高三数学一轮复习（3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升）第十二章 统计 第二讲 用样本估计总体课件 理

目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,方法1,方法2,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.,数学 第二讲 用样本估计总体,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第二讲 用样本估计总体,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第二讲 用样本估计总体,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测 频率分布直方图、茎叶图的绘制及相关计算,样本数据的数字特征是高考的热点,以选择题、填空题为主,分值5分,有时也以解答题的形式呈现,分值12分. 2.趋势分析 平均数和方差的简单计算,统计与概率、算法初步的综合性题目是高考的趋势,应引起关注.,命题趋势,数学 第二讲 用样本估计总体,知识全通关,考点1 用样本的频率分布估计总体的频率分布,继续学习,数学 第二讲 用样本估计总体,1.频率分布表与频率分布直方图 频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下: (1)求极差,即求一组数据中最大值与最小值的差. (2)决定组距与组数. (3)将数据分组. (4)列频率分布表.落在各小组内的数据的个数叫作频数,每小组的频数与数据总数的比值叫作这一小组的频率.计算各小组的频率,列出频率分布表. (5)画频率分布直方图.依据频率分布表画频率分布直方图,其中纵坐标(小长方形的高)表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积,即 这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小,各个小长方形面积的总和等于1. 【注意】同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图的形状也会不同,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【名师提醒】,组距和组数的确定 1.组距的选择应力求“取整”,如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大极差,如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同). 2.数据分组的组数与样本容量有关,一般样本容量越大,所分组数应越多.当样本容量不超过100时,按照数据的多少,常分成5至12组. 2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作频率分布直方图时所分的组数也在增加,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【说明】总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b围成的图形的面积等于总体在区间(a,b)内取值的百分比.,3.茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数. 对于样本数据较少,且分布较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶.样本数据为小数时做类似处理. 对于样本数据较少,且分布较为集中的两组数据,关键是找到两组数据共有的茎.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【辨析比较】 几种表示样本分布的方法的比较,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,1.众数、中位数、平均数,考点2 用样本的数字特征估计总体的数字特征,【注意】 (1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.(2)平均数反映的是样本个体的平均水平,众数和中位数则反映样本中个体的“重心”.(3)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,2.极差、标准差与方差,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,3.平均数的性质 (1)若给定一组数据x1,x2,xn的平均数为,则ax1,ax2,axn的平均数为a;ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数为a+b. (2)若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是 ;若两组数据x1,x2,xn和y1,y2,yn的平均数分别是和,则x1+y1,x2+y2,xn+yn的平均数是. 4.方差的性质 若给定一组数据x1,x2,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,axn的方差为a2s2;ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.,返回目录,数学 第二讲 用样本估计总体,【规律总结】,在频率分布直方图中: (1)最高的小长方形底边中点的横坐标是众数; (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.,题型全突破,考法1 频率分布直方图的绘制及应用,继续学习,数学 第二讲 用样本估计总体,考法指导 1.绘制频率分布直方图时需注意: (1)制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确; (2)频率分布直方图的纵坐标是频率/组距,而不是频率; (3)频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率之比. 2.由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握下列关系式: (1） (2） ， 此关系式的变形为：,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,考法示例1 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩在350分到650分之间的10 000名学生的成绩,并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图12-2-5),则总成绩在400,500)内的学生共有 A.5 000人 B.4 500人 C.3 250人 D.2 500人,【思路分析】 由频率和为1计算a的值由样本容量频率即可计算总成绩在400,500）内的学生人数,图12-2-5,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【解析】 由频率分布直方图可求得a=0.005,故400,500)对应的频率为(0.005+0.004)50=0.45,故总成绩在400,500)内的学生共有10 0000.45=4 500(人). 【答案】B 【点评】 一般地,若取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn,则其平均数为x1p1+x2p2+xnpn.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,考法示例2 2016四川高考我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5),0.5,1),4,4.5分成9组,制成了如图12-2-6所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低 于3吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过 标准x(吨),估计x的值,并说明理由.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【思路分析】 (1)利用所有小长方形的面积之和为1,可解得a;(2)求出样本中“月均用水量不低于3吨”的频率,再利用样本估计总体的思想进行求解;(3)求出月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比及月均用水量小于3吨的居民人数所占百分比,可得2.5x3,再列方程求出x即可.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【解析】,(1)由频率分布直方图知,月均用水量在0,0.5)中的频率为0.080.5=0.04, 同理,在0.5,1),1.5,2),2,2.5),3,3.5),3.5,4),4,4.5中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1, 解得a=0.30. (2)由(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.12=36 000. (3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85, 所以2.5x3.由0.3(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9. 所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.,考法2 茎叶图的绘制及应用,继续学习,数学 第二讲 用样本估计总体,考法指导 1.作样本的茎叶图时,要先根据数据特点确定 茎、叶,再作茎叶图.茎部位的数字由上向下,从小到大排列;叶部位的数字由内向外,从小到大排列. 2.给定两组数据的茎叶图,比较数字特征时,“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,考法示例3 2015山东高考为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: 甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; 甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 A. B. C. D. .,【思路分析】 先根据茎叶图列出数据,再利用平均数和标准差的计算公式进行计算,对比结论即可得正确结果. .,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【解析】,由题中茎叶图，知,【答案】B,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,考法示例4 某良种培育基地正在培育一小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照试验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下. 品种A: 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种B: 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (1)作出数据的茎叶图; (2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (3)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论. .,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【思路分析】 题目中数据是三位整数选择百位和十位为茎,绘制茎叶图得出茎叶图处理数 据的优点从亩产平均数及标准差(或方差)比较A与B的亩产量及其稳定性 .,【解析】(1)画出茎叶图如图所示: (2)由于每个品种的数据都只有25个,样本容量不大, 画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况,便于比较,没有任何信息损失,而且可以随时记录新的数据. (3)通过观察茎叶图可以看出:品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高;品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大,故品种A的亩产稳定性较差.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,【突破攻略】,茎叶图的绘制需注意:(1)“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一;(2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别是“叶”的位置上的数据.,考法3 用样本的数字特征估计总体的数字特征,继续学习,数学 第二讲 用样本估计总体,考法指导 类型1 直接给出样本数据,根据平均数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算得出相应数据. 类型2 利用茎叶图给出样本数据,到目前为止,茎叶图中的数据多为两位数(茎叶图中,一位数的“茎”处为数字0),明确每一行中“茎”处数字是该行数字共用的十位数字,“叶”处数字是个位数字,正确写出茎叶图中的所有数字,再根据平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算.,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,考法示例5 某项测试成绩满分为10分,现随机抽取30名学生参加测试,得分如图12-2-10所示,假设得分值的中位数为me,平均值为,众数为m0,则 图12-2-10,【思路分析】 由频数条形图读数根据众数、中位数、平均值的定义求解,图12-2-10,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,数学 第二讲 用样本估计总体,继续学习,考法示例6 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图,如图12-2-11所示. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率. .,图12-2-11,返回目录,数学 第二讲 用样本估计总体,【思路分析】 (1)由茎叶图可直接判断;(2)将数据代入方差的计算公式可解;(3)根据古典概型的相关知识求解.,能力大提升,巧解平均数和方差,继续学习,数学 第二讲 用样本估计总体,【示例7】 计算一组数据的平均数和方差:87,86,90,82,83,85,88,80,