高中数学第三章导数及其应用3_3_2第1课时利用导数研究函数的极值课件新人教b版选修1_1

第三章,导数及其应用,3.3.2 利用导数研究函数的极值 第1课时 利用导数研究函数的极值,学习目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最 大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点 附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，观察下图，函数yf(x)在xd、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？,答：以d、e两点为例，函数 yf(x)在点xd处的函数值 f(d)比它在点xd 附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd 的附近的左侧 f(x)0，右侧f(x)0.,预习导引 1.极值点与极值 已知函数 f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数 f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值f(x0)，并把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作 y极小值f(x0)，并把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点. 极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为极值点.,f(x)f(x0),f(x)f(x0),极值,2.求可导函数 yf(x)极值的步骤 (1)求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)0的所有实数根； (3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f(x)的符号如何变化，如果 f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值.如果在 f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值.,要点一 求函数的极值,解 函数的定义域为R.,令f(x)0，得x1，或x1.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出： 当x1时，函数有极小值，且极小值为 f(1)3； 当x1时，函数有极大值，且极大值为 f(1)1.,规律方法 求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数 f(x). (2)求方程 f(x)0的根. (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测 f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值.,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极小值 f(1)3.,要点二 利用函数极值确定参数的值 例2 已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且 f(1)1. (1)求常数a，b，c的值； 解 f(x)3ax22bxc. x1是函数f(x)的极值点， x1是方程 f(x)0的两根， 即3ax22bxc0的两根，,又f(1)1，abc1. ,(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.,当x1时，f(x)0， 当1x1时，f(x)0，,函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，,在(1,1)上是减函数， 当x1时，函数取得极大值 f(1)1， 当x1时，函数取得极小值 f(1)1.,规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值点两侧导数的符号列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.,跟踪演练2 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值. 解 因为f(x)在x1时有极值0， 且 f(x)3x26axb，,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以 f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3). 当x(3，1)时，f(x)为减函数； 当x(1，)时，f(x)为增函数， 所以 f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.,要点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；,解 f(x)3x26，令f(x)0，,(2)若关于x的方程 f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.,解 由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示.,直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，,规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.,跟踪演练3 若函数 f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围. 解 f(x)2x36xk，则f(x)6x26， 令f(x)0，得x1或x1， 可知 f(x)在(1,1)上是减函数， f(x)在(，1)和(1，)上是增函数. f(x)的极大值为f(1)4k， f(x)的极小值为f(1)4k.,要使函数 f(x)只有一个零点， 只需4k0(如图所示) 即k4. k的取值范围是(，4)(4，).,1,2,3,4,1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数 解析 由极值的概念可知只有D正确.,D,2.函数 f(x)的定义域为R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数f(x)( ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点. 答案 C,1,2,3,4,3.已知 f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A.(1,2) B.(3,6) C.(，1)(2，) D.(，3)(6，) 解析 f(x)3x22ax(a6)， 因为f(x)既有极大值又有