绪论与第一章弹性断裂复势方法

湖 南 大 学,湖 南 大 学,湖 南 大 学,湖南大学机械与运载工程学院,断裂力学,主 讲 刘又文教授,断裂力学,本课程主要介绍平面弹性断裂复势方法；均匀材料中裂尖弹性应力应变场、弹塑性场的分析方法、断裂参数的计算、常用断裂判据及其工程应用；裂纹与位错的弹性干涉。,绪论,一.断裂力学内容、任务与方法 传统强度理论不能解释低应力脆断,1.内容,材料缺陷的成核 微观 固体物理与连续介质结合 断裂微观机理 宏观 宏观断裂的开裂、扩展与止裂规律 细观 介于两者之间 细观力学,脆性 线弹性 小范围 裂尖屈服 、线弹性近似 韧性 非线弹性 大范围 弹塑性 、宏观裂纹 裂纹稳定，外力变化，裂纹起始扩展 动力学 外力稳定，裂纹传播 界面 多相材料界面,2 裂纹类型,a)按几何位置,贯穿、表面、深埋,b)按受力不同,型裂纹（张开）：最危险,型裂纹（滑开）,型裂纹（撕开）出平面剪切（反平面）,3 断裂特征,脆断、韧断,二、基本概念,1 Griffith裂纹模型,Griffith是材料中类裂纹形缺陷的简化模型，裂尖曲率半径为0，偏安全（硬裂纹与反裂纹，刚性线夹杂）,1913 Inglis求解含椭圆孔板应力 1920 Griffith 解释玻璃实际强度远低于理论值， 仅适于完全脆性材料及得以推广（50年代开始 大量研究）提出脆断能量准则。,1、二战期间采用焊接与高强材料，脆断事故迭起 4347年，美国500艘全焊船脆断，238艘报废。 现在垮桥事故损伤累积。,原因：焊接缺陷应力集中在气温负3水温4摄氏度冷脆,2、1947年，苏联4500立方米大型石油储罐底与下部焊 接处破坏，零下43摄氏度时，焊接缺陷，低温脆性，内外温差,三 断裂力学的产生与发展,3、50年代初，美国北极星导弹固体燃烧发动机壳实验室爆炸，原因：表面裂纹,4、 1969年美国F111飞机在飞行中左翼脱落。查明：热处理缺陷，疲劳脆断，断裂应力远低于强度条件！, 线弹性断裂力学, 1955G.R.Irwin提出应力强度观点,发展各种确定应力强度因子的方法,应力强度因子，断裂准则 线弹性断裂力学核心内容 Griffith能量准则, 1963年F.Erdogan and G.C.Sin提出复合型裂纹扩展判据：,2、最大能量释放率理论,3、最小应变能密度因子理论,今后研究方向：三维，表面，各向异性裂纹确定K的方法。特点是数学性强,弹塑性断裂, 1948年Orowan and Irwin塑性材料裂纹的能量判据： 抵抗表面张力的功远小于塑性变形的功能量判据, 60年D.S.Dugdale运用N.I.Mush方法研究裂尖塑性区 DM模型提供解析方法途径。, 61年A.A.Wells COD准则（裂纹张开位移）现为公认 的起裂准则，理论薄弱, 63年BCS模型（三人从位错概念出发）研究裂尖塑性区, 68年J积分准则。基于HRR奇异解，三人分别发表型 裂纹尖应力应变场弹塑性解（J积分理论基础）,J与COD均为起裂准则,当前主要研究：稳定扩展准则, 断裂动力学, 48年N.F.Mott论文开始, 60年代中以前，研究简化模型裂纹扩展、分叉、止裂, 70年代逐步建立重要基本概念、外载变化裂纹稳定的动应力场,当前重要课题：裂纹快速传播与止裂，非线性材料动态裂纹分叉等问题, 界面断裂力学, 59年Wiliams界面裂尖应力振荡奇异性，典型应力强度因子, 65年England发现由于应力振荡型，会出现裂纹面相互嵌入, 77年接触区模型, 89年能量释放率准则。Shih有限元奇异场的渐近 解, 88年界面层型, 88年Rice渐进应力位移场, 92年夏森，王自强，用数学分析HRR型奇异渐近解,断裂力学固体力学的重要分支,深入材料科学,参考书,破坏力学（与损,伤结合）,结合材料本身特性细观结,构，建立力学模型探讨断裂机理，优化细观结构。设计 新型材料,1.苏 切列帕诺夫，黄克智等译 脆性断裂力学7490译， 科学出版社，1990 2. Sih.G.C.（薛昌明）断裂力学丛书（英文版） 3. 沈成康 断裂力学 同济大学出版社 1996年 4. 范天佑 断裂理论基础 科学出版社 2003年 5. 匡震邦 马法尚 断裂端部场 西安交通大学出版社 2002年 6. 程靳 赵树山 断裂力学 科学出版社 2006年 7. 王自强，陈少华 ，高等断裂力学，科学出版社，2009 8. Brain Lawn著，龚江宏译，脆性固体断裂力学，高教出版 社，2010 9. 黄克智，余寿文，弹塑性断裂力学，清华大学出版社， 1985 10. 杨卫，宏微观断裂力学，国防工业出版社，1995,第一章弹性断裂复势方法,弹性平面问题 双调和函数 弹性反平面问题 调和函数,化为解析函数的边值问题,参考文献 1 N.I.Muskhelighvili著，赵惠元译.数学弹性力学的几个基本问题.科学出 版社 2 路见可.平面弹性复变方法.武汉大学出版社，2002 3 森口繁一著，刘亦珩译.平面弹性论.上海科学技术出版社，1962 4 路见可.解析函数边值问题.武汉大学出版社，2004,3.1 力与位移的复势表达,3.1.1 复势应力函数,平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满足,引入,(1),可得,(3-1),积分两次,(3-4),(3-5),由(3-1)式，得：,(3-3),故,其中f1、f2、f3、f4均表示任意函数。左边U是实函数， 右边四项一定两两共轭，即,称之为复势应力函数。,3.1.2应力和位移的复势,(2),(3-6),1、应力复势,不计体力,注意到式(3-4)得,将式(3-6)代入得,由式(3-7),(3-7),(3-8),注意到式(3-2)得,设,式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。,2、位移复势,平面应力，由几何方程与广义虎克定律,(1),(3-9),(2),(3),将式(1-8)和(1-7)分别代入(2)和(3)式，积分得：,式中f1及f2为任意函数。将式(5)代入式(4)，用式(1-7)中 的第三式及式(1-1)，得,(常数),积分得刚体位移：,(5),若不计刚体位移，由式(5)组合得 （注：强度问题 与刚体位移无关）,将式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右边，两边除以 (1+),这就是位移复势。,对平面应变，,(6),(3-10),3.1.3 复应力函数的确定程度(数学上完全确定，力学上看 哪些部分不影响应力和位移),1 应力确定时，由式(3-8)和(3-9)可知，,设,(1),(2),(1),(2),(3),C为任意实常数。积分得,由式(3)有,，比较式(2)与(2)可见,积分得,故,(4),(5),(6),(A),2：位移确定时，则应力完全确定，不容许有(A)型以外 代换。考察(A)型代换如何才不致改变位移。将式(1-10) 进行(A)型代换,位移确定，必须,不改变位移只能将,(7),和 中只有一个为任意常数,设为 , 由 确定,3.1.4 复势边界条件,1、应力边界条件,平面应力边界条件,将式(1-7)代入上式得,(B),曲线AB为任一段边界，s是弧长则有,代入式(1)，得面应力矢量,(1),证明：,由式（1）,而,故,证毕,式(3-6)代入式(3-2)，再代入上式，得,证明：,_,证明完毕,两边同乘以ids，进行积分，从基点A至边界上的任 意一点z，令,则有,该式为面力主矢边界条件的复势表达,(2),(3-11),2、位移边界条件,边界位移,代入式(3-10)得,(2),(3-12),3.2 多连域中复势的一般形式,3.2.1 应力单值条件,一周，虚数增量为,的实部单值。虚部,可多值。绕,考察Ak ln (z-zk)，其中zk是边界sk之外的任意一点。,(1),积分，得,(3),式中 全纯。,3.2.2 位移单值条件,(4),当z绕sk一周后，增量为：,令增量为零，即,3.2.3 有限多连域的复势,确定应力函数(3)和(4)式中的复常数,及,需将式(3-11),应用于整个内边界sk,积分一周得,是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针,(6),转向（使外法线向右），将式(1),(3),(4)代入式(6)得,由式(5)及式(7)求得,将它们代入式(3)及式(4)，得,(7),(3-13),式中 、 在多连域全纯,3.2.4 无限多连域的复势,原点为圆心，作半径为R的大圆周sR ，所有内边界s1到sm 包围在其内，对于sR之外的任意一点z,在 之外的解析函数。,式(3-13)可写为,(1),当R 趋于零时为原点作用集中力解.,将式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再将式(2)中的第一 式代入，得,因无限远处应力有界,(2),(3),(4),于是,式(5)可简化为,其中,(5),(3-14),设1及2为无限远处的主应力，1与x轴之间的夹角 为，由坐标变换,值得指出，公式(3-14)和(3-15)只能描述多连域的远场(sR 之外)，只含有一个圆孔时，才是该域复应力函数的精确 公式。无限多连通域的复势可由式(3-13)给出，其中,(3-15),(6),(3-16),再由式(3-8)及式(3-9)，在无限远处，令,对于无限多连域,应为,3.3* 坐标变换,3.3*.1直角坐标变换,1平移,原点平移到新点(x0,y0)。设(x, y)与(x1,y1)为同一点对 于旧与新坐标系的坐标，并设：,显然,应力（3-8），（3-9）可写为,(1),(2),式中,因为原点移动时应力分量不变，由式（2）中的第一式， 有,由式（2）的第二式，得出,注意到式（A）即知,积分式（A）与（B）又得,2旋转,(B),(C),由此,同理,由式（2）的第一式，得,忽略纯虚常数后，得,由平面应力坐标旋转可以证明,(D),再由式（2）中的第二式可知,由此,积分式（D）与（E）略去不影响应力分布的任意常数， 得,积分(F)的第二等式，得,(E),(F),(G),3.3*.2极坐标,取坐标系Oxy的原点O为极点，Ox为极轴，与r为 平面上任一点M(x ,y)极坐标，则,过点M(x ,y)引二轴:一为向径(r),另一 为垂直于前者的().,设r与表示点M在极坐标中的位移分量.,将式(3-10)代入上式,(1),(H),(2),由坐标旋转变换:,式中,在极坐标中所应力分量与在笛卡儿坐标中应力分量的 规定,除了通过在讨论应力的点M所引的两轴(r)与()起着 轴Ox与Oy的作用这一点有所不同以外，其余完全是一样 的。,若暂时用Mx表示轴(r)，用My 表示轴()，则上述诸分 量将为：,对于这些分量，我们采用在文献中通用的记号：,由平面应力坐标旋转可以证明,故有,(I),此式可表示圆周上的面力。,(J),注：应用中常联合采用极坐标应力公式与直角坐标的位移公式。（如接触面与滑动情形）,保角变换，把复杂几何域映射成像平面上简单规则 域。先在像平面的规则域上求解，然后返回物理平面得实 际问题的解。（注：有些问题不必返回，例如裂纹尖应力强度因子等。）,3.3.1 保角变换与曲线坐标,采用保角变换,在平面上令,式中和是点的极坐标(不 是z点的极坐标) 。 和是z平面 上相应点的曲线坐标。两组曲线总是正交 。,(3-17),3.3 保角变换,z平面矢量F，由几何关系有,可得,沿轴方向给z点以位移dz，对应点得径向位移d， 且,故,(1),(2),表明,经保角变换后,矢量的曲线坐标分量与直角坐标 分量的关系.,3.3.2 保角变换后的位移与应力公式,引用如下记号,(3),(3-18),(3-19),式(3-18)代入式(3-10)得,仿式(3)有,将式(3-20)代入式(4)得,是曲线坐标位移分量的复势表示。,为曲线坐标和中的应力分量，图3-3所示,(3-20),(3-21),(4),将式(3-8)及(3-9)代入以上两式，有,注意到式(2)和式(3-19),这是曲线坐标应力分量的复势表示。,(5),(3-22),1)、如何求得面力表达式？,2)、写出椭圆孔边的曲线坐标应力分量。,3.4.1 复势的一般级数形式,基本思想所论区域经保角变换后为圆内、圆环或圆外 区域时，所论区域复势展开成复级数，代入边界条件(3-11) 或(3-12)式的左端，把右端给定的边界已知应力和位移函数 展成复级数。令两边同次幂项的系数对应相等定出左端复 势待定系数。,圆域|z| R(R0),圆环域r |z| R (r0,R)：,(3-23),(3-24),3.4 级数解法,积分得,(A型代换),给定位移只能令其中一个常数 a0=0(或b0=0).(B型代换),3.4.2 无限域孔口问题,1、应力边界条件,(3-25),由以上两式相减,并代入z=t得,由孔边值方程为:,(3-26),(3-27),(3-28),(3-29),(3-30),(3-31),将式(3-28)和式(3-31)同时代入(3-27)式,并利用边界方程 (3-30)，得,式中系数与式(3-14)至(3-16)中的关系为,(3-32),由式(3-14) , (3-16)，结合式(3-31)可知,注:由(3-14)式（1）,与式（3-31）比较,有,(3-34),平面应变,平面应力,(3-33),由式（3-14）（2）式,与式（3-31）比较,m = 1，为恒等式,由正幂，m = 0得，,由负幂，m 1，得,(3-35),2、位移边界条件问题,左端展成富氏级数,(3-36),(3-38),右端第一项含因子i是多值函数，要求,令前式左、右两边同幂项系数相等，正幂项有,(3-39),(3-40),注：k=0时，,负幂项有,由(3-39) (3-41)式，可以定出全部待定系数，于是复势被 确定。,(3-41),k=1时，,k=2时，,级数解法同样适用于有限圆环域和实心圆域问题。注意 圆环内边界(或外边界)上的载荷不能单独构成自相平衡力 系时，环内应力将需要通过位移单值条件确定而与材料性 能(常数)有关。,级数解法适用于能用有理函数将所论区域映射到圆形 域的问题。对于理想界面连接的弹性夹杂问题，级数解法 仍不失为一种行之有效的分析方法。,例3-1 如图3-5所示，带小圆孔(半 径为R)的无限大平板，在x方向受 单向均匀拉力q，求板内应力场。,解 无穷远应力条件,代入(3-33)式得,由(3-29)式,利用(3-35)式求得,(1),(2),(3),(4),由(3-32)式,其余系数全为零。,代入式(3-36)，得,(5),(6),思考1 上题中若在y方向也同样均匀拉伸，结果如何？孔 边受均匀压力q，无穷远受均匀剪切q时结果又如何？ 试用例3-1结果作出解答。,解 双向均匀拉伸,应用单向拉伸解式(6)叠加,注意到,(7),(1),（1）（2）,得,单向受压时，q取负号,孔边均匀受压，边界力展开为常量易于得解。,级数解法适用于理想连续可变为圆形边界的问题。,由式(6)第2式整理得,(2),如图(a)所示，在无限平面的一点 作用有集中力， 和集中力偶 ，设在无穷远处应力等于零( )，试求复应力函数。,解：先研究受圆孔无限平面，设作用于圆孔圆周上的应力有定值与定方向如图(b)所示：,(1),式中 为常量，显然( ) 为外应力主矢量。,例3-2,法向应力与切向应力为,在圆周上，有,这就说明，在3.4公式(3-29)中，仅有一个不为零的系数：,再按同节公式(3-33)，(3-34)和(3-35)(当 )，有,其余系数 皆等于零。,故,令 ，且主矢量 保持不变，有,无限平面一点作用集中力偶。讨论在孔 的周边作用有常量切应力 的情形，如 图(b)所示。应力在无穷远处也假定等于 零。即,在圆周上，,图(b),因而在3.4的展开式(3-29)中,只有一个不为零的系数,由3.4诸公式给出：,其余系数 皆为零。令,，即,则有,是作用于圆孔周边上的外应力对中心的主矩。若使,无限减小，,无限增大但保持力矩,为常量，则式(3)仍然正,确。,注：关于一般集中力。,若集中力不是作用在点,，而是作用于无限平面任,，如图(c)所示，则暂时取,为辅助坐标系的,一点,原点后，代替公式(2)将有,式中 。变回到旧坐标系，按照 3. 3公式(3)与(4)，得,(4),图(c),上式积分，得,(5),完全类似，对于无限平面作用于点 的集中力偶，有,(6),(7),3.5 柯西积分解法,对于不能用有理函数将所论区域保角映射到圆形区 域，例如一般多连通域或边界条件较为复杂的平面弹性问 题，应用柯西积分公式较为便利。,3.5.1 柯西积分公式和Harnack定理,1、柯西积分公式,设是简单光滑闭曲线（可以是多条），S+为围线的 内域(有限部分)，S-为线的外域(无限部分)。线的正 向按“内域位于左侧”确定。,若函数f(z)在S+内解析，在S+上连续,(3-42),当 在内域,当 在外域,函数f(z)在S-内解析，在S-+上连续,则柯西积分公式为,有限个极点时，还有另外四个广义柯 西积分公式，也适用于多连通域。,注意 “内域” 和“域内”不同。计算孔边外 载合力应“域内”即“物体位于左侧”确 定边界线的正向。,柯西公式适用于任何复平面。当用在保 角变换平面上时，应把复变量z, t和闭 曲线改变为相应 和 .,(3-43),当 在外域,当 在内域,2、Harnack定理,f(t)是边界上各点t的连续函数，若,则,3.5.2 边界柯西积分形式,保角变换,(3-45),式(3-14)，(3-15)变为,其中,式中常数项已被删去。,由式(3-18)及(3-19)，对式(3-11)左边变换，得,(3-46),(3-47),(1),取式(3-46)的边界值,代入式(2)，全纯函数边界条件可写成,式中,(2),(3),(3-48),式(3-48)的共轭式为,由公式(3-42)有,(3-49),(3-50),(4),由式(3-47),式(5)和(6)代入式(4),(5),(6),(3-51),类似处理式（3-50），可得,注：,为多项式或有理函数时，得精确级数解；,3.5.3 椭圆孔口问题,(3-52),(1),(2),图3-7(a)所示，采用保角变换,单位圆周上，,式(3-51)成为,(3),该函数在单位圆之外 (|1) 解析，在圆外和圆周上连 续。 (3-43)知，式(4)左边的第2项等于零。于是,由式(3-52)，得,如图3-8所示，受有均匀拉应力q， 孔边不受面力,由式(3-16)和(3-49)得,(5),(6),(1),代入式(5),将式(8)和式(9)代入式(6)，得,将式(9)及(10)分别代入式(3-46)，得,(8),(9),(10),(3-53),利用z平面曲线坐标系公式(3-22)第一式计算孔边应力， 注意到在孔边,，可得,(11),3.6 解析延拓方法,对于域内有奇点特别是含裂纹的平面弹性问题，运 用复变函数的解析延拓技术，往往十分方便。这里介绍 Schwarz对称延拓原理及其在典型区域的应用。,3.6.1 Schwarz对称开拓原理,定理1 f(z)在区域S+内全纯, S+的边界的一部分是实轴上的一直线 段L (图3-9)，S+L上f(z)是连续的，且在L上取实数值。S-是区域S+关于实轴的对称映象，则f(z)可以越过L解析开拓到S-中，得到在S+ + +L中解析的函数，当zS-时，解析开拓的函数为,定理1和定理2可以推广到边界是圆弧，例如定理2：,(3-54),3.6.2弹性半平面的解析开拓,弹性体所占区域S+在实轴的一侧,直线段L为其部分边界。,引入辅助函数,(3-57),(3-55),由定理2得,(2)固定边界。由式(3-12)有,则,(3)滑动边界。即,由式(3-12)，(3-11),(3-58),(3-59),(3-60),由定理1导出,例3-2图示半平面y0,其内一点 (z=i b)作用着集中力(Fx, Fy)， 边界y=0自由。求复应力函数。,(3-61),(3-62),(3-63),知其奇性主部为,自由边界解析开拓可由式(3-58)表示之。点z=ib的映象点,(a),(b),(c),z=-ib。该点的主部由式(b)，(c)代入式(3-58)而得,考察全纯函数：,思考：若集中力作用在任意z0点，结果如何？,(d),(3-64),(f),3.6.3 关于弹性圆孔的解析开拓,如图3-12所示，圆周|z|=R的全体或 其中一段弧L为圆外弹性体的边界， 在L上,取辅助函数为（由式（3-56）,与直线边界类似,(1)当L为自由边界时，有,(1),(2),(3-65),(2)当L为固定边界时，由式（3-59）有,例3-3 如图3-13所示，设圆孔为|z|=R，不 失一般性设在点b (bR)作用着集中 力(Fx, Fy)，试求复应力函数。,解 在z=b有奇点，和例3-2类似求得应 力函数奇性主部为,(3-66),(a),解析开拓时，在z=R2/b和z=0出现奇点，奇性主部由式 (a)，(b)及式(3-65)可导出如下,注：,(b),(c),去常数项即为式（c）第二式,与例3-2同样推理，可得,(3-67),思考2 若集中力作用于圆外任意点z0处，如何求出其应 力函数。在任意点z0作用集中力偶时，试求应力函数。 已知有圆孔受切向分布荷载主矩为M之解取极限得原点 作用集中力偶M的解,3.6.4 关于弹性椭圆孔的解析开拓,如图3-14(a)，为含椭圆孔无限 弹性平面，椭圆,(1),映射到平面上的圆：|=R,将椭圆的外部区域S+映射到平 面的圆外区域| |R。同时也将 沿椭圆焦点(-c, c)剪开的椭圆内部 映射到圆环域：1| |R，如图3-14(b)所示。,(3-69),将式(3-18)，(3-19)代入式(3-11)，右边积分，两边取共轭,| |=R上,可设,越过圆弧的解析开拓：,(1)L为自由边界时,(2)L为固定边界时,(3-70),(3-71),(2),(3),(4),例3-4 具有自由椭圆孔的无限板在无穷远处受均匀 应力，试求复应力函数。,解 式(3-14)在z=处，,与(3-16)式相同。,在=处的奇性主部,(5),(a),(b),越过圆周解析开拓到圆内时，仅在=0出现奇点， 由式(4)得主部,推广的Liouville定理,(c),(d),(3-72),例3-5 如图3-15(a)所示，有自由椭圆孔的无限弹性板 在任意位置z0受集中力Fx+iFy作用，试求复应力函数。,解 采用式(3-68)的保角映射，如图3-15(b)所示。,在相平面必存在一奇点0，奇性主部由式(3-68) 代入(a)、(b)得,(a),(b),(c),(d),其中,由推广的Liouville定理,(e),（f）,思考3 若椭圆孔外任意位置z0作用集中力偶M，试求复势 函数及孔边周向应力.,(g),(3-73),3.7 弹性反平面问题的复势解法,3.7.1 基本方程与边界条件,如图3-16所示，圆柱体柱面上的 剪力q沿母线方向作用且均匀分 布为反平面问题，即纵向剪切问 题，包括沿z方向作用的集中源， 集中力，螺型位错等。,反平面问题的基本方程可由空间 弹性力学基本方程退化得到。,1、基本假设,2、几何方程,(1),将式(1)代入空间几何