式，会利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数。8