圆锥曲线割线或切线平行的充分与必要条件.doc

圆锥曲线割线或切线平行的充分与必要条件2008年高考陕西卷一道试题的探源吴望茂(江西省吉安市白鹭洲中学 江西 吉安 343000)2008年高考数学陕西卷理科20（文科21）题是一道难度中等的常规题，然而此题第（1）问背景深刻，内涵丰富。本文对该题第（1）问作进一步的探究与推广，以揭示其题源。1 试题的表述2008年高考数学陕西卷理科20（文科21）题：已知抛物线C；y=2x2，直线y=kx+2交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作X轴的垂线交C于点N。（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行。（2）是否存在实数k使=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。2 试题的反思为明确起见，我们先界定圆锥曲线的割线与切线的概念。设给定圆锥曲线：F（x，y）= 0及直线L：x = x0 + ut，y = y0 + vt (u、v不全为0，tR )，消去x，y并整理可得关于t的实系数方程 at2 + bt + c = 0.（1）若a0且b 24ac0，则L与交于两个相异点，L称为的割线；（2）若a0且b 2 4ac = 0，则L与交于两个重合点，我们说L与在该点相切，L称为的切线。反思试题第（1）问及其解题过程，可知其背景深刻而内涵丰富，值得进一步探究，我们可提出下列一般性问题：问题1. 设给定抛物线和两条不同的直线L1，L2，直线Li ( i = 1,2 ) 交于两个相异或重合的点Ai和Bi，记AiBi 的中点为Mi.问：当且仅当Mi（i = 1，2）具有什么性质时，L1L2成立？问题2. 设给定非退化中心型圆维曲线和两条不同的直线L1、L2，直线Li ( i = 1，2 )交于两个相异或重合的点Ai和Bi，记AiBi中的中点为Mi，问：当且仅当Mi（i=1，2）具有什么性质时，L1L2成立？3 题源的探究通过深入探究，我们可建立如下定理。定理1. 对于给定的抛物线，设动直线L交于两个相异或重合的点A和B，记AB的中点为M，则（1）若L的方向恒定，则M恒在一条平行或重合于对称轴的定直线上；（2）若M恒在一条平行或重合于对称轴的定直线上，则L的方向恒定。证明：不失一般性，无妨设的方程为 y2 = 2px (p0) 又设L的一个方向向量为=（u,v）(v0)，A（x1, y1 ）,B(x2,y2), M( x0,y0 ),则L的参数方程为x = x0 + ut y = y0 + vt （tR） 将代入整理得 v2t2 + 2（v pu ）t + 2px0 = 0 A（x1,y1）和B（x2,y2）对应于的两个实根t1和t2，由M是AB的中点，可知t1+t2=0，即 vy0pu = 0 (1)若L的方向恒定，不妨设L的一个方向向量为非零常向量=(u,v)(u,v是常数，v0 )，则由可知M（x0，y0）在一条平行或重合于的对称轴的定直线y = 上。（2）若M（x0，y0）恒在一条平行或重合于的对称轴的定直线上，不妨设这条直线方程为y = c（c为常数）,则有y0 = c，将其代入可得vcpu = 0,即upcv = 0，也即向量=(u，v)常向量(c，p),因此L的方向恒定。综上所述知，定理1成立。定理2. 对于给定的非退化中心型圆锥曲线，设动直线L交于两个相异或重合的点A和B，记AB的中点为M，则（1）若L的方向恒定，则M恒在一条过的中心的定直线上；（2）若M恒在一条过中心的定直线上而异于的中心，则L的方向恒定。证明：不失一般性，无妨设的方程为 x2+y2=1（0，且、不全小于0） 设L的一个方向向量为=（u，v）（u，v 不全为0），A（x1 y1）、B（x2、y2）、M（x0，y0），则L的参数方程为x = x0 + ut y = y0 + vt （tR） 将代入，整理可得 （u2 + v2）t2 + 2 (u + v) t + + 1 = 0 而A（x1，y1）和B（x2，y2）对应于方程的两个实根t1和t2，由M是AB的中点，可得t1+ t2=0，即 u x0 +v y0 = 0 （1）若L的方向恒定，不妨假设L的一个方向量为非零常向量=(u,v) (u,v是不全为0的常数)，则由可知M（x0，y0）恒在一条过中心的定直线u x + v y = 0 上。（2）若M（x0，y0）恒在一条过中心的定直线上而异于的中心，不妨设这条定直线方程为mx + ny = 0 (m、n是不全为0的常数)，则有 mx0 + ny0 = 0 ( x0、y0不全为0 ) nv可得 x0 (numv) = 0 若x00，则由可得numv = 0，即向量 = ( u , v )常向量（m，n），故L的方向恒定。若x0=0，则y00,由 可得vy0=0，故v=0，因此向量 = (u，v)x轴，所以L的方向恒定。综上所述知，定理2成立。由定理1和定理2可得到前面的问题1和问题2的结论，即如下推论。推论1. 设给定抛物线 和两条不同的直线L1、L2，直线Li（i=1,2）交于两个相异或重合的点Ai和Bi，记AiBi的中点为Mi，则L1L2 Mi（i=1,2）在一条平行或重合于对称轴的直线上。推论2. 设给定非退化中心型圆锥曲线和两条不同的直线L1、L2，直线Li(i=1,2)交于两个相异或重合的点Ai和Bi，记AiBi的中点为Mi，则（1）Mi(i =1,2)在一条过中心的直线上而异于的中心 L1L2；（2）L1L2 Mi（i=1,2）在一条过中心的直线上。通过上述探究，我们不难洞察