新随机变量及其分布

数学,理科,2012届高考数学第一轮复习,第十三单元 随机变量及其分布 第一节 离散型随机变量及其分布,1基本概念 (1)随机变量：随着试验结果 的量叫随机变 量，通常用字母X，Y，表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以 的随机变 量叫离散型随机变量,变化而变化,一一列出,(3) 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可 能的取值为x1，x2，xi，xn，X取每一个 值xi（i1,2, ,n）的概率P(Xxi)pi，则称表,为离散型随机变量X的 ，简称为 2离散型随机变量的基本性质,概率分布列,X的分布列,(1) pi0（i1,2, ,n） (2),3两点分布：如果随机变量X的分 布列为 则称X服从两点分布， 而称 为成功概率,pP(X1),4超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件， 其中恰有X件次品数，则事件Xk发生的概率为,k1,2, ,m,其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*， 称分布列,为 ，如果随机变量X的分布列为超几何 分布列，则称随机变量X ,超几何分布列,服从超几何分布,题型一 随机变量的的概念,【例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机 变量所表示的意义 (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个， 其中所含白球的个数 (2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的 最大值为Y,分析 (1)所取3个球中，可能有一个白球，也可能有 两个白球，还可能没没有白球 (2)投掷结果为(i，j)，其中1i6，1j6，i，jN*， 投掷结果用X，Y表示,解 (1) 可取0,1,2.0表示所取三球没有白球； 1表示所取三球是一个白球，两个黑球； 2表示所取三球是两个白球，一个黑球,(2)X的可能取值有2,3,4,5，12 Y的可能取值为1,2,3，6 若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数， 则X2表示(1,1)；X3表示(1,2)，(2,1)； X4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)； X12表示(6,6) Y1表示(1,1)；Y2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)； Y3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)； Y6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，(6,6)， (6,5)，(6,1),学后反思 研究随机变量的取值关键是准确理解所 定义的随机变量的含义，明确随机变量 所取的值对应的试验结果，是进一步求 随机变量取这个值时的概率的基础,1已知下列几个命题： 某机场候机室中一天的游客数量为X； 某寻呼台一天收到的寻呼次数为X； 某水文站观察到一天中长江的水位为X； 某立交桥一天经过的车辆数为X 其中不是离散型随机变量的是 A中的X B中的X C中的X D中的X,解析：中的随机变量X可能取的值，我们都可以 按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量； 中的X可以取某一区间内的一切埴，无法按一定次序 一一列出，故X不是离散型随机变量 答案：C,题型二 求离散型随机变量的分布列,【例2】已知甲盒中有大小相同的1个红球和3个黑球， 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现 从甲，乙两个盒内各任取2个球，设为取出 的4个球中红球的个数，求的分布列,分析 本题主要考查互斥事件，独立事件离散型随 机变量的分布列，考查运用概率知识解决实 际问题的能力,解 可能取的值为0,1,2,3，,的分布列是,学后反思 求概率分布（分布列）的一般步骤为： (1)确定X可取哪些值； (2)P(Xk)的确定（利用排列组合和等可能事件的 概率公式或互斥事件，对立事件的概率公式或相 互独立事件，独立重复试验的概率公式）； (3)列出分布列（一般用表格形式）； (4)检验分布列（用它的两条性质验算）,2一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以 X表示取出球的最大号码，求X的分布列,解析：随机变量X的可能取值为3,4,5,6,X的分布列是,题型三 分布列的性质及应用,【例3】若离散型随机变量X的分布列为,分析 利用分布列的两个性质求解,解 由离散型随机变量分布列的性质得,试求出常数c的值,学后反思 离散型随机变量的两个性质主要解决以 下两类问题： (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进 一步求得概率，得出分布列； (2)求对立事件的概率或判断某概率的成立与否,X的分布列为,3设随机变量X的分布列为,则k ,解析：由分布列的性质，知k2k4k2n-1k1，,答案：,由等比数列求和公式得,题型四 利用随机变量的分布列解决概率问题,【例4】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋 中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计 分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示 取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量的概率分布； (3)计分介于20分到40分之间的概率,分析 (1)是古典概型； (2)确定随机变量所取的值； (3)计分介于20分到40分之间的概率等于 3和4的概率之和,解 (1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互 不相同”的事件记为A，则,方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不 相同”的事件记为A，“一次取出的3个小 球上的有两个数字相同”的事件记为B， 则A，B为互斥事件,(2) 可能取的值为2,3,4,5,的概率分布列为,(3)“一次取球所得分介于20分到40分之间”的事件记为C， 则P(C)P(3或4)P(3)P(4),学后反思 把所求事件的概率转化为分布列中 的基本事件或由基本事件组成的事 件的概率问题是用公布列解决问题 的关键,4(2009北京模拟)在含有13张红心与12张梅花的25张扑 克牌中，任抽6张，若规定所抽梅花牌的数量为0时获等 奖，为1时获一等奖，为2时获二等奖，为3时获三等奖， 且仅设这4个奖项，求某人任抽6张时获奖的概率,解析：获奖就是到多抽取3张梅花，高抽取梅花的张数为X， 则X服从超几何分布，其中N25，M12，n6,故获奖的概率是 P(X3)P(X0)P(X1)P(X2)P(X3) 0.719,6设随机变量X只能取5,6,7,16这12个值，且取 第一个值的概率均相等，则P(X8) ,解析：由X取每一个值的概率都相等，均为,故P(X8),答案：,9(2009济南模拟)设随机变量的分布列,(k1,2,3,4,5),(3)求,(1)求常数a的值；(2)求,解析：(1)依题意，a2 a3 a4 a5 a1，故,(2),(3),10某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为,(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率 （用数字作答）； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率 （用数字作答）； (3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数， 求的分布列,，且各次射击的结果互不影响,解析：(1)记“射手射击一次，击中目标”为事件A， 射手在3次射击中，至少有两次连续击 中目标的概率为,(2) 射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率,(3) 依题意，“k”的概率为,故的分布列是,第二节 二项分布及其应用,1条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 设A、B为两个事件，且P（A）0，,(2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以,称P(B|A) ，为在事件A发生的条件下， 事件B发生的条件概率,借助古典概型概率公式，即P(B|A),(3)条件概率的性质 条件概率具有一般概率的性质，即 如果B和C是两个互斥事件，则 P（BC|A） ,0P(B|A)1,P(B|A)P(C|A),2事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P(AB) ， 则称事件A与事件B相互独立 3独立重复试验 (1)在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,P(A)P(B),(2)如果事件A和B相互独立，那么 与 ，,B,与 ， 与 也都相互独立,A,4二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X， 在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次 独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为,此时称随机变量X服从二项分布，记作 ， 并称p为成功概率,P(Xk) ， (k0,1,2，,n)，,XB(n，p),【例1】号箱中有个白球和个红球，号箱中 有个白球和个红球，现随机地从号箱 中取出一球放号箱，然后从号箱中随机 取出一球，问从号箱取出红球的概率是多少？,分析 从号箱取出红球，有两种互斥的情况： 一是当从号箱取出红球， 二是当从号箱取出白球.,解 从号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当 从号箱取出红球，二是当从号箱取出白球. 记事件A：最后从号箱中取出的是红球， 事件B：从号箱中取出的是红球，则,学后反思 求复杂事件的概率，可以把它分解为 若干个互不相容的简单事件，然后利用条件 概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率， 最后可利用概率的可加性，得到最终结果,1有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗 成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一 粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率,解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为 事件AB（发芽，又成活的幼苗），出芽 后的幼苗成活率为P(B|A)0.8，P(A)0.9，,由 得，,P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72，,故这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72,题型二 相互独立事件的概率,【例2】甲，乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成 功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功 与否相互之间没有影响，求： (1) 甲试跳三次，第三次才成功的概率； (2) 甲，乙两人在第一次试跳中至少有一人 成功的概率； (3) 甲，乙各试跳两次，甲比乙成功次数恰 好多一次的概率,分析 因为甲，乙两人试跳成功与否相互之间没有影 响，每人每次的试跳成功与否也不相互影响， 故应利用独立事件求概率的方法求解,解 (1)记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳 成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)0.7， P(Bi)0.6，且Ai，Bi相互独立，,(2) 记“甲，乙两人在第一次试跳中至少有一人成功” 为事件C，,彼此互斥，,方法一：,方法二：,(3)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi(i0，1，2)， “乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i0，1，2)， 则事件“甲，乙各试跳两次，甲比乙成功次数恰好 多一次”可表示为M1N0M2N1，且M1N0，M2N1为 互斥事件， P(M1N0M2N1)P(M1N0)+P(M2N1) P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1),学后反思 (1)用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： 用恰当字母表示题中有关事件； 根据题设条件，分析事件间的关系； 将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积 或若干个乘积之和（相互乘积的事件之间必须 满足相互独立）； 利用乘法公式计算概率 (2)两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发 生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般 地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互 斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是 以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同 时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这 一点与互斥事件的概率和也是不同的,2栽培甲，乙两种果树，先要培育成苗，然后再 进行移栽，已知甲，乙两种果树成苗的概率分 别是0.6，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7， 0.9 (1)求甲，乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； (2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率,解析：分别记甲，乙两种果树成苗为事件A1，A2； 分别记甲，乙两种果树移栽成活为事件B1，B2 则P(A1)0.6，P(A2)0.5，P(B1)0.7，P(B2)0.9 (1) 甲，乙两种果树至少有一种果树成苗的概率为,(2) 分别记甲，乙两种果树培育成苗且移栽成活为 事件A，B，则P(A)P(A1 B1)0.42， P(B)P(A2B2)0.45 恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率为,题型三 独立重复试验,【例3】甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是,(1)求甲射击次，至少有次未击中目标的概率； (2)求两人各射击次，甲恰好击中目标次且乙 恰好击中目标次的概率； (3)假设某人连续次未击中目标，则中止其射击， 问：乙恰好射击次后，被中止射击的概率是多少？,，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,分析 (1)至少一次未击中，包括情况多，可求其 对立事件的概率； (2)甲恰好击中目标次与乙恰好击中目标次相互独立； (3)乙恰好射击次被中止，相当于前次至少有一次击 中，第次击中，第次和第次未击中,解(1)记“甲连续射击次，至少有次未击中目标”为事件A1， 依题意得，射击次，相当于作次独立重复试验， 故甲射击次，至少有次未击中目标的概率是,(2) 记“甲射击次，恰有次击中目标”为事件A2， “乙射击次，恰有次击中目标”为事件B2，则,因为甲，乙射击相互独立，故两人各射击次， 甲恰好击中目标次且乙恰好击中目标次的概率是,(3) 记“乙恰好射击次后被中止射击”为事件A3， “乙第i次射击未击中”为事件Di(i1,2,3,4,5)，则,由于各事件相互独立，故乙恰好射击次后， 被中止射击的概率是,学后反思 (1)独立重复试验要从三方面考虑： 每次试验是在同样的条件下进行； 每次试验中的事件是相互独立的； 每次试验都只有两种结果，即事件要么发生， 要么不发生,(2)如果次试验中某事件发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的,概率为 对于此式可以这,样理解：由于次试验中事件A要么发生，要么 不发生，所以在n次独立重复试验中A恰好发生k 次，则在另外nk次中A没有发生，即 发生， 由P(A)P，P( )1P，所以上面的公式 恰为展开式中的第k1项，可见排列 组合，二项式定理及概率间存在着密切的联系,3甲，乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制，,，乙获胜的,若每局比赛中甲获胜的概率是,概率是 ，求比赛以甲三胜一负而结束的概率,解析：甲三胜一负即共进行四局比赛，前三局 甲二胜一负，第四局甲胜，所求概率为,题型四 综合应用,【例4】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中 有个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯,(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数， 求X的分布列； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率,的事件是相互独立的，并且概率都是 ,分析 (1)可看作次独立重复试验，X的取值为 0，1，2，3，4，5，6； (2)可通过求对立事件的概率解决,解 (1)将通过每个交通通岗看作一次试验，则,故X的分布列为,(2) 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为,学后反思 (1)解决概率问题要注意的“三个步骤”： 确定事件的性质。古典概型、互斥事件、 独立事件、独立重复试验把所给问题归 结为四类事件中的某一种； 判断事件的运算。和事件、积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分 别运用相加或相乘公式；,运用公式古典概型：,互斥事件：P(AB)P(A)P(B),条件概率： 独立事件：P(AB)P(A) P(B),n次独立重复试验：,(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： 是否为n次独立重复试验；随机变量是否为在 这n次独立重复试验中某事件发生的次数,4（2009新乡模拟）在某次世界杯上，巴西队遇,到每个对手，战胜对手的概率为 ，打平,对手的概率为 ，输的概率为 ，且获胜一场得分，打平一场得分，输一场得分，已知小组赛中每支球队需打三场比赛，获得分以上（含分）即可小组出线 (1)求巴西队小组赛结束后得分的概率； (2)求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小 组出线的概率,解析：(1) 巴西队小组赛结束后得分，即为一胜两平，,其概率是,(2)设为小组赛后巴西队的得分，则的可能取值为 0,1,2,3,4,5,6,7,9.,故小组赛后巴西队得分的分布列为,小组赛后巴西队小组出线的概率为,2XB(5，0.1)，则P(X2) （ ） A0.0729 B0.00856 C0.91845 D0.99144,解析：P(X2)P(X0)P(X1)P(X2),0.99144,答案：D,9在100件产品中有95件合格品，5件不合格品， 现从中不放回地取两次，每次任取1件，试求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不 合格品的概率,解析： 设“第一次取到不合格产品”为事件A，“第 二次取到不合格产品”为事件B，,(1),(2)方法一：第一次取走1件不合格品后，还剩99 件产品，其中有4件不合格品。于是第二次再次取,到不合格品的概率为,方法二：根据条件概率的定义计算，需要先求出 事件AB的概率，,10甲，乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标 的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，求,(1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率,解析：(1)X的可能取值为0，1，2，3， 且XB(3，0.5)，,X的分布列为,(2) 乙至多击中目标2次的概率为,(3)设“甲恰好比乙多击中目标2次”为事件A，“甲击 中目标2次且乙击中目标0次”为事件 ，“甲击中 目标3次且乙击中目标1次”为事件 ，A ， 且 ， 互斥，,P(A)P( )P( ),第三节 离散型随机变量的均值与方差,1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量的的分布列为,(1)均值,为随机变量的 或 ，,称,均值,数学期望,平均水平,它反映了离散型随机变量取值的 ,(2)方差,称,为随机变量的方差，,它刻画了随机变量与其均值EX的 ，,其 为随机变量的标准差，记作X,算术平方根,平均偏离程度,2均值与方差的性质,(1),(2),（a，b为实数）,3两点分布与二项分布的均值，方差,(1),(2),若服从两点分布，则EX ，DX ,若XB(n，p)，则EX ，DX ,p,np,P(1p),nP(1p),【例1】某公园有甲乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有两个 班的同学和个班的同学；乙景点有个班的 同学和个班的同学，后由于某种原因，甲乙景点 各有一个同学交换景点参观，求甲景点班同学数 的分布列及期望,题型一 求随机变量的均值,分析 所有可能的取值为1，2，3 .,解 设甲景点内班同学数为， 所有可能的取值为1，2，3 .则,的数学期望为,故的分布为,学后反思 求离散型随机变量的期望的步骤为： (1)理解的意义，写出的所有可能取的全部值； (2)计算出取每一个值时的概率；(3)写出的分布列； (4)利用公式 求出期望,1某次有奖竞猜活动设有，两组相互独立的问题， 答对问题可赢得奖金万元，答对问题可赢得 奖金万元规定答题顺序可任选，但只有一个问 题答对了才能解答下一个问题，否则中止答题假 设你答对，问题的概率依次为 和 ，若你按,先后的次序答题，写出你获得奖金的数额的 分布列及期望值E,解析：按先后的次序答题，你获得奖金的 数额的可能取值为0，3，9, 的分布列为,的数学期望为,题型二 求随机变量的方差,【例2】编号为1，2，3的三位学生随意入座编号 为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个 座位，设与座位编号相同的学生人数是， (1)求随机变量的概率分布； (2)求随机就量的数学期望与方差,分析 (1)随机变量的意义是对号入座的学生个数， 所有取值为0，1，3若有人对号入座， 则第人肯定对号入座由排列与等可能 事件概率易求分布列； (2)直接利用数学期望与方差公式求解,解 (1)X的所有可能取值为0，1，3则,，,(2)的数学期望为,的方差为,故的分布列为,学后反思 求离散型随机变量的方差的步骤： (1)写出的所有取值； (2)计算,(3)写出的分布列并求出期望EX； (4)由方差的定义求出DX,2设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个， 共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取 出次品的个数 (1)求X的分布列； (2)求X的均值EX和方差DX,解析：(1)的可能取值为0，1，2,则,，,(2)的数学期望为,的方差为,故的分布列为,题型三 期望与方差性质的应用,【例3】(2008海南宁夏)A、B两个投资项目的利润率 分别为随机变量X1和X2根据市场分析，X1和 X2的分布列分别为,（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表 示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2； （2）将x（0x100）万元投资A项目，100x万元投 资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投 资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值， 并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：D(aX + b) = a2DX）,分析 (1)根据题意，利用公式,求出随机变量Y1，Y2的分布列，进面而求出 方差DY1，DY2 (2)根据题意建立函数关系式，把把转化为二 次函数的最值问题,解 (1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为,（2）,当,时，,为最小值,学后反思 在计算离散型随机变量的均值和方差时， 首先要搞清其分布特征及分布列，然后 准确应用公式，特别是充分利用均值和 方差性质解题，能避免繁琐的运算过程， 提高运算速度和准确度,3若随机事件在次试验中发生的概率为p （0p1），用随机变量表示在次试 验中发生的次数 (1)求方差DX的最大值；,(2)求 的最大值,解析：(1) 随机变量的所有可能取值为0，1依题意，, 当 时，DX取得最大值,(2), 0p1，,当且仅当 ，即 时，取等号，,故当 时， 取得最大值,题型四 期望与方差综合应用,【例4】(2008广东) 随机抽取某厂的某种产品200件， 经质检，其中有一等品126件、二等品50件、 三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、 三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元， 而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单 位：万元）为 （1）求的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次 品率降为1%，一等品率提高为70%，如果 此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万 元，则三等品率最多是多少？,分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率,解 (1) 的所有可能取值有6，2，1，-2，则,故的分布列为：,（2）,（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的 平均利润为,依题意， ，即 ， 解得 ，所以三等品率最多为3%,学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识 的能力解决该类实际问题的关键是将 实际问题化为数学问题，利用已学的知 识进行处理，这也是今后高考的一大热点,4某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发 生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损 失现有甲乙两种相互独立的预防措施可供采用， 单独采用甲，乙预防措施所需的费用分别为45万 元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件 不发生的概率为0.9和0.85若预防方案允许甲， 乙两种预防措施单独使用，联合使用或不采用， 请确定哪种预防方案使总费用最少 （总费用采取预防措施的费用发生突发事件造 成损失的期望值）,解析：(1)不采取预防措施时，总费用即损失的期望为,(2)单独采用预防措施甲，发生突发事件的概率 为10.90.1，损失的期望值,(3) 单独采用预防措施乙，发生突发事件的概率 为10.850.15，损失的期望值为,(4) 若联合采用预防措施甲，乙，发生突发事件的 概率为（10.9）(10.85)0.015，损失的期 望值为 万元，总费用为45 30681万元；,故联合采用甲，乙两种预防措施，总费用最少,万元，总费用为454085万元；,万元，总费用为306090万元；,6随机变量的分布列如下： 其中a，b，c成等差数列，,，则D ,解析：由已知得,答案：,若E,9（2009天津模拟）某箱中有红球和白球若干， 有放回地抽取两次球，每次随机抽取个 球，假设事件：“取出的两个球中至多有 个是白球”的概率是P(A)0.91 (1)求从该箱中任取个球是白球的概率； (2)若该箱中共有100个球，从中任意抽取 个球，表示取出的个球中红球的个数， 求的分布列和数学期望,解析：(1)记表示事件“取出的两个球中无白球”， 表示事件“取出的两个球中恰好有个 是白球”，则，互斥，且， 故P（A）p（BC）P（B）P（C）,(2) 的可能取值为0，1，2，若该箱中共 有100个球，则白球有30个，红球有70个，,解得 p0.3,的数学期望为,故的分布列为,10（2008四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种 商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购 买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购 买商品也是相互独立的 （1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的 一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品 中的一种的概率； （3）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙 两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望,解析：（1）,（2）,（3）可取0，1，2，3,的分布列为,第四节 正态分布,1正态曲线的定义,（其中和(0)为参数）的图象为正态分布 密度曲线，简称正态曲线,，x(，),2正态分布,如果对于任何实数ab，随机变量X满足,P(aXb) ，则称X的分布是正态分布,3正态曲线的性质,正态曲线 ，xR有以下性质：,(1)曲线位于x轴 与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称；,上方,x,(3)曲线在 处达到峰值 ；,x,(4)曲线与x轴之间的面积为 ； (5)当一定时，曲线随着 的变化而沿x轴平移； (6)当一定时，曲线的形状由确定， ， 曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散,1,越小,越大,4正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(X) ； (2) P(2X2) ； (3) P(3X3) ,0.6826,0.9544,0.9974,53原则 (1) 3原则的含义,在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2) 的随机变量X只取 之间的值， 并简称之为3原则,（3，3）,(2)正态总体在（3，3）外取值的概率,正态总体几乎总取值于区间 之 内，而在此区间外取值的概率只有 ，通常认为 这种情况在一次试验中几乎不可能发生,（3，3）,0.0026,题型一 正态曲线,【例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，,且该函数的最大值为 ,(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态变量在(4，4的概率,分析 要确定一个正态分布的概率密度的解析式， 关键是求解析式中的两个参数，的值， 其中，决定曲线的对称轴的位置，则 与曲线形状和最大值有关,解 (1)依题意，图象关于y轴对称， 故0，,由 得，4，,故该正态分布的概率密度函数的解析式为,(2) P(4X4)P(X)0.6826,学后反思 (1)解决此类问题的关键是正确理解函数解 析式与正态曲线的关系，掌握函数解析 式中参数的取值变化对曲线的影响 (2)正态分布完全由参数和确定，其中 是随机变量取值的期望，可用样本均值去 估计，是随机变量取值的标准差，可以 用样本标准差去估计,1(2008安徽)设两个正态分布,和,的密度函数图像如图所示，则有（ ）,A B,C D.,解析：正态分布函数的图象关于x对称， D, 其大小表示变量的集中程度，越大，数据分布 越分散，曲线越“矮胖”；值越小，数据分布越集中， 曲线越“瘦高”， 答案：A,题型二 正态分布中的概率计算 【例2】设XN(4，1)，求P(5x6),分析 确定，的值，由正态曲线的对称 性及P(X)， P(2X2)的概率计算,解 由已知得，4，1， P(3X5)P(X)0.6826， P(2X6)P(2X2)0.9544， P(2X3) P(5X6) 0.95440.68260.2718， 由对称性得， P(2X3) P(5X6) 0.1359,学后反思 求服从正态分布的随机变量在某个取值区 间的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求总是 转化为已知概率的三个区间上，从而解决实际问题,解析： 5，1， P(2X2)0.9544， P(3X7)0.9544， P(X7)P(X3)10.95440.0456， 又P(X7)P(X3)， P(X7)0.0228,2设XN(5，1)，求P(X7),【例3】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布 N(4，)，问在一次正常的试验中，取1000个 零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零 件大约有多少个？,题型三 正态分布的应用,分析 求出X在区间(3，5)外取值的概率，便可估计 不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件个数,解 4， ，, P(X3) P(X5)1P(3X5) P(3X3) 0.99740.0026 0.003，10000.0033， 故不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有3个,学后反思 此类问题着重考查3原则，准确 记忆P(X)0.6826； P(2X2)0.9544； P(3X3)0.9974 是解决此类问题的关键,3商场经营的某种包装的大米质量服从正态 分布N(10，0.12)(单位：kg)，现有一袋这 种大米，质量在9.8kg10.2kg的概率是多少？,解析：设该种包装的大米质量为X， 则XN(10， )，10，0.1， P(9.8X10.2)P(2X2) 0.9544， 故这代大米质量在9.8kg10.2kg的概率是0.9544,【例4】(2009南京模拟)在某次大型考试中，某班同