江苏2018版高考数学复习坐标系与参数方程第2课时参数方程教师用书理苏教版.docx

第2课时参数方程1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)双曲线1 ，(a0，b0)(为参数)抛物线y22px (p0)(t为参数)1直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率解将直线l的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线l的斜率为3.2已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值解直线l1的方程为yx，斜率为；直线l2的方程为y2x1，斜率为2.l1与l2垂直，()(2)1k1.3已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值解将抛物线的参数方程化为普通方程为y24x，则焦点F(1,0)，准线方程为x1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知PF3(1)4.4(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解直线l的方程化为普通方程为xy0，椭圆C的方程化为普通方程为x21，联立方程组得解得或A(1,0)，B.故AB .题型一参数方程与普通方程的互化例1(2016全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，AB，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.AB|12|.由AB得cos2，tan .所以l的斜率为或.思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围(1)求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，求常数a的值解(1)将消去参数t得直线xy10；将消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想(2016扬州质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2cos()，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点(1)求圆心的极坐标；(2)求PAB面积的最大值解(1)由圆C的极坐标方程为2cos()，得22(cos sin )，把代入可得圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.圆心坐标为(1，1)，圆心的极坐标为(，)(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2xy10.圆心(1，1)到直线l的距离d，AB22.点P到直线l的距离的最大值为rd，Smax.1求直线(t为参数)被曲线(为参数)所截得的弦长解直线方程可化为xy0，曲线方程可化为x21.由得x2x0，x0或x1.可得交点为A(0，)，B(1,0)AB2.所截得的弦长为2.2(2016连云港质检)直线(t为参数)与圆(为参数)相切，求切线的倾斜角解直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，ba，而直线的倾斜角的正切值为tan ，tan ，因此切线的倾斜角为或.3(2016苏州模拟)已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程解直线l的直角坐标方程为xy0.原点到直线的距离r1.以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为1.4(2015湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为 (t为参数)，l与C相交于A，B两点，求AB的长解直线l的极坐标方程(sin 3cos )0化为直角坐标方程为3xy0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2x24，联立解得或所以A，B.所以AB 2.5在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为sin()2，求曲线C1与曲线C2的交点个数解曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x22y，xy40，联立消去y得x22x80，因为判别式0，所以方程有两个实数解故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.6在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长解将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.7(2016全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以PQ的最小值即为P到C2距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.8已知直线C1：(t为参数)，曲线C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21，联立方程得解得C1与C2的交点坐标分别为(1,0)，(，)(2)依题意，C1的普通方程为xsin ycos sin 0，则A点的坐标为(sin2，sin cos )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)，P点轨迹的普通方程为(x)2y2.故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆9已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin()(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面4sin()的公共点，求xy的取值范围解(1)因为圆C的极坐标方程为4sin()，所以24sin()4(sin cos )又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，所以圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)设zxy，由圆C的方程x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圆C的圆心是(1，)，半径是2.将代入zxy，得zt.又直线l过C(1，)，圆C的半径是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范围是2,210(2016江苏命题研究专家原创题)在平面直角坐标系xOy中，动圆x2y24xcos 4ysin 7cos280 (R，为参数)的圆心轨迹为曲线C，点P在曲线C上运动以O为极点，