圆锥曲线的光学性质总结

1 / 35 圆锥曲线的光学性质总结 第一篇 :圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线光学性质的证明及应用初探 一、 圆锥曲线的光学性质 1 1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另 一个焦点上； (见图 ) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在 放置一个热源，那么红外线也能聚焦于 的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。 证明：由导数可得切线 k y x x0 / 35 而 2， x0 22 x0 k l 到 成的角 22 2 x0 / 35 k 同理， x0,y0 0, 2 1 2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个 焦点上； (见图 ) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用 1 3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳4 / 35 选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置 安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的 图 图 图圆锥曲线的光学性质总结。 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明 5 / 35 2 1圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线 l 与曲线 C 交于 P， 直线 P，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到 P， Q 重合为一点 M,此时直线 c 在点 l 垂直的直线称为曲线 c 在点 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 圆锥曲线光学性质的证明 备定理 (x0,椭圆 2 2 1 上任一点，则椭圆过该点的切线方程为： ab 1。 2 / 35 明：由 2 1 2 y b(1 2)， 当 x 点 k y|对式求导： 22x， a x ， k y|x ，切线方程为y 2 / 35 1点 P(x0,椭圆 2 上，故 2 2 1 ，代入得 2 2 1 ， 2 当 x a 时， 切线方程为 x 切线方程 . 预备定理 a，也满足式，故 是椭圆过点 P(x0, a b . 若点 P(x0,双曲线 2 2 1 上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： / 35 1 2 2 2 1 y b(2 1)， 当 x a 时，过点 P 的切线斜率 k y|x x ， 2对式求导： 22x， k y|x ，切线方程为 y 0(x ， / 35 22点 P(x0,双曲线 2 2 1 上，故 2 2 1 代入得 2 2 1， 当 x a 时， 切线方程为 x a，也满足式，故 双曲线过点 a b P(x0,切线方程 . 预备定理 P(x0,抛物线 0 / 35 上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 p(x 证明：由 22p k y|p， 时， 切线方程为 y y p2(x 即 y0 px 而 p(x ，而当 ,，切线方程为 也满足式， 故抛物线在该点的切线方程是 p(x 定理 1. 椭圆上一个点 处的法线平分（图） 11 / 35 知：如图，椭圆 C 的方程为 2 2 1， 2 分别是其左、右焦点， (x0,切线， l为垂直于 的椭圆的法线，交 x 轴于 D，设 求证： . 法一：在 C:2 2 1 上， P(x0,C， ab 过点 P 的切线方程为： 02 02 1， l是通过点 l 垂直的法线， 2 / 35 )x (0) 2)， 则 l:(20022 法线 l与 x 轴交于 D()， a 1D|a2 |2x0 c,|c 2，又由焦半径公式得： 2 2D|a ， F|a 1 1锥曲线的光学性质总结。 13 / 35 | 90y0 法二：由证法一得切线 l 的斜率 k y|x ，而F 2 的斜率 x0 2 k ， l 到 满足： k2 35 22 22c1 a b) (x0 c) P(x0,椭圆 C:2 2 1 上， k 理， 满足 1 5 / 35 而 , (0,)， 圆锥曲线的光学性质总结。 2 C 于点 P 证法三：如图，作点 点 于切线l 对称，连结 下面只需证明点 P 与 P重合即可。 的唯一交点，则 |a，是上的点到 两焦点距离之和的 最小值（这是因为 l 上的其它点均在椭圆外）。 另一方面，在直线 l 上任取另一点 P， |P|PP|P|P|P即 P也是直线 到两焦点的距离这和最小的唯一 点，从而 P 与 P重合，即 定理 2 双曲线上一个点 P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点 ）； 6 / 35 图，双曲线 2 1， 2分别是其左、右焦点，是过双曲线 P(x0,切线，交 ，设 2 证明： C: ，两焦点为 c,0)， F2(c,0) 222 (c2 a2 P(x0,双曲线上，则过点 P 的切线 1，切线 l 与 x 轴交于 D(,0)。 2双曲线的焦半径公式得： 17 / 35 图 | cc x0 a|,|x0 a|，双曲线的两焦点坐标 aa c x0 a| | F(c,0)， F ( c,0)，故 | |x0 a|,|x0 a|, x a|0a 故 ，切线 l 为 18 / 35 | 定理 3 抛物线上一个点 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点 P 处法线平分（图）。圆锥曲线的光学性质总结。 已知：如图，抛物线 线 l 是过抛物线上一点 P(x0,切线，交 ， Q 与 l 所成角记为 证明： 如图 ，抛物线 C 的方程为 C:y 4 P(x0,该抛物线上，则过点 P 的切线为 p(x 切线l 与 x 轴交于 2 图 D( )，焦点为 F(c,0)， (同位角 )， |x0 c|,|x0 c|， |19 / 35 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 三、圆锥曲线的光学性质的应用 3 1解决入射与反射问题 例 1. 设抛物线 C:y2 x，一光线从点 A (5， 2)射出，平行C 的对称轴，射在 C 上的 过反射后，又射到 ，则 _， _。 解：如图，直线 (5， 2)，则 4，2）， 14 111 t Q(, ) 158648 44 20 / 35 2 反射线 (,0)，设 Q(t,t)， 图 2. 已知椭圆方程为 1，若有光束自焦点 A(3， 0)射出，经二次 2516 反射回到 A 点，设二次反射点为 B,C，如图所示，则 为 。 ：椭圆方程为 1 中， c 25 16 9， 21 / 35 2516 A (3， 0)为该椭圆的 一个焦点，自 A(3， 0)射出的光线射光线 (0) 故 周长为： A AC a 4 520。 图 第二篇 :圆锥曲线的光学性质及其应用 龙源期刊网 锥曲线的光学性质及其应用 作者：刘朝斌 来源：读写算教研版 2016 年第 01期 中图分类号： 文献标识码： A 文章编号： 10022016） 012 / 35 一只灯泡，当接通电源，光芒四射，光线分散地射向各方。但若把它装在手电筒内，经过 适当的调节与控制，就会射出一束较强的平行光 线，这是为什么呢？ 原来手电筒内，在小灯泡后面装有一个反光镜，镜面形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋 转而成的曲面，叫抛物镜面。灯泡装在焦点处，从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后， 反射光线平行于抛物线的轴。这是抛物线的光学性质。 抛物线为什么具有这个性质呢？ 光的反射定律：光线从某一方向入射经过某一界面反射出去，入射线、反射线与法线同处 一平面，且在界面的同一侧，反射线与入射线在法线两侧，反射角等于入射角。 23 / 35 根据光的反射定律，我们可以证明不仅是抛物线，而且对圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物 线，都具备下列光学性质；为证明光学性质，先讨论圆锥曲线在某点的切线方程。 一、圆锥曲线的切线方程 1、抛物线上一点的切线方程 已知：点 P（ 抛物线 任一点。 求：抛物线过该点 P 的切线方程。 解：在抛物线 任取一点 Q（ x， y），则（ y） 2=2p（ x）， 展开得： y+ x， y（ 2 y） =2p x， = 。即抛物线上过这 P、 Q 两点的割线斜率为： = 。 24 / 35 显 然，当点 时， P、 Q 两点的割线越趋近于 P 点的切线。而当 时， x、 y 越靠近于 0。当 x 0，（这时 y 0） P、Q 两点的割线就成为切线，而割线 斜率就成为切线的斜率。切线的斜率 K= 。抛物线在该点的切线方程为： y= （ + p（ x+ 第三篇 :圆锥曲线的光学性质及其应用 圆锥曲线的光学性质及其应用 尹建堂 一、圆锥曲线的光学性质 圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质， 就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。 25 / 35 设 P（上 一 定 ）为圆锥曲线点 ， 则 在 该 圆 锥 曲 线 的 光 学 性 质 总 结 点 处 的 切 26 / 35 （ A、 B、 C 不同时为零）线 方 程 为 ： 。（该方程与已知曲线方程 本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。 该方程的推导，原则上用“法”求出在点 35 斜式写出切线方 程 ，进而用点 ，则在点 为 。 1、抛物线的切线、法线性质 经过抛物线 上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法 。 线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图 1 中 28 / 35 事实上，设 为抛物线 上一点，则切线 方程可由替换法则，得 ，即，斜率为，于是得在点 M 处的法线方程为 令 ，得法线与 的坐标为 ， 所以 又焦半径 所以 29 / 35 ，从而得 即 当点 M 与顶点 O 重合时，法线为 x 轴，结论仍成立。 所以过 M 的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。 也可以利用点 ，从而得 也可以利用到角公式来证明 ，则，又 故 抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。 30 / 35 2、椭圆的切线、法线性质 经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。如图 2中 证明也不难，分别求出 ，然后用到角公式即可获证。 椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。 3、双曲线的切线、法线性质 经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图 3中可利用到角公式获证。 。仍 这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线 是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。 31 / 35 二、圆锥曲线光学性质的应用 光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。这里 仅举例说明这些光学性质在解圆锥曲线的有关问题中的应用。 应用圆锥曲线光学性质解题，特别是切线问题是十分方便的。其间要注意一个基本关系式的应用，即“过投射点的曲线的切线与入射线、反射线成等角”。如图 4， 曲线 ，则 是很容易由物理学的“入射角等于反射角”及平面几何中“等角的余角相等来证明的。 例 1 求证：椭圆和双曲线在交点处的切线互相垂直。 分析：如图 5，用圆锥曲线光学性质证明 1 3 90即可。 证明：如图 5，两曲线的公共焦点 别为椭圆、双曲线的切线， 连 2；由双曲线光学性质，得 3 4。 ，并延长 ，设 ，由椭圆光学性质，推得 1 32 / 35 又 2 5， 4 6（对顶角相等）， 所以 1 5， 3 6（等量代换）。 又 1 3 5 6 180， 所以 1 3 90，即 题得证。 评注：（ 1）本题也可采用代数运算证出 的方法来证明，但比较复杂。这 里采用光学性质证明法则直观简捷。（ 2）由本题得到一个一般性命题：焦点相同的一个椭圆与一双曲线在交点处的切线互相垂直，于是有 定义：两圆锥曲线在交点处的两条切线互相垂直，叫做这两曲直交。 例 2 如图 6，已知是椭圆的焦点，为定值；（ 2）求 分别是在椭 圆任一切线 1）求证：的轨迹方程。 分析：（ 1）欲证质推得 33 / 35 为定值，即证），从而知应用余弦定理于 分别为定值即知其轨迹，易得轨迹方程。 证明：（ 1）设 椭圆光学性质推知 所以又