《常微分方程初步》doc版.doc

莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂膈莅螁羅肄莄羃螇蒂莄蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿莅葿螁袂芁蒈袄肈膇蒈蚃袁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膄芄蒄蚀羇膀薃螂膃肅薂袅羅莄薂薄螈莀薁螇羄芆薀衿袇膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂膈莅螁羅肄莄羃螇蒂莄蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿莅葿螁袂芁蒈袄肈膇蒈蚃袁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膄芄蒄蚀羇膀薃螂膃肅薂袅羅莄薂薄螈莀薁螇羄芆薀衿袇膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆膃莆莇薆羆节莆蚈膂膈莅螁羅肄莄羃螇蒂莄蚂肃莈莃螅袆芄莂袇肁膀莁薇袄肆蒀虿聿莅葿螁袂芁蒈袄肈膇蒈蚃袁膃蒇螆膆聿蒆袈罿莈蒅薈膄芄蒄蚀羇膀薃螂膃肅薂袅羅莄薂薄螈莀薁螇羄芆薀衿袇膂蕿薈肂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃蚆袅袃腿蚆薅聿肅蚅蚇袁蒃蚄袀肇荿蚃羂羀芅蚂蚂膅膁艿螄羈肇芈袆 第七章 常微分方程初步第一节 常微分方程引例1(曲线方程)：已知曲线上任意一点M（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标4倍，且过（-1，3）点，求此曲线方程解：设曲线方程为，则曲线上任意一点M（x,y）处切线的斜率为根据题意有这是一个含有一阶导数的模型引例2(运动方程)：一质量为m的物体，从高空自由下落，设此物体的运动只受重力的影响。试确定该物体速度随时间的变化规律解：物体开始下落点为坐标原点，y轴铅垂向下。设t时刻物体的位置为，根据题意，只受重力的影响，力的方向与y轴相同，则即这是一个含有一阶导数的模型引例3（火车制动）：一火车在直线轨道上以的速度行驶，当制动时，火车获得负加速度为，求制动后要经过多少时间才能刹住火车？解：设火车开始制动后内行驶了，由题意得到这是一个含有二阶导数的模型定义描述从以上两个例子可以看到，在实际问题中，有时只能从含有未知导数的等式中求未知函数。如引例1中，方程是含有未知函数的导数。于是我们引进微分方程的定义：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程为偏微分方程。微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。如引例1中，方程是一阶微分方程；引例2中，方程是二阶微分方程；引例3中，方程是二阶微分方程. 如果微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次，且不含这些变量的交叉项如，称为线性微分方程。 任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解。求微分方程的过程称为解微分方程。如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，得到的不含任意常数的解称为特解，这附加条件称为初始条件。回应任务引例1的求解解（1）求通解由题意得 （7.1.1）对式（7.1.1）两边同时对积分，得通 解 （7.1.2）（2）求特解初始条件将代入式（7.1.2），得，即故所求曲线为特 解引例2的求解解：由题意得 （7.1.3）对式（7.1.3）两边同时对求积分， （7.1.4）再对式（7.1.4）两边同时对求积分，得引例3的求解解：设火车开始制动后内行驶了，由题意得到 （7.1.5）初始条件对式（7.1.5）两端同时积分对积分，得速度方程 （7.1.6）由初始条件得，即因为火车刹住时速度为零，即解出火车从制动到完全刹住的时间式（7.1.6）两端再对积分，得由初始条件，得而上面已经得故新的案例分析案例1（曲线运动）求一曲线方程，此曲线通过（1，3），并且它在任一点处切线的斜率等于该点横坐标倒数的2倍。案例2（球体运动）在离地面高度为处，以初速垂直向上抛一小球，若不考虑空气阻力，求此球的运动规律。案例3（运动问题）第二节 分离变量法引例1（人口问题）：两百多年前英国人口学家（Malthus，1766-1834）调查了英国人口统计资料，得出了人口增长率 r 不变的假设，记时刻t的人口为x（t），则人口增长速度与人口总量成正比，从而建立了Malthus人口模型这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例2（招生情况）：某校1995年招生人数为5000人，如果该校能保持每年3%的相对增长率，问到2010年的招生情况如何？解：设第t年该校招生为y（t），t=0时代表1995年，从1995年起，y（t）相对增长率保持为3%，即这是一个带有初始条件的一阶微分方程。引例3（死亡时间鉴定问题）：设温度为的物体放置在温度为的空气中。实验表明，物体温度为时间的变化率与当时物体和空气的温度之差成正比，比例常数为依赖于所给物质的性质。当一起谋杀案发生后，警察中午12：00到达现场。依据法医测得尸体温度为30，室温20。已知尸体从37经两小时后变为35，试推算下谋杀是什么时间发生的？解：建立微分方程：设从谋杀后计，时刻尸体温度为。由题物体冷却速度与温差成正则（常数，负号表示温度是减少的，即）引例4（落体问题）：高空跳伞运动员的速度随时间的变化规律（设运动员所受空气的阻力与降落速度成正比）解：建立微分方程假设跳伞运动员开始降落的速度为零，设降落速度为，降落时，受重力与阻力有关，负号表示阻力与方向相反。则所受合力由牛顿第二定律及加速度得初始条件为定义描述形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程。可分离变量微分方程的特点是：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有的函数，另一个是只含有的函数。可分离变量的微分方程通过分离变量为对上式两边积分得上式左端对求积分，右端对求积分，即可得到方程的解。把这种求解过程称为分离变量法，求解步骤：第一步，分离变量；第二步，两边分别积分。回应任务引例1求解解：（1）建立了Malthus人口模型 （7.2.1）（2）求通解： 式（7.2.1）分离变量得 （7.2.2） 式（7.2.2）两边同时积分，得即通解为 （7.2.3）（3）求特解将代入式（7.2.3），即故特解为引例2求解解：（1）建立微分方程 （7.2.4）（2）求通解式（7.2.4）分离变量得 （7.2.5） 式（7.2.5）两边同时积分，得即通解为 （7.2.6）（3）求特解将代入式（7.2.6），即故特解为将代入引例3求解解：（1）建立微分方程 （7.2.7）（2）求通解 对式（7.2.7）分离变量得 （7.2.8）对式（7.2.8）两边积分得得通解 （7.2.9）（3）求特解将初始条件代入（7.2.9），得故特解为（4）实际问题求解根据已知条件代入得故时刻尸体温度为题目已知法医检验当时温度，即，即得即经过了8小时24分，故谋杀发生在3点36分引例4求解解：（1）建立微分方程 （7.2.10）（2）求通解对式（7.2.10）分离变量 （7.2.11）对式（7.2.11）两边积分即（3）求特解将初始条件代入通解得故特解为新的案例分析案例1（曲线方程）设一曲线上任意一点切线垂直于该点与原点的连线，求此曲线方程。案例2（冷却问题）将一个温度为80的物体放在20的恒温环境中冷却，已知物体冷却速度与温差成正比，求该物体温度变化规律。案例3（混合问题）：容器内有清水100 ，今以3的速度从一管放进纯净水，以2的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。案例4（时间推算）当一起谋杀案发生之后，警察上午10：00到达现场，法医测得测得尸体温度为30度，室温20度，已知尸体在最初2小时降低2度，谋杀是什么时间发生的？案例5（衰变规律）求放射性元素质量衰变规律（已知衰变速度与它现存量成正比）第三节 一阶线性微分方程的解法引例1（利润函数）已知某产品利润L与广告支出x的函数关系为 当时，求该产品的利润函数。解：题目已知可以写成引例2（混合问题）：容器内有盐水100 ，内含盐水10，今以3的速度从一管放入每升含盐的盐水，以2的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。解：设时刻容器内含盐量，盐流入容器的速度=盐流出容器的速度=容器中含盐量变化率=盐流入容器的速度-盐流出容器的速度=即定义描述一阶微分方程的标准形式如（其中均为已知的连续函数）当时，称为一阶线性齐次微分方程。当时，称为一阶线性非齐次微分方程。（一）一阶线性齐次微分方程的解法对于变形为分离变量两边积分得即 （7.3.1）（二）一阶线性非齐次微分方程的解法一阶线性非齐次微分方程可以用“常数变易法”求。将通解（7.3.1）的任意常数C换成函数，即令两边求导将代入，得两边积分将代入得通解 （7.3.2）回应任务引例1的求解解：（1）微分方程：则得到（2）求通解由公式得（3）求特解将代入通解，得故特解引例2的求解解：（1）建立微分方程其中（2）求通解将代入（7.3.2）（3）求特解将得得特解案例1（曲线方程）：已知一曲线通过原点，并且它在任意点处切线的斜率等于，求此曲线方程。案例2（落体问题）：在离地面高度为处，以初速垂直向上抛一物体，考虑空气阻力与速度成正比，求此曲线运动规律。案例3（蒸发问题）：空气中雨点均匀蒸发，设蒸发速度为，空气阻力与雨速成正比，求雨点运动速度与时间关系（设雨点初始质量为，初始速度为零）第四节 二阶常系数齐次线性微分方程的解法引例：设一弹簧放于油中，运动满足以下微分方程求此弹簧在任意时刻的位移定义描述案例：质量为的物体悬挂与弹簧下，空气阻力与速度成正比，如果其运动满足方程求其运动规律本章小节复习题选择填空 薆螈螀罿荿蚄蝿肁薄薀螈芃莇薆螇莅芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃螄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅蚄袁莆蒀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆袇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈螇羄羇膁螃羃腿蒆虿羃芁艿薅羂羁蒅蒁羁肃芈蝿羀膆蒃蚅聿芈芆薁肈羈蒁蒇肇肀芄袆肇节薀螂肆莅莂蚈肅肄薈薄蚁膇莁蒀蚀艿薆螈螀罿荿蚄蝿肁薄薀螈芃莇薆螇莅芀袅螆肅蒆螁螅膇芈蚇螅芀蒄薃螄罿芇葿袃肂蒂螈袂膄芅蚄袁莆蒀蚀袀肆莃薆衿膈蕿蒂衿芁莂螀袈羀薇蚆袇肃莀薂羆膅薅蒈羅芇莈螇