数学建模结业论文.doc

数学模型课程设计 题 目 草场鹿群的种群模型 * 学生姓名 学 号 *8 院 系 *专 业 *指导教师 *二九年 十二 月 二十六日草场鹿群的种群模型摘要：自然界中处于同一环境下的两种种群相互依存而共生的现象是很普遍的！在大草原上，我们来研究一下草和鹿两种群的相互作用！他们相互依存。鹿离开了草灰逐渐死亡，草自身生长也遵循一定的定律。针对这类问题。我们采用数学建模，建立稳定性模型，来分析两个种群的稳定点。并通过专业的数学软件来分析各种因素对两个种群的作用。最后研究结果表明：草群初始密度和鹿群初始的数量在一定范围里不会改变两个种群的平衡点，但是草群的最大密度和鹿群的死亡率的改变会很大程度的改变两个种群的平衡点！关键词： 稳定性模型 相互依存 Logistic规律 正文:问题的提出：假设将一定数量的鹿放入草场，研究草和鹿两种群的相互作用，草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率=0.8，最大密度为3000（密度单位），有草时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草；若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，有草时补偿率为1.5，草场中最多容许4000只鹿生存，作出一些简化假设，用微分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程。具体包括：（1） 建立草场和鹿群数量的种群微分模型； （2） 比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况，编程计算，画出相应的草场密度和鹿群数量随着时间变化的图形，以及草场密度和鹿群数量变化的相轨线；（3） 根据上述建立的模型程序，适当改变参数，观察两种群数量变化趋势。模型的假设： (1) 草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；(2) 草原上没有其他的种群(3) 排除其他的全部因素，只考虑两个种群之间的因素 模型的建立：由于草的生长遵循Logistic规律。所以草的演变规律可以写为： (1) 其中表示草群的固有增长率，=0.8；表示草群所允许的最大密度，=3000；表示鹿群每年可以吃掉多少密度方的草，=1.6；表示鹿群的最大数量，=4000.鹿群没有草的存在会灭亡，草的存在可以弥补鹿群的死亡率，所以鹿群的演变规律可以表示为： （2）其中表示鹿群的固定死亡率，=0.9；表示鹿群的最大数量，=4000；表示草群的最大密度，=3000；表示草群的存在对鹿群死亡率的弥补，=1.5.得到的平衡位置为：p1(0,0), p2(,0) ,P4(,)，P3(0,-)(舍去，不计)将平衡点和稳定条件如下表：平衡点PQ稳定条件,不稳定p2(,0)1,1,P4(,)1, 1将，带入(1),(2)中得。 （3） (4)首先根据微分方程(3)，(4)解代数方程组=0得到四个平衡点为：（0，0），（2294.12，588.235），（3000，0）讨论：(一) 比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况代码如参考文献二：结果截图为：由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用MatLab计算可以得到，当，即两种群数量的平衡点为（1800，600）(二) 改变草原草群的初始值和鹿群的初始值！改变草群的初始值结果截图为： 图中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。改变鹿群的初始值：结果截图为：由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在515区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量有限。(三) 改变草群的最大密度：结果截图为：从图可以看出：，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。所以：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。（四）改变鹿群的死亡率：结果截图为：从图看出：鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（五）改变草群对鹿群的弥补率：结果如图：从图中可以看到，如果b增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果b减小则会有一个域值，当b低于域值时，草鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。通过改变各个参数，我们发现草群的固有增长率和鹿群的死亡率对两种生物到达平衡点都有一定的影响！参考文献： 参考书籍：。（1） 姜启原 数学建模 高等教育出版社 2007年12月 参考网络资源：（1） 周行 微分方程-数学建模计算机程序代码：（二）function A = VoltLog(x0,y0,r,N,b,a,d,n) x(1) = x0; y(1) = y0; for k = 1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k);endA = x;y;% clear allC1 = VoltLog(1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = VoltLog(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),b,k,C1(2,:),b,k,C2(1,:),r,k,C2(2,:),r,),.