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和控制器的比较左彬, 祝长生，唐明(浙江大学电气工程学院, 杭州 310027)摘要: 因为主动电磁轴承支撑的转子系统是一个非线性、时变和不确定性系统，所以一个稳定的主动电磁轴承系统必须拥有一个合理的控制器。因此控制器对主动电磁轴承支撑的转子系统的动态性能有很大的影响。在PD控制器，直接模糊控制器，模糊PD控制器和控制器的原理被给出后，通过d-SPACE 控制平台实现了该四种常用控制器并成功地将四种控制器应用到主动电磁轴承系统中。四种控制器的阶跃响应试验结果和1000rpm情况下的稳态悬浮试验结果表明模糊PD控制器拥有较好的阶跃响应性能和稳态性，而直接模糊控制器则相反；控制和PD控制器拥有相似的性能，但是前者在1000rpm的试验中拥有最好的稳态性能。关键词: 电磁轴承；PD控制；模糊控制；模糊PD控制；鲁棒控制Comparison of PD Controller, Direct Fuzzy Controller, Fuzzy PD Controller, and Controller for Active Magnetic BearingZUO Bin , ZHU Changsheng, TANG Ming(College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou,310027)Abstract: A rotor system supported on active magnetic bearings (AMB) is an unstable system, a control system must be installed in order to realize the system stability. The controller has a great effect on the dynamic behavior of a rotor supported on the AMBs. The basic principles of PD controller, direct fuzzy controller, fuzzy PD controller and controller were introduced, these controllers were then realized in the d-SPACE control platform, and applied to a rigid rotor on the AMBs. The performances of these four controllers, such as step response, tracking a sinusoidal reference signal and simulation rotating debugging, were experimentally measured, and compared. It is shown that among the four controllers the direct fuzzy controller is the worst one and the fuzzy-PD controller is the best one. Although the controller and PD controller have the similar performance, the former behaves with the best steady state performance in the four controllers.Keywords: AMB; PD controller; fuzzy controller; fuzzy-PD controller; controller70 引言主动电磁轴承利用可控的电磁力将转子悬浮起来，具有无磨损，无需润滑，能在很宽的转速范围内工作，使用寿命长等一系列传统轴承无法比拟的优点。主动电磁轴承与其他轴承最大的不同之处在于轴承的支承特性不仅取决于电磁轴承的结构，更取决于控制系统的设计1。在工业应用中，主动电磁轴承控制系统包括控制器，功率放大器，电磁轴承，传感器系统2。 虽然PID控制器3被广泛地应用到主动电磁轴承控制系统，但是PD参数的选取并不容易。其他的先进控制器例如：基于控制4，5，控制6，都应用到了主动电磁轴承的控制中，这些控制策略都是以线性控制理论为基础。既然主动电磁轴承系统是一个非线性系统，那么非线性控制器，例如滑模控制器和滑模观测器7，8，模糊控制器9，都成功的应用到了主动电磁轴承上。虽然很多控制器都应用到了，但是很少有对控制间性能进行对比的研究。本文的目的是比较PID控制器，直接模糊控制器，模糊PID控制器和控制器的性能。我们首先通过分析主动电磁轴承的电磁特性建立了主动电磁轴承四自由度的数学模型，然后分析了PID控制器，直接模糊控制器，模糊PID控制器和控制器的原理并将四种控制器在d-SPACE 控制平台上实现并被成功应用到主动电磁轴承系统中，最后完成了四种控制器的阶跃响应试验和1000rpm情况下的稳态悬浮试验。四种控制器的阶跃响应试验结果和1000rpm情况下的稳态悬浮试验结果表明模糊PD控制器拥有较好的阶跃响应性能和稳态性，而直接模糊控制器则相反；控制和PD控制器拥有相似的性能，但前者在1000rpm的试验中拥有最好的稳态性能。1 主动电磁轴承转子系统数学模型主动电磁轴承（Active Magnetic Bearing AMB）是种利用电磁力悬浮转子的无接触支承方式。图1是一个基本差分控制方式的AMB系统，其原理为：位移传感器测得转子的位移，控制器根据位移的偏差得到控制信号，功率放大器将控制信号转化为控制电流。驱动电磁线圈产生控制力。 一个完整的主动电磁轴承支撑的转子系统包含5个自由度。考虑到轴向自由度相当于独立的单自由度电磁轴承，这里只讨论基本差分控制方式的四自由度主动电磁轴承控制系统， 图1 四自由度主动电磁轴承控制系统如图2所示。转子的质量为m；几何中心为O，质量中心为C，两端到集合中心的长度都为l。转子绕x，y轴的转动惯量为，绕z轴的转动惯量为 ，转子的转速为,和 为中心 O 的坐标，而和 是转子绕 x 和 y 轴的倾斜角, 设 O和C的距离为 e。电磁铁上的静态偏置电流为, 控制电流分别为 ,，由此产生的电磁力为,。由图1和以上假设，系统的数学模型如下所示： (1)式1中第一和第二等式的最后一项是由于转子转动时转子偏心引起的偏心干扰力。如果将电磁力在平衡位置线性化，可以得到电磁力的表达式为: (2)其中 和 为系统的电流刚度系数和位移刚度系数。2 控制器的原理和实现由于很小且在试验中转速小于3000rpm，所以可以忽略陀螺效应。为了简化问题，我们将忽略电磁耦合，力矩耦合。由上假设，可以将图2所示的电磁轴承系统简化为4个单输入单输出系统。四种控制器的设计如下：2.1 PD控制器由3式，可以得到单自由度的电磁力可以表示为: (3)电磁轴承的运动微分方程为： (4) 如果通过PD控制器将其设计为一个等效的弹簧阻尼系统，其等效运动方程为： (5) 其中 k为弹簧的刚度，d为弹簧的阻尼，将(4)与（5）等效，可以得到PD控制参数为：， （6）在实际中，我们选取P=1.5，D=10.2.2 直接模糊控制直接模糊控制是将模糊控制器直接应用到主动电磁轴承控制上。直接模糊控制的原理框图如图2所示。 图2: 直接模糊控制器具体考虑到系统控制的精度和实时性要求，将位置偏差e和偏差变化率作为输入语言变量。因为一般AD变换器的输入为5V，选择偏差e的变化范围为-6，6V，所以偏差e的模糊论域为-6，6。在不影响控制效果的前提下减少计算量，偏差变化率采用非线性变换，取模糊论域为-6，6，大于6的 取6，小于-6的取-6。输出语言变量为，当功率放大器的增益为1时，控制电流（i=1，2，3，4）的范围为6A，所以的模糊论域取-6，6。对输入输出语言变量都选取7个语言变量值，它们为： NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB。隶属函数的形状对模糊控制的性能影响很大10。当隶属函数比较窄瘦时，控制比较灵敏，反之控制比较粗略。模糊语言值都采用三角形隶属函数。具体的输入输出语言变量的隶属函数图分别如图3和图4所示。图3 输入模糊变量e和的隶属函数图4 输出模糊变量U1的隶属函数根据图2原理制作电磁轴承模糊控制器的控制规则表如表1所示。这里采用单点模糊集合的模糊运算方法将输入空间的观测量映射到模糊论域上，然后采用Mamdani推理和重心法反模糊化得到电磁轴承模糊控制器的输出。表1电磁轴承模糊控制器控制规则表eNBNMNSZOPSPMPBNBNBNBNBNBNMNSZONMNBNBNBNBNMZOZONSNMNMNMNSZOZOPSZONMNMNSZOPSPMPMPSNSNSZOPSPSPMPMPMZOZOPMPBPBPBPBPBZOZOPMPBPBPBPB2.3 模糊PD控制器模糊PD控制器是采用模糊推理来调节PID控制器的参数，实现AMB控制的系统框图如图5所示：图5 模糊PID控制框图模糊控制器的设计和2.2中模糊控制器参数选择和设计方法相同，模糊控制器的输入为e和的绝对值，输入输出的的模糊论域0，6，输入输出语言变量都选取4语言变量值为ZO，PS，PM，PB其隶属函数如图6和图7所示：图6 输入模糊变量e和的隶属函数图7 输出模糊变量U1的隶属函数模糊PD控制器的比例环节主要是成比例地反映偏差信号，根据输入的偏差和偏差的变化率来改变Kp的大小，当偏差很大的时候，增加Kp使偏差减小得更快，当偏差不大的时候应该选择比较大的Kp,防止比例系数过大导致系统超调，而当偏差很小的时候为了提高主动电磁轴承的稳态性能应该增加Kp，具体的参数需要结合偏差变化率进行设置，得到的Kp的模糊控制表如表2所示：表2 Kp对应的模糊规则表eZOPSPMPBZOZOPBPBPMPSPBPBPBPMPMPMPMPMPSPBPBPBPBPM表3 Kd对应的模糊规则表e ZOPSPMPBZOZOPSZOZOPSPSPSPSZOPMPBPBPMPMPBPBPBPMPS模糊PD控制器的微分环节通过提前引入一个修正信号来加快调节的速度，微分过大将导致系统超调从而降低控制器的性能，当误差大的时候增加Kd减小系统的调节时间，当误差小的时候应该减小Kd防止系统再次超调影响控制器的性能，具体的参数需要结合偏差变化率进行设置，得到的Kd的模糊控制表如表3所示。2.4 鲁棒控制基于H控制理论设计控制系统，不论是鲁棒稳定还是干扰抑制问题，最终都归结为求反馈控制器使闭环系统稳定且闭环传递函数阵的范数最小或小于某一给定值的问题。主动电磁轴承鲁棒控制的控制框图如图8所示，其中G（s）为主动电磁轴承，功率放大器和传感器组成系统的传递函数，而K(s)为设计的鲁棒控制器传递函数。，分别为干扰抑制加权函数，系统叠加型不确定性和相乘型不确定性的加权函数，、作为评价信号，可以容易地得到从到的传递函数 （7）指标可以表述为： （8）其中。代表了系统的干扰抑制能力。代表干扰信号的频谱特性。为克服高频干扰，要求闭环频率特性的高频部分应具有较大降斜率。表示系统相乘型不确定性的上界，因此应有高通性质。通常的频带应在频带的右端，即二者频带不重叠。可以考虑为一个加权常数进行调整，以使中低频内有较大鲁棒稳定性的参数摄动范围。通过求解（7）可以求出K（s）。图8 鲁棒控制 结构框图3 试验本实验室的试验平台，参数为m=3.5kg , J=0.0445kg.,=0.003kg.,=0.1415m,N=100匝，A=,=, 。实际的试验平台如图9所示。控制器硬件采用dSPACE公司推出的DS1103 PPC控制器板，DS1103使用PowerPC处理器进行浮点运算(400MHz)，除了20路ADC、8路DAC以外还配有数字I/O。可以方便地将DS1103 PPC控制器板插入PC机中，实现PC机和d-SPACE的连接和通信，它与MTLAB的无缝连接让控制器的设计更加简化。这里主要测量测量四种控制器的阶跃响应性能外，还测量了转子转速为1000rpm时转子的稳态性能。图9 主动电磁轴承试验平台3.1 阶跃相应四控制器的阶跃响应结果如图10所示。测量得到各控制器的阶跃响应性能指标放入表4中。从表和图，可以知PD控制和控制拥有最大的超调量（80%），模糊PD控制器性能优于直接模糊控制器。表 4 四种控制器的阶跃响应性能表性能控制器PD 控制直接模糊控制模糊PD控制控制上升时间(s)18912726超调(%)810117126913稳态误差(%)365155455图10 PD控制阶跃响应3.2 稳态性能 稳态性能是通过测量转子转速为1000rpm时，图1中a端圆心的位置轨迹范围来衡量四种控制器的性能。试验结果如图11所示。图中蓝色的外圆标记的是辅助轴承的位置，内圆半径大小（R）用来衡量转子中心振动范围。试验结果表明拥有最好的稳态性，对应的 半径R=0.027mm,直接模糊控制器的稳态性最差，对应的半径R=0.035mm模糊PD控制器的R=0.003mm，PD的R=0.031mm。(a) PD 控制器 (b) 直接模糊控制器(c) 模糊PD控制器(d) 控制器 图11:控制器稳态性能试验结果 4 结论通过四种控制器的阶跃响应试验结果和1000rpm情况下的稳态悬浮试验结果表明模糊PD控制器拥有较好的阶跃响应性能和稳态性，虽然直接模糊控制器拥有最小的阶跃响应超调量，但是在它的稳态性是最差的；控制和PD控制器拥有相似的性能，他们在阶跃响应时的超调较大，但是控制在1000rpm的试验中拥有最好的稳态性能；。因为模糊PD控制器融合了线性PD控制器和非线性模糊控制器的优点，所以它拥有很好的阶跃响应性能和稳态性能。参考文献：1胡业发，周祖德，江征风. 磁力轴承的基础理论与应用M. 机械工业出版社. 2006.32C. 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