2019届高考数学复习专题二第2讲解三角形学案.docx

第2讲解三角形正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A(3)三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B热点一利用正(余)弦定理进行边角计算【例1】(2018株洲质检)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2A=-13，c=3，sinA=6sinC（）求a的值；（）若角A为锐角，求b的值及ABC的面积解（）由cos2A=1-2sin2A得sin2A=23，因为A(0，)，sinA=63，由sinA=6sinC，sinC=13，由正弦定理asinA=csinC得a=32（）角A为锐角，则cosA=33，由余弦定理得b2-2b-15=0即b=5，或b=-3（舍去），所以ABC的面积SABC=12bcsinA=522探究提高1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【训练1】(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面积为2，求b解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac又SABC2，则ac由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624所以b2热点二应用正、余弦定理解决实际问题【例2】(2017衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为（）A210()米B140米C210米D20()米解析由题意，设ACx米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420米在ACH中，AC420米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：可得CHAC140(米)答案B探究提高1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【训练2】 (2018衡水中学)如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为（1）求的长；（2）若，求信号塔的高度解（1）在中，由正弦定理，（2）由（1）及条件知，由正弦定理得热点三解三角形与三角函数的交汇问题【例3】(2017长沙质检)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1，xR(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，f(C)0，sin B2sin A，求a，b的值解(1)f(x)sin 2x2cos2x1sin 2x(cos 2x1)1sin 2xcos 2x22sin2，所以函数f(x)的最小正周期T，最小值为4(2)因为f(C)2sin20，所以sin1，又C(0，)，知2C，所以2C，得C因为sin B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，所以a1，b2探究提高1解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理2求解该类问题，易忽视C为三角形内角，未注明C的限制条件导致产生错解【训练3】(2018聊城一中)已知fx=ab-1，其中向量a=(sin2x，2cosx)，b=(3，cosx)，(xR)（1）求fx的最小正周期和最小值；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，求边长c的值解(1) f(x)=(sin2x，2cosx)(3，cosx)-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x6），f(x)的最小正周期为，最小值为-2(2) f(A4)=2sin（A26）=3sin（A26）32，A263或23 A3或A=（舍去），由余弦定理得a2b2c22bccosA，即1316c2-4c，即c2-4c+3=0，从而c =1或c=31(2018全国II卷)在ABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，则AB=（）A42B30C29D252(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()ABCD3(2018全国III卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2+b2-c24，则C=（）A2B3C4D64(2018全国I卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则ABC的面积为_5(2018全国I卷)在平面四边形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5（1）求cosADB；（2）若DC=22，求BC1(2019郴州质检)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-3bc=a2，bc=3a2，则角C的大小是（）A6或23B3C23D62(2017山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是（）Aa2bBb2aCA2BDB2A3(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_4(2019开封一模)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c（1）求角A；（2）若a=2，ABC的周长为6，求ABC的面积1(2019昆明诊断)在平面四边形ABCD中，D=90，BAD=120，AD=1，AC=2，AB=3，则BC=（）A5B6C7D222(2017郑州二模)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角B_3(2018重庆一中)已知函数fx=3sin2x+2cos2x-1，xR(1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间；(2)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=3，fC=1，sinB=2sinA，求ABC面积S4(2017衡水中学调研)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(ac)sin Absin B(abc)sin C0(1)求角A；(2)当sin Bsin C取得最大值时，判断ABC的形状参考答案1【解题思路】先根据二倍角余弦公式求cosC，再根据余弦定理求AB【答案】因为cosC=2cos2C2-1=2(55)2-1=-35，所以c2=a2+b2-2abcosC=1+25-215(-35)=32，c=42，选A点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的2【解题思路】由消去角，再化简即可得到，再利用正弦定理求【答案】由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，则sin C(sin Acos A)sin Csin0，因为sin C0，所以sin0，又因为A(0，)，所以A，所以A由正弦定理，得，则sin C，得C故选B3【解题思路】利用面积公式SABC=12absinC和余弦定理a2+b2-c2=2abcosC进行计算可得【答案】由题可知SABC=12absinC=a2+b2-c24，所以a2+b2-c2=2absinC，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC，所以sinC=cosC，C(0，)，C=4，故选C点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理4【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，化简求得sinA=12，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2bccosA=8，可以断定A为锐角，从而求得cosA=32，进一步求得bc=833，利用三角形面积公式求得结果【答案】因为bsinC+csinB=4asinBsinC，结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，可得sinA=12，因为b2+c2-a2=8，结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得2bccosA=8，所以A为锐角，且cosA=32，从而求得bc=833，所以ABC的面积为S=12bcsinA=1283312=233，故答案是2335【解题思路】(1)根据正弦定理可以得到BDsinA=ABsinADB，根据题设条件，求得sinADB=25，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cosADB=1-225=235；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得cosBDC=sinADB=25，之后在BCD中，用余弦定理得到BC所满足的关系，从而求得结果【答案】（1）在ABD中，由正弦定理得BDsinA=ABsinADB由题设知，5sin45=2sinADB，所以sinADB=25由题设知，ADB90，所以cosADB=1-225=235（2）由题设及（1）知，cosBDC=sinADB=25在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25所以BC=51【解题思路】由b2+c2-3bc=a2可得cosA=32，进而利用bc=3a2可得sinBsinC=3sin2A=34结合内角和定理可得C值【答案】b2+c2-3bc=a2，cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，由0A，可得A=6，bc=3a2，sinBsinC=3sin2A=34，sin56-CsinC=34，即12sinCcosC+341-cos2C=34，解得tan2C=3，又0C56，2C=3或43，即C=6或23，故选A2【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及朝能约的方向进行化简【答案】等式右边2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sinAcos Csin B等式左边2sin Bcos Csin B，则2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0所以2sin Bsin A，根据正弦定理，得a2b故选A3【解题思路】边化角再利用和差角公式即可【答案】由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B2sin Bcos Bsin B，又sin B0，cos B，故B故填4【解题思路】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得A的大小（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得bc的值，并求得三角形的面积【答案】（1）由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sinBsinA=cosAsinB，sinB0sinA=cosA，A(0，)A=4（2）a=2，ABC的周长l=6，b+c=4，由余弦定理得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA，4=16-2bc-2bc，bc=6(2-2)，ABC的面积S=12bcsinA=126(2-2)22=3(2-1)1【解题思路】在RtADC中，由AD=1，AC=2，得DAC=60，且BAD=120，所以CAB=60，由余弦定理得BC的长度【答案】在平面四边形ABCD中，如图在RtADC中，D=90，AD=1，AC=2，所以DAC=60，且BAD=120，所以CAB=60，在ABC中，AB=3，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB=7，所以BC=7故选C2【解