数学转化的思想方法的认识及应用.doc

你的首选资源互助社区数学转化的思想方法的认识及应用在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法，我们称之为“转化的思想方法”解题的过程就是“转化”过程“转化”是解数学题的重要思想方法之一转化的思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决其形式如下图： 转化具有多向性、层次性和重复性的特点为了实现有效的转化既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是转化的多向性转化原则既可以应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性转化思想方法包含三个基本要素，即转化的对象、转化的目标和转化的方法 转化思想方法应遵循以下五项原则： （1）熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决 （2）简单化原则将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据 （3）和谐化原则转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律 （4）直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 （5）正难则反原则当问题正面讨论遇到问题时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性 下面，本文将以高考或竞赛试题为例，着重介绍如何利用转化思想方法实现问题的解决 1借助函数进行转化 有些数学问题，本身并无明显的函数关系，但经仔细分析后，可以找到一个函数，通过对此函数的研究，运用函数的有关性质，打通解题的思路 例1已知关于x的实系数二次方程20有两个实根、，证明：（1）如果2，2，那么24，且4； （2）如果24，且4，那么2，2分析：这个题目虽然是不等式的形式，但实际却是考查二次函数的性质的综合题由于二次方程20的两个实根为二次函数（）2的图象与x轴交点的横坐标，因此本题可通过研究二次函数（）2的图象获解 证明：构造二次函数（）2，由韦达定理若有2，2，则224，又由二次函数的性质知（2）0，即420，（4）24，42024反之，若24，则有420，420，即（2）0且（2）0，由（）2的图象可知，（）0的每个实根或者均在区间（，2）之内，或者均在区间（2，2）之内，或者均在区间（2，）之内 若两根、均在区间（，2）之内，或者均在区间（2，）之内，则有2，2，而4，这与4矛盾、均在区间（2，2）之内，即2，2 练习：在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使取得最大值（1996年全国高考试题）2借助方程（组）进行转化 方程（组）是数学解题中的一个极为重要的工具，在解决某些数学问题时，可直接运用方程的某些性质，或可先设定一些未知数，根据题设本身各数量之间的制约关系，列出方程，求得未知数所设未知数沟通了变量之间的关系，使原问题转化为我们熟知的问题 例2已知两点（1，（54）、（4，（54），给出下列曲线方程：4210；223；（22）21；（22）21 在曲线上存在点P满足的所有曲线的方程是（） 、分析：从题意知，点P在线段MN的垂直平分线上，于是用转化的思想，把命题转化为的垂直平分线方程与下列曲线方程组成的方程组是否有实数解，如有实数解，说明在曲线上存在一点P，满足，如没有实数解，即在曲线上不存在一点P，即 解：先求线段的垂直平分线l的方程（54）（54）1（4）（12），又线段MN的中点坐标为（32），0），的垂直平分线l的方程为02（32），即230 （1）解方程组4210，230（42）（21）（13），方程组无解 （2）圆心（0，0）到l的距离d=200333l与圆有交点，即直线l的方程230与圆的方程223所组成的方程组有实数解 （3）解方程组22220，230消去y，整理得9224160 24249160， 方程组有实数解 （4）l:23与x轴交点为（32），0）在双曲线（22）21左顶点（，0）左边，则l穿过双曲线左支，由方程2x+y+3=0与方程（22）21所组成的方程组有实数解 综合上述结果，、均有实数解应选 练习：设椭圆的中心是坐标的原点，长轴在x轴上，离心率（2），已知点（0，（32）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标（1990年全国高考题）3借助辅助命题进行转化 对于某些数学问题，在求解时，如果缺乏现成的依据，不能由问题的条件简捷地推出其结论，那么我们不妨构建或借用一个辅助命题作为依据，只要证明了这个辅助命题是真命题，依它为依据，就可以使原问题迎刃而解 例3已知：，且221，求证：（2（12）2（2（12）2（252） 分析：此题直接证比较困难，于是借助于以下辅助命题来做从原命题条件可知，它与三角函数有一定联系，于是对条件经过如下转化：令，则可将原命题归结为求三角函数式的最小值这一辅助命题，使原命题得以证明 证明：令，则有（2（12）2（2（12）2（22）2（22）2 （212）2（212）2 2（212）（212）2）2 （12）（322）2（12）（32）2252即原命题得证 评述：上述过程中，应用了重要不等式（22）2）（）2）2及2（12）2（0）题中的等号仅在22，即（2）时成立 练习： 已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上，且右焦点到直线20的距离为3，试问能否找到一条斜率为（0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N且满足，并说明理由（1991年全国高中数学联赛试题）4借助等价变换进行转化 等价变换实质上是把待解决或难解决的问题，通过某种转化归结为已解决或较容易解决的问题，最终求得原问题的解决 例4若正数a、满足3，则的取值范围是_（1999年全国高考题） 分析：本题有多种解法，此题若由3想直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、是正数，显然2成立，当且仅当时取等号把等式3转化为关于ab的不等式：23，这是关键的一步解不等式230，得3或1（舍），9，即的取值范围是9，） 评述：“遇困难，要转化”，这是解题的基本思想方法，本题在a、b为正数的条件下，运用基本不等式2，将等式转化为不等式，通过解不等式求得ab的取值范围，这里有一定的技巧，但也含有思维的基本规律 练习：设复数32，求函数（0（2）的最大值以及对应的值（1999年全国高考试题）5借助降维（幂）进行转化 在解答数学问题，有时采用以退为进的策略，如对于空间的问题转化为平面的问题来处理；对于高次的问题通过换元转化为低次的问题来解决 例5球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的（16），经过3个点的小圆周长为4，那么这个球的半径为（） 422（1998年全国高考题） 分析：将空间的问题转化为平面的问题来处理，这是解题的通法由任意两点球面距离相等，则这三点构成过这三点截面上的等边三角形，又球面距离等于大圆周长的（16），则任意两点与球心构成的圆心角为（26），即（3），且任意两点与球心构成过这两点的大圆截面上的等边三角形，则球半径等于球面上这三点任意两点的平面距离运用转化的思想方法，把求球半径的问题转化为已知过球面三点的小圆周长，求这个小圆上内接正三角形的边长 解：设、为球面上三点，过其中、两点的大圆，如图1，O为球心，则（3），且则同理，为等边三角形设过A、B、C三点的小圆为，如图2，半径为，则由24，得2，2（3）2应选图1图2评述：这里用了降维转化的思想方法，转化的对象为求球的半径，转化的方向为求的边长，转化的条件是“任意两点的球面距离都等于大圆周长的（16）” 练习：求函数（33）222的最小值（1994年全国高考题）6借助代换进行转化 例6在中，、分别是角、的对边，设2，（3），求B的值（1998年全国高考理科试题） 分析：已知边角的关系，求角的三角函数，应将边的关系用正弦定理转化为三角函数的关系，并通过解三角方程，达到解题目的 解：由