2019届高考数学二轮复习专题一函数第5讲函数的综合应用学案.docx

第5讲函数的综合应用 1. 函数是高中数学的主线，历年高考中，占的比分比较大，常常和导数知识结合进行综合考查，所以需要熟练掌握常见的函数模型如二次函数、三次函数、指数和对数函数、简单的分式函数等2. 函数中的单调性问题、最值问题、恒成立问题、存在性问题、零点问题等是常见的题目题型，其中数形结合、分类讨论思想会在其中充分展现1. (2018如东中学)函数y ()x2的值域是_答案：(0，1解析：因为x20，所以 1，即值域是(0，12. (2018通大附中)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是_答案：(0，)解析：因为0.71.30.7011.301.30.7，所以0.71.31.30.7，所以m0.3. (2018苏州暑假测试)已知函数f(x)x2abxa2b.若f(0)4，则f(1)的最大值是_答案：7解析：由f(0)4得a2b4，即a42b.而f(1)1ab45ab52b(2b)7(当且仅当b1，a2时取等号)4. (2018宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m. 答案：20解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以矩形面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40)，当x20时，Smax400.,一) 函数性质的综合应用,1) 已知函数f(x)4x2x，实数s，t满足f(s)f(t)0，设a2s2t，b2st.(1) 当函数f(x)的定义域为1，1时，求f(x)的值域；(2) 求函数关系式bg(a)，并求函数g(a)的定义域；(3) 求8s8t的取值范围解：(1) 若x1，1，令m2x，2，f(x)l(m)m2m(m)2在，2上为增函数，f(x)minl(m)minl()，f(x)maxl(m)maxl(2)2，所以f(x)的值域为，2(2) 实数s，t满足f(s)f(t)0，则4s2s4t2t0，则(2s2t)222st(2s2t)0，而a2s2t，b2st，所以a22ba0，bg(a)(a2a)由题意得b0，a0，则(a2a)0，所以a1.又2s2t2()2，即a，所以a2，当且仅当st时取得等号综上所述，g(a)的定义域为(1，2(3) 8s8t(2s2t)(4s2s2t4t)a(a23b)a(a2a2a)a3a2，a(1，2令h(a)a3a2，a(1，2，h(a)3aa(a2)0在(1，2上恒成立，所以h(a)在(1，2上单调递增，h(a)(1，2，所以8s8t(1，2(2018苏州暑假测试)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)2x，若对任意的xa，a2，不等式f(xa)f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是_答案：解析：(解法1：利用解析式) 当x0时，定义在R上的偶函数f(x)2x，易得f(x)2|x|，xR.由f(xa)f2(x)，得2|xa|(2|x|)2，即|xa|2x|对于xa，a2恒成立，即(3xa)(xa)0对于xa，a2恒成立，即解得a.(解法2：偶函数的性质) 当x0时，定义在R上的偶函数f(x)2x，易得f(x)2|x|，xR，易证f2(x)f(2x)，xR.由f(xa)f2(x)得|xa|2x|对于xa，a2恒成立，下同解法1.,二) 函数的实际应用,2) (2017常州期末)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为(xk)L，其中k为常数，且60k100.(1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km的油耗的最小值解：(1) 由题意，当x120时，(xk)11.5，所以k100.由(x100)9，得x2145x4 5000，所以45x100.因为60x120，所以x的取值范围是60，100(2) 设该汽车行驶100 km的油耗为y L，则y(xk)20(60x120)令t，则t，所以y90 000t220kt2090 000(t)220，对称轴为直线t.因为60k100，所以， 若，即75k100，则当t，即x时，ymin20； 若，即60k75，则当t，即x120时，ymin.答：当75k100时，该汽车行驶100 km的油耗的最小值为(20)L；当60k75时，该汽车行驶100 km的油耗的最小值为()L.点评：解函数应用题的步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)(2018苏州调研)如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部是个半圆，固定点E为CD的中点MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD平行当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)(1) 设MN与AB之间的距离为x(0x且x1)米，试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数yS(x)；(2) 当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？解：(1) 当0x1时，过A作AKCD于K(如图)，则AK1，DK，HM1x，由2，得DH，所以HG32DH2x，所以S(x)HMHG(1x)(2x)x2x2.当1x时，过E作ETMN于T，连结EN(如图)，则ETx1，TN，所以MN2，所以S(x)MNET2(x1)，综上，S(x)(2) 当0x1时，S(x)x2x2在0，1)上递减，所以S(x)maxS(0)2；当1x2，所以S(x)的最大值为，答：当MN与AB之间的距离为(1)米时，通风窗的通风面积S取得最大值,三) 新定义函数问题,3) 定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值为_答案：6解析：由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.因为f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)2326.点评：新定义和新概念型创新题的特点：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情景知识，然后在这个新情景下，综合所学知识并利用新知识作解题工具使问题得到解决特别对于图表信息型创新题要从题目所给出的图表中读出命题信息，掌握主要数据，研究它的相关性质和结论设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围是_答案：(，2解析：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0，3上有两个不同的零点在同一平面直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0，3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2，3时，yx25x4，2，故当m(，2时，函数ym与yx25x4(x0，3)的图象有两个交点,四) 利用函数解决不等式问题,4) (2017南通海安中学模考)已知aR，函数f(x).(1) 当a0时，解不等式f(x)1；(2) 若a0，求函数y2f(x)f(2x)的零点个数；(3) 设a1即1，解得x0，且a1时，零点个数为2.(3) 因为函数y2x在R上是单调增函数，所以当x1x2时，2x12x2.又a0，所以02x1a，即f(x1)f(x2)故函数f(x)(a0，即a，则(*)变形为2(2t)2a20，由(*)恒成立得a20，解得a23.综上，实数a的取值范围是(，23已知f(x)logax，g(x)2loga(2xt2)(a0，a1，tR)(1) 当t4，x1，2，且F(x)g(x)f(x)有最小值2时，求a的值；(2) 当0a1，x1，2时，有f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围解：(1) 当t4时，F(x)g(x)f(x)loga，x1，2，令h(x)4(x2)，x1，2，则h(x)4(1)0，所以h(x)在1，2上是单调增函数，所以h(x)min16，h(x)max18.当0a1时，有F(x)minloga18，令loga182，求得a31(舍去)；当a1时，有F(x)minloga16，令loga162，求得a41.所以a4.(2) 当0a1，x1，2时，有f(x)g(x)恒成立，即当0a1，x1，2时，logax2loga(2xt2)恒成立，由logax2loga(2xt2)可得logaloga(2xt2)，所以2xt2，所以t2x2.设u(x)2x22()222()2，因为x1，2，所以1，所以u(x)maxu(1)1.所以实数t的取值范围是1，)1. (2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_答案：22. (2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则2x，3y，5z三者的大小关系为_答案：3y2x1的x的取值范围是 _答案：(，)解析：f(x)f(x)f(x)1，即f(x)1f(x)，由图象变换可画出yf(x)与y1f(x)的大致图象如图所示，易得两图象的交点为(，)，则由图可知，满足f(x)1f(x)的x的取值范围是(，)4. (2017浙江卷)已知aR，函数f(x)a在区间1，4上的最大值是5，则a的取值范围是_答案：(，解析：(解法1)令tx，x1，4，则t4，5，f(x)g(t)|ta|a.当a时，f(x)maxg(5)|5a|a5恒成立；当a时，f(x)maxg(4)|4a|aa4a5a(舍去)综上，a.(解法2)表示曲线yx与直线ya的纵向距离画出yx在区间1，4上的图象，如图所示，其中点A(2，4)，B(1，5)，C(4，5)，画出直线ya.按a和a进行分类讨论：当a时，f(x)a(a4)a2a45，解得a，所以a无解；当a时，f(x)a(5a)a5恒成立综上所述，a的取值范围是(，5. 已知aR，函数f(x)log2(a)(1) 当a1时，解不等式f(x)1；(2) 若关于x的方程f(x)log2(x2)0的解集中恰有一个元素，求a的值；(3) 设a0，若对任意t，1，函数f(x)在区间t，t1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围解：(1) 由log2(1)1，得12，解得x(0，1)(2) log2(a)log2(x2)0有且仅有一解，等价于(a)x21有且仅有一解，等价于ax2x10有且仅有一解当a0时，x1，符合题意；当a0时，14a0，得a.综上，a0或.(3) 当0x1a，则log2(a)log2(a)，所以f(x)在(0，)上单调递减，则函数f(x)在区间t，t1上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t1)f(t)f(t1)log2(a)log2(a)1，即at2(a1)t10，对任意t，1恒成立因为a0，所以函数yat2(a1)t1在区间，1上单调递增，当t时，y有最小值为a，由a0，得a.故a的取值范围是，)(本题模拟高考评分标准，满分14分)某经销商计划销售一新款节能灯泡，经市场调研发现以下规律：当每只灯泡的利润为x(单位：元)时，销售量t(x)(单位：万只)与x的关系满足：若x不超过4，则t(x)；若x大于或等于16，则销售量为零；当4x16时，t(x)abx(a，b为实常数)(1) 求函数t(x)的表达式；(2) 设总利润为y(单位：万元)，当x为多少时，y取得最大值？并求出该最大值解：(1) 由题意得(4分)解得a32，b2.所以t(x)(6分)(2) 由(1)知，yxt(x)(8分) 当0x4时，y120，所以函数在(0，4上为增函数，所以ymax96.(10分) 当4x16时，y32x2x22(x8)2128，所以当x8时，ymax128.(12分) 当x16时，y0.综上所述，当x8时，ymax128.(13分)答：当每只灯泡的利润为8元时，总利润y取得最大值，且最大总利润为128万元(14分)1. (2018泰州中学月考)若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是_答案： 2，)解析：由f(1)，得a2，所以a，即f(x) .由于y|2x4|在(，2)上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2)上递增，在2，)上递减2. 已知函数f(x)ax22bxc(xR，a0)(1) 若a1，c0，且yf(x)在1，3上的最大值为g(b)，求g(b)；(2) 若a0，函数f(x)在8，2上不单调，且它的图象与x轴相切，求的最小值解：(1) a1，c0时，f(x)x22bx(xb)2b2， 对称轴是直线xb. 当b3时，f(x)maxf(3)96b.综上所述，g(b)(2) 函数f(x)的图象与x轴相切， 4b24ac0()2. f(x)在8，2上不单调， 对称轴x(8，2)， (2，8)，设t(2，8)t2(0，6)， (t2)62612， ()min12，此时t23(0，6)t5.3. (2018无锡