《标准差公式》doc版.doc

标准差（Standard Deviation） ，也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用S（）表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下两式： 或 即：如是总体，标准差公式根号内除以n如是样本，标准差公式根号内除以（n-1) 因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)公式意义所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 0, 5, 9, 14 和 5, 6, 8, 9 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。求证下列公式：由题意可知，求证下列式子即可：假设xi=+ai，既有xi-=ai，即求证下列式子即可：因为：所以：所以：所以：设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或DX。 即D(X)=EX-E(X)2称为方差，而(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。 因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 方差的计算由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望。即： 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D(X)=E(X2)-E(X)2 证明： D(X)=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =E(X2)-2E(X)2+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 方差其实就是标准差的平方。 方差的几个重要性质（1）设c是常数，则D(c)=0。 （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c2)D(X)。 （3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差）， 则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即PX=c=1，其中E(X)=c。 常见随机变量的期望和方差设随机变量X。 X服从(01)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从泊松分布，即X (),则 E(X)= ，D(X)= X服从均匀分布，即XU(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12 X服从指数分布，即Xe(), E(X)= (-1)，D(X)= (-2) X服从二项分布，即XB(n,p)