数列与函数极限课件

,第一章 极限与连续函数 第一节 数列的极限,学习重点,利用两个重要极限计算极限,无穷小的概念及其比较,理解极限的概念，掌握极限的运算法则,极限思想,一尺之棰，日取其半，万世不竭,剩余长度依次为,1，,不为零，但无限接近零,1/2 ，,1/4 ，,1/ 8 ，,1/16 ，,1/32 ，,我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：,在中国古代的萌芽和应用,刘徽割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣,数列的概念,数列 就是指按自然数编了号的一列数,记为 an , 其中 an 称为该数列的通项。,2，4，8，. , 2n ，. ,几个数列的例子:,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,注意:,用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定 说明相应的N存在, 但不必求出最小的N.,15/28,证,由定义,故收敛数列极限唯一.证毕。,24/28,数列极限性质,定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一.,设xna (n),则对n=1, 2, ,有|xn|M,则xn有界.,证:,由定义, 对=1, 存在自然数N,当nN时, 有|xna|1,故 |xn|xna|+|a|1+|a|. 取M=max|x1|, |x2|, |xN|, 1+|a|,M,定理2. 若xn 收敛, 则xn有界.,定理2的逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意义知(1)n是发散的.,看图,x,1,1,0,(,),(,),定理3 (保号性),若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4.,证: 反设 a N1时, 有xn yn.,取 N2 = maxN, N1,则当 n N2 ( N)时,有 xn yn.,此与条件矛盾，故 .,所谓数列xn 子列，就是从数列 x1, x2, , xn, 中任取无穷多项，,这个数列称为xn的子列.,比如，x2, x5, x14, , x78, 就是xn的一个子列,上列中n1=2, n2=5, n3=14等.,子列,定理5.,发散.,1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ,发散.,0, 1, 0, 1, ,注：由定理5，若 xn 的两个子列一个收敛于 a , 而另一个收敛于 b，且 ab, 则xn发散；,或者，xn中有一个子列发散，则xn发散.,若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数列极限举例,求下列极限：,类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。,对于数列极限,故,很自然地,第二节函数的极限,相似地,相似地，可定义单侧情形：,自变量趋于无穷大时函数的极限,即,观察 y = arctan x 的图像,从图像容易看出结果,所以,考虑函数 f (x) = ax , 分 a1, 0a1两种情形下，分别求 x +, x ， x 时 f (x)的极限。,自变量趋于有限值时函数的极限,即,几何解释:,9/25,注意事项： （1）定义中 xa的过程中, xa 成立。,（2）,（3）极限值 与函数值 无关。,左极限 left-hand limit,右极限 right-hand limit,x 仅从 a 的左侧趋于a ，,记作,或,x 仅从 a 的右侧趋于a ，,记作,或,左极限与右极限,8/25,n N nN x X |x|X x + X xX x - X x-X x x 0 0|x - x 0 | x x 0 + 0 0x - x 0 (即 x 0 x x 0 +) x x 0 - 0 - x - x 0 0 (即 x 0 - x x 0),18/25,考虑种自变量的连续变化过程：,考虑符号函数,现在考虑 x 从左右两个方向趋于0时 f (x) 的极限,右极限,左极限,从右边趋于0,从左边趋于0,左右极限不相等,例 题,定理2(唯一性),定理3,函数极限的性质,定理4(局部保序性),若存在0, 使当0|xx0| 时,定理5(局部有界性),计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化为该点函数值的计算。,初等函数的极限性质,如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）,无穷小举例,无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固 定数。,都是无穷小量,是无穷小量,是无穷小量,与,与,无 穷 小,无穷小与自变量的变化过程有关，如 时 是 无穷小，但 时，则 不是无穷小。,注：,1）无穷小是一个变量，而不是一个数,因而0是无穷小,2）当 时，满足无穷小的定义，,3）当 （或 ）时，,函数与零无限制地逼近,推论： （1）有限个无穷小之和仍是无穷小； （2）常数与无穷小的乘积是无穷小； （3）有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,例如 ，因为,所以,有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。即,同理,即,其中,极限与无穷小的关系,两个无穷小的和或差，仍是无穷小。,无穷小的性质,注：推论中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,比如：,如果函数 f (x) 在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷大（量）。,只有一种趋势,包括两种趋势,如,无 穷 大,观察函数 y=1/x 的图像,再考察函数 y = ln x,注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。,无穷小和无穷大的关系,在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。,无穷小和无穷大的运算法则,以下A 表示有极限的函数，K 表示有界函数，C 代表常数,结果不定，称为未定式,例 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节极限的四则运算法则,A B,limf (x) limg(x) =,(2) limf (x) g(x) =,AB,limf (x)limg(x) =,定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则,(1) limf (x) g(x) =,(3),推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则,(1) limCf (x) = C limf (x),(2) limf (x)n = limf (x)n,若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,例,例,解: 由于,= 26 = 4,= 2 23 + 22 4 =16,更一般的, 以后将有结论: 若f (x)为初等函数. 且f (x)在点 x0处有定义. 则,比如:,例,解: 这是有理函数. 当x时的极限问题. 分子, 分母的极限都为. 不存在.,同除以分母的最高次幂x2.,将本题改为,x3,= 0,x3,= ,改为,例,解,16/22,例 求,解,（消去零因子法）,10/22,例,解: 这是两无穷大量之差的问题. 即“ ” 型.,对无理函数, 可考虑有理化.,解: 这是一分段函数. 分段点x=0.,在分段点处极限要分左, 右极限讨论.,分段函数,=2,= b,故, 当b=2时, f (0+0) = f (00)= 2,例,解: 将x=1代入分母, 分母为0.,想办法约去使分子分母都为零的因子x1.,有,例 求,解,（分子有理化）,11/22,复合函数的极限运算法则,幂指函数的极限运算法则,例,解:,代入,x0+,例,解: (1) 令u=sinx.,代入.,(2) 直接利用结论, 有,因式分解 消除零因子,有理化 消除零因子,例求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,解,注 只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意 义 (包括出现)，就可交换顺序。,5/22,例,解,6/22,例,解,7/22,注 在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化，等等。,解,例,（消去零因子法）,8/22,例 求,解,(无穷小因子分出法),9/22,例 求,解,（分母有理化）,12/22,例 求,解,先变形再求极限.,13/22,例,解,左右极限存在且相等,15/22,思考,由题设知，分子必须是 x 的零次多项式,解 答,消除零因子,夹逼准则,单调有界原理,第四节极限存在准则两个重要极限,两个重要极限,单调有界数列必有极限,.,对于其它趋势的极限，以及数列有类似的夹逼准则,利用这两个准则可以 分别证明这两个公式,一、极限存在准则,1.夹逼准则,注意:,准则 I和准则 I称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。,3/17,解：,例2 求,4/17,例3 求,解：,再由夹逼定理及例2得,例4 求,解：,由夹逼定理得,5/17,圆扇形AOB的面积,两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注 目录 上页 下页 返回 结束,由 x0 得 3x0 即 u0,重要极限的应用举例,重要极限,练一练,(3),解,(4) 求,解,8/17,(5),解:,定义：,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,注: 此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。,9/17,2.单调有界准则,例,证,由 xn0 A0 ,10/17,证明数列,证 利用不等式,得,单调增加,单调减少,两者收敛于同一极限.,证明数列,单调增加,证明数列,证明数列,单调增加,证明数列,证明数列,单调增加,单调增加,证明数列,单调增加,证明数列,单调减少,两者收敛于同一极限.,证明数列,证明数列,单调减少,两者收敛于同一极限.,证明数列,证明数列,单调减少,两者收敛于同一极限.,证明数列,得,则数列,单调增加.,又有,单调减少.,所以数列,又有,故由准则知数列,单调增加,单调减少.,单调增加,单调增加,单调增加,单调增加,单调增加,单调减少.,由于数列,都收敛.又,所以他们有相同的极限,习惯用字母e表示这一极限，即,2.重要极限,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,重要极限的应用举例,公式特点：,练一练,注： 常用此极限求幂指型函数的 极限。,解,13/17,（5）,解,（4）,总结: 两个重要极限,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,（6）,都是无穷小,第五节,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,例,解,4/13,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,证毕,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,7/13,等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,证毕,注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。,9/13,例,解,例,解,10/13,例,解,解,错,注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换.,11/13,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,(2) 和差代替规则:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求,解:,原式,例 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回