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排序不等式探究：设，自点沿边依次取个点，沿边也依次取个点选取某个点与某个点连结，得到这样一一搭配，一共可以得到个三角形问：边上的点与边上的点如何一一搭配，才能使得到的个三角形面积之和最大？如何一一搭配，才能使得到的个三角形的面积之和最小？排序不等式(sequence inequality)，又称排序原理设有两个有序数组及，是的任一排列，则即 反序和乱序和顺序和当且仅当或时反序和等于顺序和证明：不妨设在乱序和中时（若，则考虑），且在和S中含有项，则： 事实上，左右=由此可知，当时，调换（）中与位置（其余不动），所得新和调整好及后，接着再仿上调整与，又得如此至多经次调整得顺序和 这就证得“顺序和不小于乱序和”显然，当或时中等号成立反之，若它们不全相等，则必存在及k，使这时中不等号成立因而对这个排列中不等号成立类似地可证“乱序和不小于反序和”说明：排序不等式又称排序原理，是一个很强的不等式，许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明其关键是找出两组有序数组利用排序不等式可以证明平均不等式，还可证明下述重要不等式：切比雪夫不等式：若， ，则例题讲解例1：有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分，假定这些各不相同问只有一个水龙头时，应如何安排10人大顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？例2：对，比较的大小例3：，求证：例4：在中，试证：例5：设是互不相同的自然数，试证课后练习1设、，求证：2设、为正数，求证： （1997年江苏冬令营）3设、为正数，求证： （1963年波兰数学奥林匹克）4已知为正数，用排序不等式证明：5设为正数，求证：6设都是正数，求证： 7已知为任何两两互异的正整数，证明对任意正整数，均有：（第20届IMO试题）8设是正数的一个排列，求证（1935年匈牙利数学奥林匹克）9设正数、的乘积，证明（第36届IMO试题）点评：此题除使用排序不等式证明外，还可以使用柯西不等式或平
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