浙江专用高考数学复习专题五解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题练习.docx

专题五 解析几何 第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题练习一、选择题1.已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.54 B.54C.53 D.53解析由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.答案B2.(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析由题意知M在双曲线C：y21上，又在x2y23内部，由得y，所以y0b0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，选D.答案D4.(2016四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1解析如图，由题可知F，设P点坐标为，显然，当y00时，kOM0时，kOM0，要求kOM最大值，不妨设y00.则()，kOM，当且仅当y2p2等号成立.故选C.答案C5.如图，F1，F2分别是双曲线C：1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C的离心率是()A. B.C. D.解析不妨设c1，则直线PQ：ybxb，两渐近线为yx，因此有交点P，Q，设PQ的中点为N，则点N的坐标为，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|F1F2|，所以点M的坐标为(3，0)，因此有kMN，所以34a2b21a2，所以a2，所以e.答案B二、填空题6.(2015浙江卷)已知实数x，y满足x2y21，则|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析因为实数x，y满足x2y21，则2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y3x4y10.令z3x4y10，则3x4y10z0.当直线3x4y10z0与圆x2y21相切时，z取最值，故1，z5 或z15，|2xy4|6x3y|的最大值为15.答案157.(2016浙江卷)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.答案(2，8)8.(2016深圳第二次调研)过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于_.解析由题意知直线AB的方程为yx，垂直线平分线方程为yx2，联立上面两直线方程得y1，x1，即AB的中点坐标为，设A，B，则，1p，p.答案三、解答题9.(2015全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.10.(2014全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1. 将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b 2 .11.已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.解(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)法一由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2，1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|，由|AB|，得，解得b23，故椭圆E的方程为1.法二由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2，依题意，点A，B关于圆心M(2，1)对称，且|AB|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2，x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y