高中数学 第1章 导数及其应用 1_4 导数在实际生活中的应用课件 苏教版选修2-2

1.4 导数在实际生活中的应用,第1章 导数及其应用,学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 . 3.解决优化问题的基本思路：,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,求函数最值,数学建模,题型探究,例1 如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解答,类型一 平面几何中的最值问题,解 设点B的坐标为(x,0)，且0x2， f(x)4xx2图象的对称轴为x2， 点C的坐标为(4x,0)， |BC|42x，|BA|f(x)4xx2. 矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3， y1624x6x22(3x212x8)，,平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1 如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_.,答案,解析,解析 设断面高为h，则h2d2x2. 设横梁的强度函数为f(x)， 则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd. 令f(x)k(d23x2)0，,例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.,类型二 立体几何中的最值问题,解答,(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；,两端两个半球的表面积之和为4r2.,(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.,令y0，得0r2.,解答,引申探究 在本例中，若r(0,1，求最小建造费用.,解 由例2(2)可知，,解答,当r1时，ymin136. 最小建造费用为136 千元.,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感悟,跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ cm3.,答案,解析,解析 设矩形的长为x cm， 则宽为(10x) cm (0x10). 由题意可知圆柱体积为 Vx2(10x)10x2x3. V20x3x2，,命题角度1 利润最大问题 例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销 售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x),类型三 实际生活中的最值问题,(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解答,解 当0x10时，,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解答,所以当0x9时，W单调递增， 当9x10时，W单调递减， 所以当x9时，Wmax38.6.,所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,反思与感悟,跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值；,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x6. 从而f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 列表如下.,由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以当x4时，函数f(x)取得最大值为42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,命题角度2 费用(用材)最省问题 例4 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8vv0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？,解答,解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k0)， 则y1kv2，当v12时，y1720， 720k122，得k5. 设全程燃料费为y，由题意得,令y0，得v0(舍去)或v16， 当v016，即v16 km/h时，全程燃料费最省，ymin32 000(元)；,当v016，即v(8，v0时，y0， 即y在(8，v0上为减函数，,综上，当v016时，即v16 km/h时全程燃料费最省， 为32 000元；,(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答. (2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.,反思与感悟,跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式；,解答,解 设隔热层厚度为x cm，,而建造费用为C1(x)6x. 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,解答,当00，,答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,当堂训练,1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为_.,答案,2,3,4,5,1,解析 设底面边长为x，高为h，,解析,4,令S(x)0，解得x8，判断知当x8时，S(x)取得最小值.,2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台.,答案,2,3,4,5,1,解析,6,解析 构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上惟一的极大值点，也是最大值点.,3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x. 设正方形与圆形的面积之和为S，,2,3,4,5,1,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.,2,3,4,5,1,答案,解析,160,当x2时，ymin160.,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,2,3,4,5,1,解答,解 设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2. 若记商品一个星期的获利为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,2,3,4,5,1,解答,解 根据(1)得，f(x)18x2252x432 18(x2)(x12). 列表如下.,故当x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以定价为301218(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.,规律与方法,1.利用导数解决生活中实际问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学