高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_7双曲线课件理北师大版

9.7 双曲线,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.双曲线定义 平面内到两定点F1，F2的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作 ，两焦点之间的距离叫作 . 其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 时，P点不存在.,知识梳理,距离之差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,(1，),2a,2b,a2b2,巧设双曲线方程,考点自测,由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.,答案,解析,答案,解析,a2，2a4. C的实轴长为4.,3.(2015安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是,答案,解析,答案,解析,双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 双曲线的定义及标准方程,例1 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,答案,解析,命题点1 利用定义求轨迹方程,如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.,根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1| |MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.,又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a1，c3，则b28.,命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：,解答,设双曲线的标准方程为,b6，c10，a8.,(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解答,双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,解答,设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,命题点3 利用定义解决焦点三角形问题 例3 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2_.,答案,解析,由双曲线的定义有|PF1|PF2|,引申探究 1.本例中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？,解答,不妨设点P在双曲线的右支上，,在F1PF2中，由余弦定理，得,不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2 ，,所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， 所以|PF1|PF2|4，,解答,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.,思维升华,跟踪训练1 (1)已知F1，F2为双曲线 1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为,答案,解析,由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a， 要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值， 当A，P，F1三点共线时，取得最小值，,故选C.,答案,解析,不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，,题型二 双曲线的几何性质,例4 (1)(2016浙江)已知椭圆C1： 1(m1)与双曲线C2： 1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则,答案,解析,A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e21,由题意可得m21n21，即m2n22， 又m0，n0，故mn.,答案,解析,OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，,思维升华,跟踪训练2 (2016全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E： 1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1 ，则E的离心率为,答案,解析,例5 (2016兰州模拟)已知椭圆C1的方程为 1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.,解答,题型三 直线与双曲线的综合问题,(1)求双曲线C2的方程；,则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.,解答,由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得,13k20， (6 k)236(13k2)36(1k2)0，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.,思维升华,跟踪训练3 若双曲线E： y21(a0)的离心率等于 ，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点. (1)求k的取值范围；,解答,故双曲线E的方程为x2y21. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,得(1k2)x22kx20. (*) 直线与双曲线右支交于A，B两点，,解答,点C是双曲线上一点.,典例 已知双曲线 1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？,现场纠错系列12,纠错心得,错解展示,直线与圆锥曲线的交点,现场纠错,(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.,返回,解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)， 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)， 即ykx1k.,得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20). ,当k2时，方程可化为2x24x30. 162480，方程没有实数解. 不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1， 1n3，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题意易知点F的坐标为(c,0)，,e(e1)2(e2)1， e(1,2)，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,x2y24x30可化为(x2)2y21， 故F(2,0)，即c2，点F到一条渐近线的距离为b，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,设|PF2|m， 则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义需满足,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由定义，知|PF1|PF2|2a.,在PF1F2中，由余弦定理，,要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2| ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37. (1)求这两曲线方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求AB，AC所在直线的方程；,解答,设CAx，则由tanBACtan 2,得tan 2，AC所在直线方程为y2x， AB所在直线方程为y2x.,解答,(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设所求双曲线的方程为4x2y2(0)， C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2x1x29，代入，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,c2，c2a2b2， 4a23a2，a21，b23， 双曲线C的方程为x2 1.,解答,(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x1)2y23上；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,l：m(x2)y0，,得(3m2)x24m2x4m230. 由0，得4m4(3m2)(4m23)0， 12m293m20，即m210恒成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,M在曲线3(x1)2y23上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m